10 Bài tập Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi phương trình đường thẳng Δ là ax + by + c = 0 (với a² + b² ≠ 0).

Điểm A(–1; 2) thuộc vào đường thẳng Δ tức là –a + 2b + c = 0 suy ra c = a – 2b (1)

Khoảng cách từ B(3; 5) đến đường thẳng Δ bằng 3 nên ta có:

$\frac{\left|3a+5b+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3\iff \left|3a+5b+c\right|=3\sqrt{a^2+b^2}\left(2\right)$

Thay (1) vào (2), ta có:

$\left|4a+3b\right|=3\sqrt{a^2+b^2}\iff 16a^2+24ab+9b^2=9a^2+9b^2$

$\iff 7a^2+24ab=0\iff \left[\begin{array}{l}a=0\\ 7a+24b=0\end{array}\right.$.

Với a = 0, chọn b = 1 suy ra c = –2. Vậy đường thẳng Δ₁: y – 2 = 0.

Với 7a + 24b = 0, chọn b = –7 suy ra a = 24, c = 38. Vậy phương trình đường thẳng Δ₂: 24x – 7y + 38 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng Δ: 2x + y – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }=\left(2;1\right)$

Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng Δ nên d nhận ${\overrightarrow{n}}_d=\left(1;-2\right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Khi đó giả sử đường thẳng d có phương trình dạng: x – 2y + c = 0.

Vì d cách điểm M(3; – 2) một khoảng bằng $\sqrt{5}$ nên ta có:

$d\left(M,d\right)=\sqrt{5}\iff \frac{\left|3-2\cdot \left(-2\right)+c\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\sqrt{5}\iff \left|c+7\right|=5\iff \left[\begin{array}{l}c=-12\\ c=-2\end{array}\right.$.

Vậy có hai đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán là: d₁: x – 2y – 12 = 0 và d₂: x – 2y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d song song với đường thẳng d’ nên phương trình đường thẳng d’ có dạng 3x + 4y + c = 0.

Lấy điểm M(–1; 1) thuộc vào d’ nên ta có:

$d\left(d,d^{\text{'}}\right)=d\left(M,d^{\text{'}}\right)=2\iff \frac{\left|-3+4+c\right|}{5}=2\iff \left|c+1\right|=10\iff \left[\begin{array}{l}c=9\\ c=-11\end{array}\right.$.

Với c = 9 ta có d : 3x + 4y + 9 = 0.

Với c = –11 ta có d: 3x + 4y – 11 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(12;4\right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left(-3;-1\right)=-4\overrightarrow{AB}$ nên hai vectơ này cùng phương.

Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng d cách đều A, B, C là đường thẳng song song hoặc trùng với AB.

Ta thấy trong 4 phương án, không có đường thẳng nào đi qua A nên ta loại trường hợp d trùng AB. Khi đó đường thẳng d // AB.

Ta thấy đường thẳng x – 3y + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)$ nên nhận $\overrightarrow{AB}=\left(12;4\right)$ làm một vectơ chỉ phương. Do đó đường thẳng này song song với AB.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử M(x; y) là điểm cách đường thẳng Δ: 3x – 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2.

Ta có:

$d\left(M,\Delta \right)=2\iff \frac{\left|3x-4y+2\right|}{5}=2\iff \left|3x-4y+2\right|=10\iff \left[\begin{array}{l}3x-4y+12=0\\ 3x-4y-8=0\end{array}\right.$.

Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng 3x – 4y – 8 = 0; 3x – 4y + 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi H(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng Δ luôn đi qua.

Khi đó x₀ + (m – 1)y₀ + m = 0 với mọi m

⇔ (y₀ + 1)m + x₀ – y₀ = 0 với mọi m

$\iff \left\{\begin{array}{l}{y}_0+1=0\\ x_0-y_0=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{y}_0=-1\\ x_0=y_0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=-1\\ y_0=-1\end{array}\right.$

Suy ra Δ luôn đi qua điểm cố định H(–1; –1).

Với A(5; 1) và H(–1; –1) ta có $\overrightarrow{AH}=\left(-6;-2\right)$ nên $AH=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=2\sqrt{10}.$

Gọi M là hình chiếu của A trên Δ, ta có d(A, ∆) = AM ≤ AH.

Giá trị lớn nhất của d(A, Δ) = AH khi M ≡ H, suy ra maxd(A, Δ) = AH = $2\sqrt{10}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng (d).

Khi đó ta có:$d\left(A,\left(d\right)\right)=AH\le AB=\sqrt{{\left(3-1\right)}^2+{\left(4+1\right)}^2}=\sqrt{29}$.

Do đó khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất bằng $\sqrt{29}$ khi H ≡ B hay (d) ⊥ AB tại B.

Vì vậy (d) đi qua B và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(2;5\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình của đường thẳng (d) là 2(x – 3) + 5(y – 4) = 0 hay 2x + 5y – 26 = 0.