Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 07
5 người thi tuần này 4.6 4.9 K lượt thi 5 câu hỏi 45 phút
🔥 Đề thi HOT:
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức có lời giải
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên có lời giải
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn có đáp án
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải
Nội dung liên quan:
Danh sách câu hỏi:
Lời giải
1. a) Trong các phương trình trên, các phương trình bậc hai một ẩn là: \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\);
\(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0.\)
• Xét phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\) hay \({x^2} - 10x + 14 = 0\) có \(a = 1;b = - 10;c = 14\).
• Xét phương trình \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\) có \(a = 3;b = - 2\sqrt 3 ;c = 1\).
b) • Giải phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\), ta được: \({\left( {x - 5} \right)^2} = 11\) hay \({\left( {x - 5} \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}\)
Suy ra \(x - 5 = \sqrt {11} \) hoặc \(x - 5 = - \sqrt {11} \).
Do đó, \(x = 5 + \sqrt {11} \) hoặc \(x = 5 - \sqrt {11} \).
Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {5 + \sqrt {11} ;5 - \sqrt {11} } \right\}\).
• Giải phương trình \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\), ta có: \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\) hay \({\left( {\sqrt 3 x - 1} \right)^2} = 0\).
Suy ra \(\sqrt 3 x - 1 = 0\) nên \(x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) hay \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right\}.\)
2. Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh vườn lần lượt là \(x{\rm{\;(m)}}\) và \(y{\rm{\;(m)}}\) \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)
Vì mảnh vườn có chu vi là \(70{\rm{\;m}}\) nên ta có phương trình \[2\left( {x + y} \right) = 70\] hay \(x + y = 35\).
Vì mảnh vườn có diện tích là \(250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 250\).
Ta có: \(x + y = 35\) và \(xy = 250\) và \({35^2} - 4 \cdot 250 = 225 > 0\) nên \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình:
\({t^2} - 35t + 250 = 0.\)
Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \({t_1} = 10\) (thỏa mãn); \({t_2} = 25\) (thỏa mãn).
Mà chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng nên chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(25{\rm{\;m}},\,\,10{\rm{\;m}}.\)
Khu trồng hoa \(BEDF\) có \(BE = DF\) và \(BE\,{\rm{//}}\,DF\) nên có dạng một hình bình hành, do đó diện tích của khu trồng hoa là: \(6 \cdot 10 = 60{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Số tiền chủ vườn phải trả cho người trồng hoa để trồng hết khu trồng hoa đó là:
\(60 \cdot 50\,\,000 = 3\,\,000\,\,000\) (đồng).
Lời giải
a) Thay \(x = 1,y = - 2\) vào \(\left( P \right)\), ta được: \(a = - 2\).
Vậy hàm số đi qua điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) là \(y = - 2{x^2}\).
b) Ta có bảng giá trị của hàm số \(y = - 2{x^2}\) như sau:
\(x\) |
\( - 2\) |
\( - 1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(y\) |
\( - 8\) |
\( - 2\) |
\(0\) |
\( - 2\) |
\( - 8\) |
Do đó, đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ là \(\left( { - 2; - 8} \right);\left( { - 1; - 2} \right);\left( {0;0} \right);\) \(\left( {1; - 2} \right);\left( {2; - 8} \right)\).
Ta có đồ thị hàm số như sau:

c) Thay \(x = \frac{2}{3}\) vào \(\left( P \right)\), ta có: \(y = - 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\) hay \(y = \frac{{ - 8}}{9}\).
Do đó, điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ là \(\frac{2}{3}\) đó là \(\left( {\frac{2}{3};\frac{{ - 8}}{9}} \right)\).
Lời giải
a) Với \(m = 2,\) ta có: \(\left( {2.2 - 3} \right){x^2} - 2\left( {2 - 2} \right)x - 1 = 0\) hay \({x^2} - 1 = 0\) nên \({x^2} = 1\).
Suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = - 1\).
Vậy với \(m = 2,\) phương trình có nghiệm là \(\left\{ { - 1;1} \right\}\).
b) Xét phương trình \(\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\({\left( {m - 1} \right)^2} > 0\)\), ta có:
• Với \(2m - 3 = 0\) thì \(m = \frac{3}{2}\) thì ta được: \(x - 1 = 0\), suy ra \(x = 1\). (1)
• Với \(2m - 3 \ne 0\) thì \(m \ne \frac{3}{2}\) ta được phương trình bậc hai \(\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\)
Có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} + \left( {2m - 3} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\), với mọi \(m \in \mathbb{R}\). (2)
Từ (1) và (2), suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\).
c) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) và \(2m - 3 \ne 0\), suy ra và \(m \ne \frac{3}{2}\), do đó \(m \ne 1\) và \(m \ne \frac{3}{2}\).
Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{{\left( {2m - 3} \right)}}\end{array} \right.\).
Mà theo đề, ta có: \(2{x_1} + 3{x_2} = 5\) suy ra \({x_1} = \frac{{5 - 3{x_2}}}{2}\).
Thay \({x_1} = \frac{{5 - 3{x_2}}}{2}\) vào \({x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\), ta được: \(\frac{{5 - 3{x_2}}}{2} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\).
Suy ra \(5 - {x_2} = \frac{{4\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\) nên \({x_2} = 5 - \frac{{4\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 7}}{{2m - 3}}\).
Do đó, \({x_1} = \frac{{5 - 3{x_2}}}{2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}{x_2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}.\frac{{6m - 7}}{{2m - 3}} = \frac{{ - 8m + 6}}{{2\left( {2m - 3} \right)}} = \frac{{ - 4m + 3}}{{2m - 3}}\).
Mà \({x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{{\left( {2m - 3} \right)}}\) nên \(\frac{{6m - 7}}{{\left( {2m - 3} \right)}}.\frac{{\left( { - 4m + 3} \right)}}{{\left( {2m - 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{2m - 3}}\).
Suy ra \(\left( {6m - 7} \right).\left( { - 4m + 3} \right) = - \left( {2m - 3} \right)\)
Do đó, \(24{m^2} - 46m + 21 = 2m - 3\) hay \(24{m^2} - 48m + 24 = 0\)
Suy ra \({m^2} - 2m + 1 = 0\) hay \({\left( {m - 1} \right)^2} = 0\).
Suy ra \(m = 1\) (loại).
Vậy không có giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải
1.
![1. Trên mặt phẳng toạ độ \[Oxy\] cho \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right).\) Phép quay thuận chiều \[90^\circ \] tâm \[O\] biến điểm \[A\] thành điểm \[I.\] Khi đó, hãy tìm tọa độ của điểm \(I.\) 2. Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B.\) Đường thẳng \(AO\) cắt hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(C,\,\,E\) (khác điểm \(A).\) Đường thẳng \(AO'\) cắt hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(D,\,\,F\) (khác điểm \(A).\) Chứng minh: a) \(C,\,\,B,\,\,F\) thẳng hàng. b) Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn. c) \(A\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BDE.\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid5-1751336387.png)
Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[Ox.\] Ta có \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\) nên \[OH = AH = \left| {--2} \right| = 2.\]
Do đó \[\Delta AOH\] vuông cân tại \[H,\] nên \(\widehat {AOH} = 45^\circ .\)
Xét \[\Delta AOH\] vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore ta có:
\[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\]
Suy ra \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 .\)
Gọi \[I\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[Ox,\] do đó \[I\left( {--2;{\rm{ }}2} \right).\]
Như vậy, phép quay thuận chiều \[90^\circ \] tâm \[O\] biến điểm \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\) thành điểm \[I\left( {--2;{\rm{ }}2} \right).\]
2.
![1. Trên mặt phẳng toạ độ \[Oxy\] cho \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right).\) Phép quay thuận chiều \[90^\circ \] tâm \[O\] biến điểm \[A\] thành điểm \[I.\] Khi đó, hãy tìm tọa độ của điểm \(I.\) 2. Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B.\) Đường thẳng \(AO\) cắt hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(C,\,\,E\) (khác điểm \(A).\) Đường thẳng \(AO'\) cắt hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(D,\,\,F\) (khác điểm \(A).\) Chứng minh: a) \(C,\,\,B,\,\,F\) thẳng hàng. b) Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn. c) \(A\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BDE.\) (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid6-1751336402.png)
a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AC\) là đường kính nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét đường tròn \(\left( {O'} \right)\) có \(AF\) là đường kính nên \(\widehat {ABF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(\widehat {CBF} = \widehat {ABC} + \widehat {ABF} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ .\)
Suy ra ba điểm \(C,\,\,B,\,\,F\) thẳng hàng.
b) Chứng minh tương tự câu 1, ta có \(\widehat {ADC} = 90^\circ \)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right))\) và \(\widehat {AEF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O'} \right)).\)
Do đó \(\widehat {CDF} = \widehat {CEF} = 90^\circ \) nên đường tròn ngoại tiếp các tam giác vuông \(CDF,\,\,CEF\) có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(CF\) hay các điểm \(C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(CF.\)
Vậy tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CF.\)
c) Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD)\)
Tứ giác \(ABFE\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O'} \right)\) nên \(\widehat {ABE} = \widehat {AFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE)\)
Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CF\) nên \(\widehat {DCE} = \widehat {DFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE)\) hay \(\widehat {ACD} = \widehat {AFE}\).
Từ đó suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ABE}\) hay \(BA\) là tia phân giác của góc \(DBE.\)
Chứng minh tương tự, ta có \(\widehat {CED} = \widehat {BEC}\left( { = \widehat {CFD}} \right)\) hay \(EC\) là tia phân giác của góc \(BED.\)
Xét tam giác \(BDE\) có \(BA\) và \(EC\) là hai đường phân giác của tam giác, chúng cắt nhau tại \(A\) nên \(A\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BDE.\)
Lời giải
Điều kiện: \(x \ge - 1.\)
Ta có: \({x^2} - 2x - 1 = \left( {{x^2} + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right)\)
Đặt \(a = \sqrt {{x^2} + 1} {\rm{ }}\left( {a > 0} \right)\), \(b = \sqrt {x + 1} {\rm{ }}\left( {b > 0} \right)\).
Từ (1) ta có phương trình \({a^2} - 2{b^2} = ab\) nên \({a^2} - 2{b^2} - ab = 0\)
Suy ra \(\left( {a + b} \right)\left( {a - 2b} \right) = 0\).
Vì \(a > 0,b > 0\) nên \(a + b > 0\).
Do đó, \(a - 2b = 0\) hay \(a = 2b\).
Suy ra \(\sqrt {{x^2} + 1} = 2\sqrt {x + 1} \) , do đó \({x^2} + 1 = 4\left( {x + 1} \right)\)
Suy ra \({x^2} - 4x - 3 = 0\).
Tính được \({x_1} = 2 + \sqrt 7 \) (thỏa mãn) và \({x_2} = 2 - \sqrt 7 \) (thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {2 + \sqrt 7 ;2 - \sqrt 7 } \right\}\).