10 Bài tập Nhận biết, chứng minh dãy số là một cấp số cộng (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Có v₁ = 0, v₂ = 2, v₃ = 4, v₄ = 6, v_5­ = 8.

Dễ thấy các số hạng của dãy số (v_n) là các số chẵn có hiệu giữa hai phần tử liên tiếp là 2 đơn vị.

Do đó (v_n) là một cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

• Xét dãy (1) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

5 – 0 = 10 – 5 = … = 5 Þ Dãy (1) là cấp số cộng.

• Xét dãy (2) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

4 – 1 = 3; 9 – 4 = 5; … khác nhau Þ Dãy (2) không phải cấp số cộng.

• Xét dãy (3) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

5 – 3 = 7 – 5 = … = 2 Þ Dãy (3) là cấp số cộng.

• Xét dãy (4) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

– 1 – 5 = –7 – (– 1) = … = – 6 Þ Dãy (4) là cấp số cộng.

Vậy các dãy số thỏa mãn là cấp số cộng là: 1; 3; 4.

Đáp án đúng là: D

Có w₁ = 2, w₂ = –6, w₃ = 18, w₄ = –54.

Þ Ta kết luận w_n không phải một cấp số cộng.

Vậy D là đáp án đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u_{n + 1} = −13(n + 1) + 27 = −13n + 14

Þ u_{n + 1} − u_n = (−13n + 14) − (−13n + 27) = −13

Suy ra: (u_n) là cấp số cộng với công sai d = −13.

Đáp án đúng là: D

• Xét phương án A: u_n = −3 − 8n.

Ta có u_{n + 1} = −3 − 8(n + 1) = −11 − 8n

Þ u_{n + 1} − u_n = (−11 − 8n) − (−3 − 8n) = −8

Þ (u_n): u_n = −3 − 8n là một cấp số cộng với công sai d = −8.

• Xét phương án B: u_n = n + 2.

Ta có u_{n + 1} = n + 1+ 2 = n + 3;

Þ u_{n + 1} − u_n = (n + 3) − (n + 2) = 1

Þ (u_n): u_n = n + 2 là một cấp số cộng với công sai d = 1.

• Xét phương án C: u_n = 3n.

Ta có u_{n + 1} = 3(n + 1) = 3n + 3;

Þ u_{n + 1} − u_n = 3n + 3 – 3n = 3

Þ C (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = 3.

• Xét phương án D: u_n = n + 2:

Ta có u_{n + 1} = 3.(−4)^{n + 1} − 8;

Þ u_{n + 1} − u_n = [3.(−4)^{n + 1} − 8] − [ 3.(−4)ⁿ − 8] = 3.(−4)^{n + 1} − 3.(−4)ⁿ.

Þ (u_{n + 1} − u_n) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n.

Nên dãy số (u_n) không là cấp số cộng.

 Þ D đúng.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u₂ = 2; u₃ = 2; u₄ = 2; u₅ = 2...

Dự đoán: u_n = 2 "n Î ℕ^*.

Ta chứng minh u_n = 2 bằng phương pháp quy nạp:

+ Với n = 1 ta có: u₁ = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với n = k, tức là: u_k = 2.

Ta chứng minh dãy số đúng với n = k + 1 hay u_{k + 1} = 2.

Theo giả thiết ta có: $u_{k+1}=\sqrt{2+u_k}=\sqrt{2+\text{2}}=2$

Þ Đúng với n = k + 1, suy ra điều phải chứng minh.

Vậy với mọi n ta có: u_n = u_{n + 1} nên u_{n + 1} − u_n = 0.

Þ Dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có: u_{n + 1} – u­_n = (n + 1) + 10 – n – 10 = 1

Þ u_n là cấp số cộng có công sai bằng 1.

Đáp án đúng là: A

• Ta có: v_n+1 = −2(n + 1)² + (n + 1) + 1= −2n² − 3n

Xét hiệu: v_{n + 1} − v_n = (−2n² − 3n) − (−2n² + n + 1) = −4n – 1.

Do đó, hiệu (v_{n + 1} − v_n) còn phụ thuộc vào n nên (v_n) không là cấp số cộng.

• Ta có: u_{n + 1} = – 2(n + 1)² + (n + 1) + 1

Xét hiệu: u_{n + 1} − u_n = −2(n + 1)²  + 2n²  + 1 = – 4n – 1 phụ thuộc vào n.

Þ (u_n) không là cấp số cộng.

+ Ta có:  $w_1=-1;w_2=1;w_3=\frac{1}{3}$

Þ w₃ − w₂ ≠ w₂ − w₁ nên dãy số (w_n) không phải là cấp số cộng.

Đáp án đúng là: C

Ta có:  $u_1=-6;u_2=\frac{-9}{2};u_3=-6$

Ta thấy: u₁ + u₃ ≠ 2u₂.

Do đó, dãy số (u_n) đã cho không là cấp số cộng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u₂ = 2; u₃ = 2; u₄ = 2; u₅ = 2...

Dự đoán: u_n = 2 "n Î ℕ^* .

Ta chứng minh u_n = 2 bằng phương pháp quy nạp.

+ Với n = 1 ta có: u₁ = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với n = k, tức là: u_k = 2.

Ta chứng minh đúng với n = k + 1 hay u_k+1 = 2.

Theo giả thiết ta có: $u_{k+1}=\sqrt{3u_k-2}=\sqrt{3.2-2}=2$

Þ Đúng với n = k + 1, ta có điều phải chứng minh.

Vậy với mọi n ta có: u_n = u_{n + 1} nên u_{n + 1} − u_n = 0.

Þ Dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 0.