Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Nguyễn Trường Tộ_Quận Đống Đa_TP. Hà Nội

Thay \[x = 9\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \[A,\] ta được: \[A = \frac{{3\sqrt 9 }}{{\sqrt 9 + 2}} = \frac{{3 \cdot 3}}{{3 + 2}} = \frac{9}{5}.\]

Vậy khi \[x = 9\] thì \[A = \frac{9}{5}\].

Với \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] ta có:

\[B = \frac{{x + 4}}{{x - 4}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\]\[ = \frac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]

 \[ = \frac{{x + 4 - 2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x + 4 - 2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]

 \[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\]

Vậy với \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] thì \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\]

Với \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] ta có:

\[A - B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\]

Theo bài, \[A - B < \frac{5}{4}\]

Suy ra \[\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} < \frac{5}{4}\]

\[\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{5}{4} < 0\]

\[\frac{{8\sqrt x }}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{5\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0\]

\[\frac{{8\sqrt x - 5\sqrt x - 10}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0\]

\[\frac{{3\sqrt x - 10}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0\] (*)

Với mọi \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] ta có: \[\sqrt x \ge 0\] nên \[\sqrt x + 2 > 0\] nên từ bất phương trình (*) suy ra:

\[3\sqrt x - 10 < 0\]

\[3\sqrt x < 10\]

\[\sqrt x < \frac{{10}}{3}\]

    \[x < \frac{{100}}{9}\].

Kết hợp điều kiện xác định \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] ta có \[0 \le x < \frac{{100}}{9},\,\,x \ne 4.\]

Mà \[x\] là số nguyên dương lớn nhất nên \[x = 11\].

Vậy \(x = 11\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Gọi khối lượng thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị thứ nhất và thứ hai sản xuất được lần lượt là \[x,y\] (tấn thóc, \[0 < x,\,\,y < 600).\]

Do năm ngoái hai đơn vị thu hoạch được \[600\] tấn thóc nên ta có phương trình: \[x + y = 600.\,\,\left( 1 \right)\]

Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức \(10{\rm{\% }}\) so với năm ngoái nên khối lượng thóc thu hoạch được là \(\left( {100\% + 10\% } \right)x = 110\% x = 1,1x\) (tấn thóc).

Năm nay, đơn vị thứ hai làm vượt mức \(20{\rm{\% }}\) so với năm ngoái nên khối lượng thóc thu hoạch được là \(\left( {100\% + 20\% } \right)y = 120\% y = 1,2y\) (tấn thóc).

Năm nay cả hai đơn vị thu hoạch được \[685\] tấn thóc nên ta có phương trình: \[1,1x + 1,2y = 685\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\1,1x + 1,2y = 685\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với \[1,2\] ta được hệ phương trình mới \(\left\{ \begin{array}{l}1,2x + 1,2y = 720\,\,\,\,\left( 3 \right)\\1,1x + 1,2y = 685\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (3) cho phương trình (2), ta được:

\(0,1x = 35\) suy ra \[x = 350\] (thỏa mãn).

Thay \(x = 350\) vào phương trình (1) ta được \(350 + y = 600,\) suy ra \[y = 250\] (thỏa mãn).

Vậy, năm ngoái, đơn vị thứ nhất thu hoạch được \[350\] tấn thóc; đơn vị thứ hai thu hoạch được \[250\] tấn thóc.

Đổi 12 phút \( = \frac{1}{5}\) giờ.

Gọi quãng đường \[AB\] là \[x\] \[(x > 0,\] km).

Thời gian dự định đi hết quãng đường \[AB\] là \(\frac{x}{{50}}\) (giờ).

Thời gian đi hết quãng đường 40 km là: \(\frac{{40}}{{50}} = \frac{4}{5}\) (giờ).

Quãng đường còn lại là \(x - 40\) (km) và vận tốc di chuyển trên quãng đường đó là \(50 + 10 = 60\) (km/h).

Thời gian xe tải di chuyển trên quãng đường còn lại là \(\frac{{x - 40}}{{60}}\) (giờ).

Do xe tải đến \(B\) đúng dự định nên ta có phương trình: \(\frac{4}{5} + \frac{1}{5} + \frac{{x - 40}}{{60}} = \frac{x}{{50}}.\)

Giải phương trình:                                                                                       

\(\frac{4}{5} + \frac{1}{5} + \frac{{x - 40}}{{60}} = \frac{x}{{50}}\)

\(\frac{{x - 40}}{{60}} - \frac{x}{{50}} + 1 = 0\)

\(\frac{{5\left( {x - 40} \right)}}{{300}} - \frac{{6x}}{{300}} + \frac{{300}}{{300}} = 0\)

\(5\left( {x - 40} \right) - 6x + 300 = 0\)

\(5x - 200 - 6x + 300 = 0\)

\( - x + 100 = 0\)

\(x = 100\) (thỏa mãn).

Vậy quãng đường \[AB\] dài \[100\] km.