Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm có đáp án

Câu 1:

Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + x\] là:

A. \[{e^x} + {x^2} + C\]

B. \[{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\]

C. \[\frac{1}{{x + 1}}{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\]

D. \[{e^x} + 1 + C\]

Xem đáp án

Câu 2:

Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số \[y = \sqrt x \]?

A. \[\frac{2}{3}x\sqrt x \]

B. \[\frac{2}{3}x\sqrt x + 2019\]

C. \[\frac{1}{{2\sqrt x }}\]

D. \[\frac{2}{3}x\sqrt x - 2020\]

Xem đáp án

Câu 3:

Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 3{x^2} + {3^x}\] là

A. \[{x^3} + {3^x}\ln 3 + C\]

B. \[{x^3} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\]

C. \[{x^3} + {3^x} + C\]

D. \[{x^3} + \frac{{\ln 3}}{{{3^x}}} + C\]

Xem đáp án

Câu 4:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 5{x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x}\] là:

A. \[{x^5} - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C\]

B. \[{x^5} + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C\]

C. \[{x^5} - \frac{3}{{{x^2}}} - 3x\sqrt[3]{x} + C\]

D. \[20{x^3} - \frac{6}{{{x^4}}} - \frac{1}{{3x\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + C\]

Xem đáp án

Câu 5:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{4{x^2} + \sqrt x - 6}}{x}\] là:

A. \[2{x^2} - 2\sqrt x - 6\ln \left| x \right| + C\]

B. \[{x^2} + 2\sqrt x - 6\ln \left| x \right| + C\]

C. \[2{x^2} + 2\sqrt x - 6\ln \left| x \right| + C\]

D. \[{x^2} + \sqrt x - 3\ln \left| x \right| + C\]

Xem đáp án

Câu 6:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}\] là:

A. \[\frac{{{2^x}}}{{{e^x}\ln 2}} + {e^{ - x}} + C\]

B. \[\frac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} - {e^{ - x}} + C\]

C. \[\frac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + {e^{ - x}} + C\]

D. \[\frac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + {e^x} + C\]

Xem đáp án

Câu 7:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = x{\left( {x + 2} \right)^{2019}}\] là:

A. \[ - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2021}}}}{{2021}} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{1010}} + C\]

B. \[\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{2021}} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2018}}}}{{1009}} + C\]

C. \[\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2021}}}}{{2021}} + \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{1010}} + C\]

D. \[\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2021}}}}{{2021}} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{1010}} + C\]

Xem đáp án

Câu 8:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{e^{2x}} + 1}}\] là:

A. \[x + \ln \sqrt {{e^{2x}} + 1} + C\]

B. \[x - \frac{1}{2}\ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\]

C. \[\ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\]

D. \[x - \ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\]

Xem đáp án

Câu 9:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }}\] là:

A. \[\frac{1}{6}\left[ {{{\left( {\sqrt {x + 2} } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt {x - 2} } \right)}^3}} \right] + C\]

B. \[\frac{1}{6}\left[ {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} } \right] + C\]

C. \[\frac{1}{6}\sqrt {x + 2} + \frac{1}{6}\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 2} + C\]

D. \[\frac{1}{6}\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} - \frac{1}{6}\sqrt {x - 2} + C\]

Xem đáp án

Câu 10:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{5x - 13}}{{{x^2} - 5x + 6}}\] là:

A. \[2\ln \left| {x - 3} \right| - 3\ln \left| {x + 2} \right| + C\]

B. \[3\ln \left| {x - 3} \right| + 2\ln \left| {x - 2} \right| + C\]

C. \[2\ln \left| {x + 3} \right| + 3\ln \left| {x + 2} \right| + C\]

D. \[2\ln \left| {x - 3} \right| + 3\ln \left| {x - 2} \right| + C\]

Xem đáp án

Câu 11:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^5} + x}}\] là:

A. \[\ln \left| x \right| + \frac{1}{2}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]

B. \[\ln \left| x \right| - \ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]

C. \[\ln \left| x \right| - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]

D. \[\ln \left| x \right| - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]

Xem đáp án

Câu 12:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}\] là:

A. \[\ln \left| {x + 2} \right| + 2\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{3}{{x - 1}} + C\]

B. \[\ln \left| {x + 2} \right| - 2\ln \left| {x - 1} \right| + \frac{3}{{x - 1}} + C\]

C. \[2\ln \left| {x + 2} \right| + \ln \left| {x - 1} \right| - \frac{3}{{x - 1}} + C\]

D. \[2\ln \left| {x + 2} \right| + \ln \left| {x - 1} \right| + \frac{3}{{x - 1}} + C\]

Xem đáp án

Câu 13:

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}};\;f\left( 0 \right) = 1\] và \[f\left( 1 \right) = 2\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\] là:

A. \[3\ln 5 + \ln 2\]

B. \[3\ln 2 + \ln 5\]

C. \[3 + 2\ln 5\]

D. \[3 + \ln 15\]

Xem đáp án

Câu 14:

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\], thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}};\;f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\] và \[f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right)\] là:

A. \[2\ln 2 - \ln 5\]

B. \[6\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\]

C. \[2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\]

D. \[6\ln 2 - 2\ln 5\]

Xem đáp án

Câu 15:

Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \cos 3x.\cos 2x\] trên \[\mathbb{R}\] ta thu được kết quả:

A. \[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{{10}} + \frac{{\sin x}}{2} + C\]

B. \[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{5} + \sin x + C\]

C. \[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{6}\sin 3x.\sin 2x + C\]

D. \[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{{10}} - \frac{{\sin x}}{2} + C\]

Xem đáp án

Câu 16:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\left( {2\cos x - 3\cos 5x} \right)dx} \] là:

A. \[ - 2\sin x + 15\sin 5x + C\]

B. \[ - 2\sin x + \frac{3}{5}\sin 5x + C\]

C. \[2\sin x - \frac{3}{5}\sin 5x + C\]

D. \[2\sin x - 5\sin 5x + C\]

Xem đáp án

Câu 17:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\sin 5x\sin 2xdx} \] là:

A. \[\frac{1}{{10}}\cos 5x\cos 2x + C\]

B. \[\frac{1}{6}\cos 3x - \frac{1}{{14}}\sin 7x + C\]

C. \[\frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{7}\sin 7x + C\]

D. \[\frac{1}{2}\sin 3x - \frac{1}{2}\sin 7x + C\]

Xem đáp án

Câu 18:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {4{{\cos }^2}xdx} \] là:

A. \[4x + 2\sin 2x + C\]

B. \[\frac{{4{{\cos }^3}x}}{3} + C\]

C. \[2x - \sin 2x + C\]

D. \[2x + \sin 2x + C\]

Xem đáp án

Câu 19:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {{{\left( {1 + 2\sin x} \right)}^2}dx} \] là:

A. \[3x - 4\cos x - \sin 2x + C\]

B. \[\frac{{{{\left( {1 + 2\sin x} \right)}^3}}}{3} + C\]

C. \[3x - \sin 2x + C\]

D. \[3x - 4\cos x + \sin 2x + C\]

Xem đáp án

Câu 20:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\left( {\sin x - \cos x} \right)\sin xdx} \] là:

A. \[\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x - \frac{1}{4}\cos 2x + C\]

B. \[\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C\]

C. \[x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x + C\]

D. \[\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C\]

Xem đáp án

Câu 21:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \] là:

A. \[ - \tan x - \cot x + C\]

B. \[\tan x - \cot x + C\]

C. \[\tan x + \cot x + C\]

D. \[\cot x - \tan x + C\]

Xem đáp án

Câu 22:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\frac{1}{{4{{\cos }^4}x - 4{{\cos }^2}x + 1}}dx} \] là:

A. \[\frac{{\cot 2x}}{2} + C\]

B. \[\tan 2x + C\]

C. \[\cot 2x + C\]

D. \[\frac{{\tan 2x}}{2} + C\]

Xem đáp án

Câu 23:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {{{\cos }^3}xdx} \] là:

A. \[\frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\]

B. \[3\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x + C\]

C. \[\sin x - \frac{1}{3}{\sin ^3}x + C\]

D. \[4\sin x - \frac{4}{3}\sin 3x + C\]

Xem đáp án

Câu 24:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {{{\tan }^3}xdx} \] là:

A. \[\frac{{{{\tan }^2}x}}{2} + \ln \left| {\cos x} \right| + C\]

B. \[\frac{{{{\tan }^2}x}}{2} - \ln \left| {\sin x} \right| + C\]

C. \[\frac{{{{\tan }^2}x}}{2} - \ln \left| {\cos x} \right| + C\]

D. \[\frac{{{{\tan }^4}x}}{{4{{\cos }^2}x}} + C\]

Xem đáp án

Câu 25:

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sin 2x\tan x\] thỏa mãn \[F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\]. Giá trị của \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\] là:

A. \[\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + \frac{\pi }{{12}}\]

B. \[\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}\]

C. \[\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} + \frac{\pi }{{12}}\]

D. \[\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}\]

Xem đáp án

Câu 26:

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\cos ^4}2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2019\]. Giá trị của \[F\left( {\frac{\pi }{8}} \right)\] là:

A. \[\frac{{3\pi + 16153}}{{64}}\]

B. \[\frac{{3\pi + 129224}}{8}\]

C. \[\frac{{3\pi + 129224}}{{64}}\]

D. \[\frac{{3\pi - 129224}}{{32}}\]

Xem đáp án

Câu 27:

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}}\], với \[x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\] và thỏa mãn \[F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}\]. Giá trị của \[F\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\] là:

A. \[\frac{2}{3}\]

B. 0.

C. \[\frac{5}{3}\]

D. \[\frac{1}{3}\]

Xem đáp án

Câu 28:

Một chất điểm chuyển động với phương trình \[S = \frac{1}{2}{t^2}\], trong đó t là thời gian tính bằng giây (s) và S là quãng đường tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[{t_0} = 5\left( s \right)\] là:

A. 5 (m/s).

B. 25 (m/s).

C. 2,5 (m/s.)

D. 10 (m/s).

Xem đáp án

Câu 29:

Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left( t \right) = 10 - 2t\left( {m/s} \right)\], trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.

A. 50 (m).

B. 25 (m).

C. 55 (m).

D. 10 (m).

Xem đáp án

Câu 30:

Một vật chuyển động với gia tốc \[a\left( t \right) = \frac{3}{{t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right)\], trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc cảu vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

A. 10 m/s.

B. 15,2 m/s.

C. 13,2 m/s.

D. 12 m/s.

Xem đáp án

Câu 31:

Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc \[a\left( t \right) = - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}\left( {m/{s^2}} \right)\], trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu?

A. 5,6 m/s.

B. 6,51 m/s.

C. 7,26 m/s.

D. 6,8 m/s.

Xem đáp án

Câu 32:

Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu?

A. 0,45 m/s.

B. 0,4 m/s.

C. 0,6 m/s.

D. 0,8 m/s.

Xem đáp án

Câu 33:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\] là:

A. \[\frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C\]

B. \[\frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}} + C\]

C. \[\frac{{\ln x}}{2} + C\]

D. \[{\ln ^2}x + C\]

Xem đáp án

Câu 34:

Cho \[I = \int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \]. Bằng phép đổi biến \[u = \sqrt {{x^2} + 1} \], khẳng định nào sau đây sai?

A. \[{x^2} = {u^2} - 1\]

B. \[xdx = udu\]

C. \[I = \int {\left( {{u^2} - 1} \right).udu} \]

D. \[I = \frac{{{u^3}}}{3} - u + C\]

Xem đáp án

Câu 35:

Nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}.{e^{{x^3} + 1}}\], biết \[F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{3}\] là:

A. \[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + C\]

B. \[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + 2019\]

C. \[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + \frac{1}{3}\]

D. \[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}}\]

Xem đáp án

Câu 36:

Nguyên hàm \[M = \int {\frac{{2\sin x}}{{1 + 3\cos x}}dx} \] là:

A. \[M = \frac{1}{3}\ln \left( {1 + 3\cos x} \right) + C\]

B. \[M = \frac{2}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C\]

C. \[M = - \frac{2}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C\]

D. \[M = - \frac{1}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C\]

Xem đáp án

Câu 37:

Nguyên hàm \[P = \int {x.\sqrt[3]{{{x^2} + 1}}dx} \] là:

A. \[P = \frac{3}{8}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\]

B. \[P = \frac{3}{8}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + C\]

C. \[P = \frac{3}{8}\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\]

D. \[P = \frac{3}{4}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\]

Xem đáp án

Câu 38:

Nguyên hàm \[R = \int {\frac{1}{{x\sqrt {x + 1} }}dx} \] là:

A. \[R = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} + 1}}{{\sqrt {x + 1} - 1}}} \right| + C\]

B. \[R = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{\sqrt {x + 1} + 1}}} \right| + C\]

C. \[R = \ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} + 1}}{{\sqrt {x + 1} - 1}}} \right| + C\]

D. \[R = \ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{\sqrt {x + 1} + 1}}} \right| + C\]

Xem đáp án

Câu 39:

Nguyên hàm \[S = \int {{x^3}\sqrt {{x^2} + 9} dx} \] là:

A. \[S = \frac{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3\left( {{x^2} + 9} \right)\sqrt {{x^2} + 9} + C\]

B. \[S = \frac{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^4}\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3\left( {{x^2} + 9} \right)\sqrt {{x^2} + 9} + C\]

C. \[S = \frac{{\left( {{x^2} + 9} \right)\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3{\left( {{x^2} + 9} \right)^2}\sqrt {{x^2} + 9} + C\]

D. \[S = \frac{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3\sqrt {{x^2} + 9} + C\]

Xem đáp án

Câu 40:

Nguyên hàm \[T = \int {\frac{1}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}dx} \] là:

A. \[T = \frac{1}{{2\sqrt {\ln x + 1} }} + C\]

B. \[T = 2\sqrt {\ln x + 1} + C\]

C. \[T = \frac{2}{3}\left( {\ln x + 1} \right)\sqrt {\ln x + 1} + C\]

D. \[T = \sqrt {\ln x + 1} + C\]

Xem đáp án

Câu 41:

Nguyên hàm \[U = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2022}}}}dx} \] là:

A. \[U = \frac{1}{3}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2021}} + C\]

B. \[U = \frac{1}{{6060}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2020}} + C\]

C. \[U = \frac{1}{{6063}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2021}} + C\]

D. \[U = \frac{1}{{6069}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2023}} + C\]

Xem đáp án

Câu 42:

Xét nguyên hàm \[V = \int {\frac{{{{\ln }^2}x}}{{x\left( {1 + \sqrt {\ln x + 1} } \right)}}dx} \]. Đặt \[u = 1 + \sqrt {1 + \ln x} \], khẳng định nào sau đây sai?

A. \[\frac{{dx}}{x} = \left( {2u - 2} \right)du\]

B. \[V = \int {\frac{{{{\left( {{u^2} - 2u} \right)}^2}}}{u}.\left( {2u - 2} \right)du} \]

C. \[V = \frac{2}{5}{u^5} - \frac{5}{2}{u^4} + \frac{{16}}{3}{u^3} - 4{u^2} + C\]

D. \[V = \frac{{{u^5}}}{5} + \frac{{{u^4}}}{2} - \frac{{16}}{3}{u^3} + 4{u^2} + C\]

Xem đáp án

Câu 43:

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}2x.{\cos ^3}2x\] thỏa \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\]. Giá trị \[F\left( {2019\pi } \right)\] là:

A. \[F\left( {2019\pi } \right) = - \frac{1}{{15}}\]

B. \[F\left( {2019\pi } \right) = 0\]

C. \[F\left( {2019\pi } \right) = - \frac{2}{{15}}\]

D. \[F\left( {2019\pi } \right) = \frac{1}{{15}}\]

Xem đáp án

Câu 44:

Biết rằng \[\int {\frac{{\left( {2x + 3} \right)dx}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1}} = - \frac{1}{{g\left( x \right)}} + C} \] (với C là hằng số). Gọi S là tập nghiệm của phương trình \[g\left( x \right) = 0\]. Tổng các phần tử của S bằng:

A. 0.

B. \[ - 3 + \sqrt 5 \]

C. \[ - 3\]

D. \[ - 3 - \sqrt 5 \]

Xem đáp án

Câu 45:

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\] trên khoảng \[\left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right)\] thỏa mãn \[F\left( 2 \right) = 0\]. Khi đó phương trình \[F\left( x \right) = x\] có nghiệm là:

A. \[x = 0\]

B. \[x = 1\]

C. \[x = - 1\]

D. \[x = 1 - \sqrt 3 \]

Xem đáp án

Câu 46:

Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\] trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\] và \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\]. Tổng \[S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right)\] là

A. \[\frac{{2019}}{{2020}}\]

B. \[\frac{{2019.2021}}{{2020}}\]

C. \[2018\frac{1}{{2020}}\]

D. \[ - \frac{{2019}}{{2020}}\]

Xem đáp án

Câu 47:

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm xác định trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,f\left( x \right) > 0\] và \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\forall x \in \mathbb{R}\]. Giá trị \[f\left( 1 \right)\] là:

A. \[6\sqrt 2 \]

B. \[\sqrt {10} \]

C. \[5\sqrt 3 \]

D. \[2\sqrt 6 \]

Xem đáp án

Câu 48:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 3\] và \[{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2\]. Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\] là:

A. \[2\sqrt[3]{{42}}\]

B. \[2\sqrt[3]{{15}}\]

C. \[\sqrt[3]{{42}}\]

D. \[\sqrt[3]{{15}}\]

Xem đáp án

Câu 49:

Nguyên hàm \[I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} \] là:

A. \[\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{4} + C\]

B. \[2\arccos \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C\]

C. \[\arccos \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{4} + C\]

D. \[2\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C\]

Xem đáp án

Câu 50:

Nguyên hàm \[I = \int {\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} }}dx} \] là:

A. \[\sqrt[3]{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}} + C\]

B. \[\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + C\]

C. \[\frac{x}{{\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} }} + C\]

D. \[\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x} + C\]

Xem đáp án

Câu 51:

Nguyên hàm \[I = \int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} \] là:

A. \[\arctan x + C\]

B. \[{\mathop{\rm arccot}\nolimits} x + C\]

C. \[\arcsin x + C\]

D. \[\arccos x + C\]

Xem đáp án

Câu 52:

Kết quả nguyên hàm \[\int {x{e^x}dx} \] là:

A. \[x{e^x} - {e^x} + C\]

B. \[\frac{{{x^2}}}{2}{e^x} + C\]

C. \[x{e^x} + {e^x} + C\]

D. \[x{e^x} + x + C\]

Xem đáp án

Câu 53:

Kết quả nguyên hàm \[\int {\ln \left( {x + 2019} \right)dx} \] là:

A. \[\left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) + x + C\]

B. \[\left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) - x + C\]

C. \[\left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) + C\]

D. \[\ln \left( {x + 2019} \right) + C\]

Xem đáp án

Câu 54:

Tìm \[\int {{e^x}.\sin xdx} \]

A. \[2{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\]

B. \[2{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]

C. \[\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]

D. \[\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\]

Xem đáp án

Câu 55:

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {x\ln \left( {2 + {x^2}} \right)dx} \] là:

A. \[\frac{{{x^2} + 2}}{2}\ln \left( {{x^2} + 2} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

B. \[\left( {{x^2} + 2} \right)\ln \left( {{x^2} + 2} \right) - \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

C. \[\left( {{x^2} + 2} \right)\ln \left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + C\]

D. \[\frac{{{x^2} + 2}}{2}\ln \left( {{x^2} + 2} \right) - \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

Xem đáp án

Câu 56:

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \] là:

A. \[\left( {\tan x + 2} \right).\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x + 2\ln \left| {\cos x} \right| + C\]

B. \[\left( {\tan x + 2} \right).\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x - 2\ln \left| {\cos x} \right| + C\]

C. \[\left( {\tan x + 2} \right).\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x - 2\ln \left( {\cos x} \right) + C\]

D. \[\left( {\cot x + 2} \right).\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x - 2\ln \left| {\cos x} \right| + C\]

Xem đáp án

Câu 57:

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {{x^2}\sin 5xdx} \] là:

A. \[ - \frac{1}{5}{x^2}\cos 5x - \frac{2}{{25}}x\sin 5x + \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]

B. \[ - \frac{1}{5}{x^2}\cos 5x + \frac{2}{{25}}x\sin 5x - \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]

C. \[\frac{1}{5}{x^2}\cos 5x - \frac{2}{{25}}x\sin 5x + \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]

D. \[ - \frac{1}{5}{x^2}\cos 5x + \frac{2}{{25}}x\sin 5x + \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]

Xem đáp án

Câu 58:

Nguyên hàm \[I = \int {{x^4}{e^{3x}}dx} \] là:

A. \[I = \left( {\frac{{{x^4}}}{3} - \frac{{4{x^3}}}{{{3^2}}} + \frac{{12{x^2}}}{{{3^3}}} - \frac{{24x}}{{{3^4}}} + \frac{{24}}{{{3^5}}}} \right){e^{3x}} + C\]

B. \[I = \frac{{{x^5}}}{5}.\frac{{{e^{3x}}}}{3} + C\]

C. \[I = \left( {\frac{{{x^4}}}{3} + \frac{{4{x^3}}}{{{3^2}}} - \frac{{12{x^2}}}{{{3^3}}} + \frac{{24x}}{{{3^4}}} - \frac{{24}}{{{3^5}}}} \right){e^{3x}} + C\]

D. \[I = \left( {\frac{{{x^4}}}{3} - \frac{{4{x^3}}}{{{3^2}}} + \frac{{12{x^2}}}{{{3^3}}}} \right){e^{3x}} + C\]

Xem đáp án

Câu 59:

Nguyên hàm \[I = \int {{e^x}\sin xdx} \] là:

A. \[2{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\]

B. \[2{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]

C. \[\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]

D. \[\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\]

Xem đáp án

Câu 60:

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {x.\ln xdx} \] là:

A. \[\frac{{{x^2}}}{2}.\ln 2 - \frac{{{x^2}}}{4} + C\]

B. \[\frac{{{x^2}}}{2}.\ln 2 + \frac{{{x^2}}}{4} + C\]

C. \[\frac{{{x^2}}}{4}.\ln 2 - \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

D. \[\frac{{{x^2}}}{4}.\ln 2 + \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

Xem đáp án

Câu 61:

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {\left( {4x - 1} \right).{{\ln }^3}\left( {2x} \right)dx} \] là:

A. \[\left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) - \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) - \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) + \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x + C\]

B. \[\left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) - \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x + C\]

C. \[\left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x + C\]

D. \[\left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) - \frac{{3{x^2}}}{2} - 6x + C\]

Xem đáp án

Câu 62:

Cho \[F\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right){e^{2x}}\]. Biết rằng hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Nguyên hàm của hàm số \[f'\left( x \right){e^{2x}}\] là:

A. \[\left( {2 - x} \right){e^x} + C\]

B. \[\left( {2 + x} \right){e^x} + C\]

C. \[\left( {1 - x} \right){e^x} + C\]

D. \[\left( {1 + x} \right){e^x} + C\]

Xem đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm có đáp án

Đề thi liên quan:

Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Tiệm cận có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 5: Tiếp tuyến có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Lũy thừa - Hàm số lũy thừa có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Hàm số mũ - Hàm số logarit có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Phương trình mũ - Bất phương trình mũ có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 5: Phương trình lôgarit - Bất phương trình lôgarit có đáp án

Danh sách câu hỏi:

Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + x\] là:

Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số \[y = \sqrt x \]?

Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 3{x^2} + {3^x}\] là

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 5{x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x}\] là:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{4{x^2} + \sqrt x - 6}}{x}\] là:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}\] là:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = x{\left( {x + 2} \right)^{2019}}\] là:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{e^{2x}} + 1}}\] là:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }}\] là:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{5x - 13}}{{{x^2} - 5x + 6}}\] là:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^5} + x}}\] là:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}\] là:

Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \cos 3x.\cos 2x\] trên \[\mathbb{R}\] ta thu được kết quả:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\left( {2\cos x - 3\cos 5x} \right)dx} \] là:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\sin 5x\sin 2xdx} \] là:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {4{{\cos }^2}xdx} \] là:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {{{\left( {1 + 2\sin x} \right)}^2}dx} \] là:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\left( {\sin x - \cos x} \right)\sin xdx} \] là:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \] là:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\frac{1}{{4{{\cos }^4}x - 4{{\cos }^2}x + 1}}dx} \] là:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {{{\cos }^3}xdx} \] là:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {{{\tan }^3}xdx} \] là:

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sin 2x\tan x\] thỏa mãn \[F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\]. Giá trị của \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\] là:

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\cos ^4}2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2019\]. Giá trị của \[F\left( {\frac{\pi }{8}} \right)\] là:

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}}\], với \[x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\] và thỏa mãn \[F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}\]. Giá trị của \[F\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\] là:

Một chất điểm chuyển động với phương trình \[S = \frac{1}{2}{t^2}\], trong đó t là thời gian tính bằng giây (s) và S là quãng đường tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[{t_0} = 5\left( s \right)\] là:

Một vật chuyển động với gia tốc \[a\left( t \right) = \frac{3}{{t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right)\], trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc cảu vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu?

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\] là:

Cho \[I = \int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \]. Bằng phép đổi biến \[u = \sqrt {{x^2} + 1} \], khẳng định nào sau đây sai?

Nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}.{e^{{x^3} + 1}}\], biết \[F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{3}\] là:

Nguyên hàm \[M = \int {\frac{{2\sin x}}{{1 + 3\cos x}}dx} \] là:

Nguyên hàm \[P = \int {x.\sqrt[3]{{{x^2} + 1}}dx} \] là:

Nguyên hàm \[R = \int {\frac{1}{{x\sqrt {x + 1} }}dx} \] là:

Nguyên hàm \[S = \int {{x^3}\sqrt {{x^2} + 9} dx} \] là:

Nguyên hàm \[T = \int {\frac{1}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}dx} \] là:

Nguyên hàm \[U = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2022}}}}dx} \] là:

Xét nguyên hàm \[V = \int {\frac{{{{\ln }^2}x}}{{x\left( {1 + \sqrt {\ln x + 1} } \right)}}dx} \]. Đặt \[u = 1 + \sqrt {1 + \ln x} \], khẳng định nào sau đây sai?

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}2x.{\cos ^3}2x\] thỏa \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\]. Giá trị \[F\left( {2019\pi } \right)\] là:

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\] trên khoảng \[\left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right)\] thỏa mãn \[F\left( 2 \right) = 0\]. Khi đó phương trình \[F\left( x \right) = x\] có nghiệm là:

Nguyên hàm \[I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} \] là:

Nguyên hàm \[I = \int {\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} }}dx} \] là:

Nguyên hàm \[I = \int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} \] là:

Kết quả nguyên hàm \[\int {x{e^x}dx} \] là:

Kết quả nguyên hàm \[\int {\ln \left( {x + 2019} \right)dx} \] là:

Tìm \[\int {{e^x}.\sin xdx} \]

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {x\ln \left( {2 + {x^2}} \right)dx} \] là:

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \] là:

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {{x^2}\sin 5xdx} \] là:

Nguyên hàm \[I = \int {{x^4}{e^{3x}}dx} \] là:

Nguyên hàm \[I = \int {{e^x}\sin xdx} \] là:

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {x.\ln xdx} \] là:

Kết quả nguyên hàm \[I = \int {\left( {4x - 1} \right).{{\ln }^3}\left( {2x} \right)dx} \] là:

Cho \[F\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right){e^{2x}}\]. Biết rằng hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Nguyên hàm của hàm số \[f'\left( x \right){e^{2x}}\] là:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!