33 bài tập Căn thức có lời giải

 Theo định luật Kepler về sự chuyển động của các hành tinh trong Hệ mặt trời xác định mối quan hệ giữa chu kỳ quay quanh Mặt Trời của một hành tinh và khoảng cách giữa hành tinh đó với Mặt Trời. Định luật được cho bởi công thức \({\rm{s}} = \sqrt[3]{{6{{\rm{t}}^2}}}\). Trong đó, \(d\) là khoảng cách giữa hành tinh quay xung quanh Mặt Trời và Mặt Trời (đơn vị: triệu dặm, 1 dặm = 1609 mét), \(t\) là thời gian hành tinh quay quanh Mặt Trời đúng một vòng (đơn vị: ngày của Trái Đất).

a) Trái Đất quay quanh Mặt Trời trong 365 ngày. Tính khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời theo km.

b) Một năm Sao Hỏa dài bằng 687 ngày trên Trái Đất, nghĩa là Sao Hỏa quay xung quanh Mặt Trời đúng một vòng với thời gian bằng 687 ngày Trái Đất. Hãy tính khoang cách giữa Sao Hỏa và Mặt Trời theo km.

Tốc độ của một chiếc canô và độ dài đường sóng nước để lại sau đuôi của nó được cho bởi công thức \({\rm{v}} = 5\sqrt l \). Trong đó, \(l\) là độ dài đường nước sau đuôi canô (mét), \(v\) là vận tốc canô (m/giây).

a) Một canô đi từ Cần Giờ về Vũng Tàu để lại đường sóng nước sau đuôi dài \(7 + 4\sqrt 3 \;{\rm{m}}\). Hỏi vận tốc của canô?

b) Khi canô chạy với vận tốc \(54\;{\rm{km}}/\)giờ thì đường sóng nước để lại sau đuôi chiếc canô dài bao nhiêu mét?

 Vận tốc lăn \(v\) (tính bằng \({\rm{m}}/{\rm{s}}\) ) của một vật thể nặng m (tính bằng kg ) được tác động một lực \({{\rm{E}}_{\rm{k}}}\) (gọi là năng lượng Kinetic Energy, ký hiệu \({{\rm{E}}_{\rm{k}}}\), tính bằng Joule) được cho bởi công thức: \(v = \sqrt {\frac{{2{{\rm{E}}_{\rm{k}}}}}{{\rm{m}}}} \).

a) Hãy tính vận tốc của một quả banh bowling nặng 3 kg khi một người tác động một lực \({{\rm{E}}_{\rm{k}}} = 18\;{\rm{J}}?\)

b) Muốn lăng một quả bowling nặng 3 kg với vận tốc \(6\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\), thì cần sử dụng năng lượng Kinetic \({{\rm{E}}_{\rm{k}}}\) bao nhiêu Joule?

 Công suất tiêu thụ \(P\left( W \right)\) của đoạn mạch được tính bởi công thức \(P = {I^2}R\), trong đó \({\rm{R}}\left( \Omega  \right)\) là điện trở của đoạn mạch, \(I\left( A \right)\) là cường độ dòng điện chạy qua đoạn mạch.

a) Viết biểu thức tính \(I\) theo \(R\) và \(P\).

b) Tính giá trị của \(I\) khi \(R = 80\Omega ,P = 1200W\)(kết quả làm tròn đến hàng phần mười của Ampe).

Thời g̣ian rơi \(t\) tính theo giây của một vật được thả rơi tự do từ độ cao \(h(m)\) cho đến khi chạm đất thoả mãn hệ thức \(h = 5{t^2}\).

a) Tính thời gian rơi của vật khi \(h = 20\;m\) và khi \(h = 10\;m\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của giây).

b) Viết công thức biểu thị thời gian rơi \(t\) theo độ cao \(h(h > 0)\).

Điện áp \(U\) (tính theo volt) yêu cầu cho một mạch điện được cho bởi công thức \({\rm{U}} = \sqrt {{\rm{PR}}} \), trong đó P là công suất (tính theo watt) và R là điện trở trong (tính theo ohm).

Sóng thần (tsunami) là một loạt các đợt sóng tạo nên khi một thể tích lớn của nước đại dương bị dịch chuyển chớp nhoáng trên một quy mô lớn. Động đất cùng những dịch chuyển địa chất lớn bên trên hoặc bên dưới mặt nước, núi lửa phun và va chạm thiên thạch đều có khả năng gây ra sóng thần. Cơn sóng thần khởi phát từ dưới đáy biển sâu, khi còn ngoài xa khơi, sóng có biên độ (chiều cao sóng) khá nhỏ nhưng chiều dài của cơn sóng lên đến hàng trăm km. Con sóng đi qua đại dương với tốc độ trung bình 500 dặm một giờ. Khi tiến tới đất liền, đáy biển trở nên nông, con sóng không còn dịch chuyển nhanh được nữa, vì thế nó bắt đầu "dựng đứng lên" có thể đạt chiều cao một tòa nhà sáu tầng hay hơn nữa và tàn phá khủng khiếp.

Tốc độ của con sóng thần và chiều sâu của đại dương liên hệ bởi công thức \({\rm{s}} = \sqrt {{\rm{dg}}} \). Trong đó \({\rm{g}} = 9,81\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2},\;\) \({\rm{d}}\left( {deep} \right)\)là chiều sâu đại dương tính bằng \({\rm{m}},{\rm{s}}\) là vận tốc của sóng thần tính bằng \({\rm{m}}/{\rm{s}}\).

Vận tốc \({\rm{v}}({\rm{m}}/{\rm{s}})\) của một tàu lượn di chuyển trên một cung tròn có bán kính \({\rm{r}}({\rm{m}})\) được cho bởi công thức: \({\rm{v}} = \sqrt {{\rm{ar}}} \). Trong đó a là gia tốc của tàu \(\left( {{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}} \right)\) (gia tốc là đại lượng vật lý đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian. Nó là một trong những đại lượng cơ bản dùng để mô tả chuyển động và là độ biến thiên của vận tốc theo thời gian).

a) Nếu tàu lượn đang chạy với vận tốc \({\rm{v}} = 14\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) và muốn đạt mức gia tốc tối đa cho phép là \({\rm{a}} = 9\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}\) thì bán kính tối thiểu của cung tròn phải là bao nhiêu để xe không văng ra khỏi đường ray?

b) Nếu tàu lượn đang di chuyển với vận tốc \({\rm{v}} = 8\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) xung quanh một cung tròn có bán kính \({\rm{r}} = 25\;{\rm{m}}\) thì có gia tốc tối đa cho phép là bao nhiêu?

Động năng \(W\left( J \right)\) của một vật có khối lượng \(m\left( {kg} \right)\) đang chuyển động với tốc độ \(v\left( {m/s} \right)\)được tính theo công thức \(W = \frac{1}{2}m{v^2}\).

a) Viết công thức biểu thị tốc độ \(v\) theo động năng \(W\)và khối lượng \(m\).

b) Tính tốc độ \(v\) khi \(m = 0,4\;kg,\;W = 0,5\;J\) (tìm giá trị đúng, sau đó làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của \(m/s\)).

c) Để động năng của vật tăng gấp 2 lần thì tốc độ phải tăng gấp bao nhiêu lần?

Tốc độ chuyển động \({\rm{v}}\left( {{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)\) của một vệ tinh nhân tạo quay quanh Trái Đất theo quỹ đạo tròn được tính bởi công thức \(v = R\sqrt {\frac{g}{{R + h}}} \), trong đó \(g \approx 9,81\;m/{s^2}\) là gia tốc trọng trường, \(R = 6,{378.10^6}\;m\) là bán kính Trái Đất, \(h(m)\) là độ cao của vệ tinh so với mặt đất. Tính tốc độ của vệ tinh (làm tròn đến hàng chục của \(m/s\)) có độ cao so với mặt đất:

a) 200 km; b) 10000 km.

Quãng đường đi của một vật rơi tự do không vận tốc đầu cho bởi công thức \({\rm{S}} = \frac{1}{2}{\rm{g}}{{\rm{t}}^2}\) (trong đó g là gia tốc trọng trường \({\rm{g}} \approx 9,81\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2},{\rm{t}}\) là thời gian rơi tự do, S là quãng đường rơi tự do). Một vận động viên nhảy dù, nhảy khỏi máy bay ở độ cao 3500 mét (vị trí A ) với vận tốc ban đầu không đáng kể. Hỏi sau thời gian bao nhiêu giây (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) vận động viên phải mở dù để khoảng cách từ (vị trí B) đến mặt đất (vị trí C) trong hình vẽ là 1500 mét.

Người châu Mỹ tiêu thụ số lượng táo trung bình một mỗi năm trong giai đoạn 1980 đến 2000 được biểu diễn bởi công thức: \(y = \sqrt {22x + 180} \). Trong đó \(y\) là số táo mỗi người tiêu thụ trong một năm tính theo pound,

\(x\) là năm (chạy từ 1980 đến 2000).

a) Hỏi năm 1990 mỗi đầu người tiêu thụ bao nhiêu pound táo?

b) Nếu công thức tính số lượng táo tiêu thụ vẫn còn giá trị cho những năm sau thì mỗi người sẽ tiêu thụ 211 pound táo vào năm nào? (Giá trị quốc tế được công nhận hiện nay là \(1{\rm{ pound}} = 0,454\;{\rm{kg}}\) )

Galilei là người phát hiện ra quãng đường chuyển động của vật rơi tự do tỉ lệ thuận với bình phương của thời gian. Quan hệ giữa quãng đường chuyển động y (mét) và thời gian chuyển động \(x\) (giây) được biểu diễn gần đúng bởi công thức \({\rm{y}} = 5{{\rm{x}}^2}\). Người ta thả một vật nặng từ độ cao 55 m trên tháp nghiêng Pisa xuống đất (sức cản của không khí không đáng kể)

a) Hãy cho biết sau 3 giây thì vật nặng còn cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Khi vật nặng còn cách đất 25 m thì nó đã rơi được thời gian bao lâu?

Thời gian \(T\left( s \right)\) để con lắc trên đồng hồ quả lắc thực hiện được một dao động (thời gian giữa hai tiếng “tích tắc” liên tiếp) gọi chu kì của con lắc và được tính bởi công thức \(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \), trong đó \(l\left( m \right)\) là chiều dài của dây, \(g = 9,8m/{s^2}\).

a) Tính chu kì của con lắc khi chiều dài của dây là \(l = 0,5m\) (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn của giây).

b) Chiều dài của dây phải bằng bao nhiêu thì con lắc có chu kì \(T = 2s\) ( kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn của mét)?

c) Nếu chiều dài của dây tăng lên gấp 2 lần thì chu kì của con lắc thay đổi như thế nào?

Thời gian \(t\) (tính bằng giây) từ khi một người bắt đầu nhảy bungee trên cao cách mặt nước \({\rm{d}}\) (tính bằng \(m\)) đến khi chạm mặt nước được cho bởi công thức: \(t = \sqrt {\frac{{3\;{\rm{d}}}}{{9,8}}} \).

a) Tìm thời gian một người nhảy bungee từ vị trí cao cách mặt nước 108 m đến khi chạm mặt nước?

b) Nếu một người nhảy bungee từ một vị trí khác đến khi chạm mặt nước là 7 giây. Hãy tìm độ cao của người nhảy bungee so với mặt nước?

Đường chân trời được xem là một đường thẳng, nơi mà mặt đất và bầu trời giao nhau trong mắt người. Đường chân trời thật ra không tồn tại một cách vật lý, mà đơn giản nó là đường giao nhau giữa bầu trời và mặt đất do giới hạn của mắt nên ở điểm xa tít mắt dường như thấy chúng tiếp xúc với nhau.

Do Trái Đất hình cầu nên sự uốn cong bề mặt của nó đã ngăn không cho chúng ta nhìn xa quá một khoảng cách nhất định. Cũng vì lý do đó cho nên khi càng lên cao, tầm quan sát của mắt người càng lớn.

Khoảng cách \({\rm{d}}\) (tính bằng km ) từ một người ở vị trí có chiều cao h (tính bằng mét) nhìn thấy được đường chân trời được cho bởi công thức: \({\rm{d}} = 3,57\sqrt {\rm{h}} \)

a) Hãy tính khoảng cách d từ người đó đến đường chân trời, biết người đó đang đứng trên ngọn hải đăng Kê Gà có chiều cao của tầm mắt \({\rm{h}} = 65\;{\rm{m}}\).

b) Nếu muốn nhìn thấy đường chân trời từ khoảng cách 25 km thì vị trí quan sát của ngọn hải đăng phải được xây cao bao nhiêu so với mặt nước biển?

Tốc độ tăng trưởng dân số bình quân hàng năm có thể tính theo công thức: \(\overline {\rm{r}}  = \sqrt {\frac{{{{\rm{P}}_{\rm{t}}}}}{{{{\rm{P}}_0}}}}  - 1\)

Trong đó: \({{\rm{P}}_0}\): Dân số thời điểm gốc

\({{\rm{P}}_{\rm{t}}}\): Dân số thời điểm năm sau

\(\overline {\rm{r}} \): Tốc độ tăng trưởng dân số bình quân hàng năm.

Tổng số dân Việt Nam năm 2014 là 90728,9 ngàn người. Tổng số dân Việt Nam năm 2015 là: 91703,8 ngàn người.

a) Hãy tính tốc độ tăng trưởng dân số bình quân hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn trên.

b) Theo tốc độ tăng trưởng trên. Hãy ước tính số dân Việt Nam vào năm 2016.

Trên một đoạn sông, tốc độ dòng chảy của nước ở bề mặt sông lớn hơn tốc độ dòng chảy của nước ở đáy sông. Gọi \(v\left( {km/h} \right)\) là tốc độ dòng chảy của nước ở bề mặt sông và \(f\left( {km/h} \right)\) là tốc độ dòng chảy của nước ở đáy sông. Khi đó ta có công thức: \(\sqrt f  = \sqrt v  - 1,3\).

a) Tính tốc độ dòng chảy của nước ở đáy sông, biết tốc độ dòng chảy của nước ở bề mặt sông là \(9km/h\).

b) Tính tốc độ dòng chảy của nước ở bề mặt sông, biết tốc độ dòng chảy của nước ở đáy sông là \(20,25km/h\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ở Hình 3 mô tả cột đèn với chiều cao \(AB = 7\left( m \right)\) và khoảng cách \(AC = x\left( m \right)\). Viết công thức tính độ dài bóng đèn \(BC\) của cột đèn theo \(x\).

Điện áp \(U\left( V \right)\) yêu cầu cho một mạch điện được cho bởi công thức \(U = \sqrt {P.R} \), trong đó \(P\left( W \right)\) là công suất tiêu thụ của điện trở và \(R\left( \Omega  \right)\) là giá trị điện trở.

a) Tính điện áp để thắp sáng cho bóng đèn \(A\) có công suất tiêu thụ là \(100W\) và giá trị điện trở là \(110\Omega \) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của vôn).

b) Bóng đèn \(B\) có điện áp \(110V\) và giá trị điện trở là \(88\Omega \). Công suất tiêu thụ của bóng đèn \(B\) có lớn hơn công suất tiêu thụ của bóng đèn \(A\) hay không? Vì sao?

 Để ước tính tốc độ\({\rm{s}}\) (dặm/giờ) của một chiếc xe, cảnh sát sử dụng công thức: \({\rm{s}} = \sqrt {30{\rm{fd}}} \) (với d (tính bằng feet) là độ dài vết trượt của bánh xe và \(f\) là hệ số ma sát)

a) Trên một đoạn đường (có gắn bảng báo tốc độ bên trên) có hệ số ma sát là 0,73 và vết trượt của một xe 4 bánh sau khi thắng lại là 49,7 feet. Hỏi xe có vượt quá tốc độ theo biển báo trên đoạn đường đó không? (Cho biết 1 dặm \( = 1,61\;{\rm{km}}\) )

b) Nếu xe chạy với tốc độ \(48\;{\rm{km}}/\) giờ trên đoạn đường có hệ số ma sát là 0,45 thì khi thắng lại vết trượt trên nền đường dài bao nhiêu feet?

Công thức \({\rm{h}} = 0,4\sqrt[3]{{\rm{x}}}\) biểu diễn mối tương quan giữa cân nặng x (tính bằng kg ) và chiều cao h (tính bằng m ) của một con hươu cao cổ.

a) Một con hươu cao cổ cân nặng 180 kg thì cao bao nhiêu mét?

b) Một con hươu cao cổ có chiều cao \(2,56\;{\rm{m}}\) thì cân nặng bao nhiêu kg?

Theo quy định, bán kính trái bóng rổ của nữ nhỏ hơn của nam. Bán kính của trái bóng rổ được cho bởi công thức: \(r = \sqrt[3]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}}\). Trong đó, \(r\) là bán kính của trái bóng rổ tính bằng inch \((1\) inch \( = 2,54\;{\rm{cm}}),{\rm{V}}\) là thể tích không khí được chứa trong trái bóng tính bằng inch \(^3\) ).

a) Tính bán kính của trái bóng rổ nữ biết nó chứa được 413 inch \(^3\) không khí.

b) Tính thể tích của trái bóng rổ nam biết nó có bán kính 4,77 inch.

Địa y là một dạng kết hợp giữa nấm và một loại sinh vật có thể quang hợp (có thể là tảo lục hay khuẩn lam) trong một mối quan hệ cộng sinh. Địa y tồn tại ở một số môi trường khắc nghiệt nhất thế giới như đài nguyên bắc cực, sa mạc, bờ đá. Chúng rất phong phú trên các lá và cành cây tại rừng mưa và rừng gỗ, trên đá, cả trên tường gạch và đất. Nóc của nhiều tòa nhà cũng có địa y mọc. Địa y rất phổ biến và có thể sống lâu; tuy nhiên, nhiều loại địa y dễ bị tổn thương khi thay đổi thời tiết đột ngột, chúng có thể được các nhà khoa học dùng để đo mức độ ô nhiễm không khí, hay hủy hoại tầng ozone.

Để tính toán thời gian một chu kỳ đong đưa (một chu kỳ đong đưa dây đu được tính từ lúc dây đu bắt đầu được đưa lên cao đến khi dừng hẳn) của một dây đu, người ta sử dụng công thức: \({\rm{T}} = 2\pi \sqrt {\frac{{\rm{L}}}{{\rm{g}}}} \). Trong đó, T là thời gian một chu kỳ đong đưa, L là chiều dài của dây đu, \({\rm{g}} = 9,81\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}\).

a) Một dây đu có chiều dài \(2 + \sqrt 3 \;{\rm{m}}\), hỏi chu kỳ đong đưa dài bao nhiêu giây?

b) Một người muốn thiết kế một dây đu sao cho một chu kỳ đong đưa của nó kéo dài 4 giây. Hỏi người đó phải làm một dây đu dài bao nhiêu?

Khi cần nâng vật tải trọng nặng phải sử dụng 4 nhánh dây cáp thì sự đồng đều về độ dài dây của các nhánh có ý nghĩa rất quan trọng vì đảm bảo sự phân bố tải trọng lên các nhánh, nếu không sẽ có nhánh chịu vượt tải, mất cân bằng và có khi gây tai nạn. Chiều dài của mỗi nhánh dây được xác định theo công thức:

\({\rm{L}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\rm{b}}}{2}} \right)}^2} + {{\rm{h}}^2}} \)

Trong đó: \(L(m)\) là độ dài của nhánh dây cáp

\({\rm{h}}({\rm{m}})\) là chiều cao tam giác tạo thành bởi các nhánh

\({\rm{b}}({\rm{m}})\) là khoảng cách giữa các điểm cố định dây cáp theo đường chéo

Cần nâng một vật nặng hình vuông, khoảng cách giữa hai điểm cố định trên một cạnh bất kỳ của hình vuông là \(\sqrt 8 \;{\rm{m}}\). Tính độ dài đường chéo b của vật nặng hình vuông và độ dài dây cáp \(L\), biết khoảng cách từ cù móc đến vật nặng là \(h = \sqrt {2\sqrt 3 } \;{\rm{m}}\).

Một phần khung của một cây cầu gồm các thanh thép tạo thành các tam giác vuông cân như Hình 2. Biết rằng cạnh \(CD\) có độ dài \[a{\rm{ }}\left( m \right)\]. Tính độ dài của đoạn \(BF\) theo \(a\).

Chu kì \(T\)(thời gian để hoàn thành một quỹ đạo, đơn vị: giây) của một vệ tinh nhân tạo có quỹ đạo là đường tròn và bán kính \(R\) (đơn vị: \(m\)) của quỹ đạo đó có mối liên hệ \(\frac{{{T^2}}}{{{R^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{GM}}\) trong đó, \(G = \frac{{6,673}}{{{{10}^{11}}}}N{m^2}/k{g^2}\) là hằng số hấp dẫn, \(M = 5,{98.10^{24}}\;kg\) là khối lượng của Trái Đất.

a) Viết công thức tính \(R\) theo \(T,G\) và \(M\).

b) Tính \(R\) khi \(T\) bằng 24 giờ (chu kì của vệ tinh địa tĩnh). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của kilômét.