Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2017 - 2018 Sở GD&ĐT Đà Nẵng có đáp án

\(A = \sqrt 8  + \sqrt {18}  - \sqrt {32} \)

\( = \sqrt {{{2.2}^2}}  + \sqrt {{{2.3}^2}}  - \sqrt {{{2.4}^2}} \)

\( = 2\sqrt 2  + 3\sqrt 2  - 4\sqrt 2 \)

\( = \sqrt 2 \).

\(B = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 }  - \sqrt 5 \)

\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.\sqrt 5 .2 + {2^2}}  - \sqrt 5 \)

\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}^2}}  - \sqrt 5 \)

\( = \left| {\sqrt 5  - 2} \right| - \sqrt 5 \)

\( = \sqrt 5  - 2 - \sqrt 5 \)   (do \[\sqrt 5  - 2 > 0\])

\( =  - 2\).

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 4\\x + 3y = 2\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3y = 4}\\{3x = 6}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{2x - 4}}{3}}\\{x = 2}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\].

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)\).

\(\frac{{10}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{2 - x}} = 1\)

Điều kiện: \(x \ne  \pm 2\).

\(\frac{{10}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{2 - x}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{10}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{ - 1\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( \Rightarrow 10 - x - 2 = {x^2} - 4\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3{\rm{ (tm)}}}\\{x =  - 4{\rm{ (tm)}}}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \(S = \left\{ {3; - 4} \right\}\).

a) Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = {x^2}\) và \(y = mx + 4\) là \[{x^2} = mx + 4\]

\( \Leftrightarrow {x^2} - mx - 4 = 0\) (1)

Thay \(m = 3\) vào phương trình (1) ta có: \({x^2} - 3x - 4 = 0\)

Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) = 0\)

Vậy phương trình \({x^2} - 3x - 4 = 0\)có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 4\end{array} \right.\) .

Với \(x =  - 1 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A( - 1;1)\).

Với \(x = 4 \Rightarrow y = 16 \Rightarrow B\left( {4;16} \right)\).

Vậy với \(m = 3\) thì hai đồ thị hàm số giao nhau tại 2 điểm \(A( - 1;1)\) và \(B\left( {4;16} \right)\).

b) Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) có: \(\Delta  = {m^2} - 4.\left( { - 4} \right) = {m^2} + 16 > 0\,\forall m \in \mathbb{R}\).

Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \({A_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \({A_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\)với mọi \(m\).

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} =  - 4\end{array} \right.\) .

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1}^2\\{y_2} = {x_2}^2\end{array} \right.\)

Theo đề, ta có:

\({\left( {{y_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2}} \right)^2} = {7^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1}^2} \right)^2} + {\left( {{x_2}^2} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1}^2} \right)^2} + 2{x_1}^2{x_2}^2 + {\left( {{x_2}^2} \right)^2} - 2\left( {{x_1}^2{x_2}^2} \right) = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{m^2} - 2.\left( { - 4} \right)} \right]^2} - 2.{\left( { - 4} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{m^2} + 8} \right)^2} = 81\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 8 = 9\\{m^2} + 8 =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 8 = 9\left( {{\rm{do }}{m^2} + 8 > 0\forall m} \right)\)

\( \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

Vậy với \(m = 1\); \(m =  - 1\) thì \({\left( {{y_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2}} \right)^2} = {7^2}\).