Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Hà Nội có đáp án

1)

Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 9\].

Với \(x = 9\)(thỏa mãn điều kiện) thay vào \[A\] ta có:

\[A = \frac{{4\left( {\sqrt 9  + 1} \right)}}{{25 - 9}}\]

\[ = \frac{{4.\left( {3 + 1} \right)}}{{16}} = 1\].

2)

Rút gọn biểu thức \[B\].

Với \(x \ge 0\), \(x \ne 25\), ta có:

\[B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}}\].

\[B = \left[ {\frac{{15 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 5}}} \right]:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}}\]

\[B = \frac{{15 - \sqrt x  + 2\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}}\].

\[B = \frac{{15 - \sqrt x  + 2\sqrt x  - 10}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}}\].

\[B = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 1}}\].

\[B = \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\].

3)

Tìm tất cả các giá trị nguyên của \[x\] để biểu thức  \[P = A.B\] đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Ta có \(P = A.B = \frac{{4\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{25 - x}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{4}{{25 - x}}\).

Để \(P\) nhận giá trị nguyên khi \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(4 \vdots \left( {25 - x} \right)\) hay \(25 - x \in U\left( 4 \right) = \left\{ { - 4;\; - 2;\; - 1;\;1;\;2;\;4} \right\}\).

Khi đó, ta có bảng giá trị sau:

Do \[P\] đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có \[P = 4\].

Khi đó giá trị cần tìm của \[x\] là \[x = 24\].

Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là \[x\] và \[y\] (ngày) \[\left( {x > 15,y > 15} \right)\].

Một ngày đội thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

Một ngày đội thứ hai làm được \[\frac{1}{y}\] (công việc).

Vì hai đội cùng làm trong \[15\] ngày thì hoàn thành xong công việc nên trong một ngày cả hai đội làm được \[\frac{1}{{15}}\] (công việc).

Suy ra, ta có phương trình: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\]                                         (1).

Ba ngày đội đội thứ nhất làm được \[\frac{3}{x}\] (công việc).

Năm  ngày đội thứ hai làm được \[\frac{5}{y}\] (công việc).

Vì đội thứ nhất làm trong \[3\] ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong \[5\] ngày  thì cả hai đội hoàn thành xong \[25\%  = \frac{1}{4}\] (công việc).

Suy ra, ta có phương trình: \[\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\]                                              (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{40}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 40\end{array} \right..\]

Đối chiếu điều kiện ta thấy \(x = 24\) và \(y = 40\) thỏa mãn.

Kết luận: thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là \[24\] (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là \[40\] (ngày).

Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa.

Bồn nước đựng được số mét khối nước là:

\[0,32.1,75 = 0,56\,\,\left( {{m^3}} \right).\]

2a)

Chứng minh \[(d)\] luôn cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\):

\({x^2} = 2mx - {m^2} + 1\)

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\,\, = 0\] \[\left( 1 \right)\]

Xét \(\Delta ' = {m^2} - 1.\left( {{m^2} - 1} \right) = {m^2} - {m^2} + 1 = 1 > 0, \forall m\)

Do đó phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt \(\forall m\)

Vậy \[(d)\] luôn cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt.

2b)

Tìm tất cả giá trị của m để \[(d)\] cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\].

Theo định lí Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

\[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\] (Điều kiện: \[{x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\].

\( \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 2 + {x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\[ \Rightarrow {x_1} + {x_2} =  - 2 + {x_1}{x_2}\]

\[ \Leftrightarrow 2m =  - 2 + {m^2} - 1\]

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 1\left( L \right)\end{array} \right.\)

Kết Luận: \(m = 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.