Bài tập Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

H = 2cos x – 3cos (π – x) + 5sin \(\left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right)\) + cot \(\left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)\)

    = 2cos x + 3cos x + 5sin \(\left( {2\pi + \pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)\) + cot \(\left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)\)

    = 5cos x + 5sin \(\left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)\) + cot \(\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)

    = 5cos x – 5sin \(\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) + tan x

    = 5cos x – 5cos x + tan x

    = tan x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

K = (1 – sin² x)cot² x + (1 – cot² x) = cot² x – sin² x.cot² x + 1 – cot² x

$=-{\sin }^{2}x.\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}+1$ = – cos² x + 1 = sin² x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

M = cos $\left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)$ + sin (α – π) = cos $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ – sin α = sin α – sin α = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\(P = \frac{{{{\left( {\sin \alpha - c{\rm{os}}\alpha } \right)}^2} - 1}}{{\cot \alpha - \sin \alpha c{\rm{os }}\alpha }}\)\( = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - 2\sin \alpha c{\rm{os }}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - 1}}{{\frac{{{\rm{cos }}\alpha }}{{{\rm{sin }}\alpha }} - \sin \alpha \cos \alpha }}\)

    \( = \frac{{ - 2\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha {\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha \cos \alpha }}\) \( = \frac{{ - 2{{\sin }^2}\alpha c{\rm{os }}\alpha }}{{{\rm{cos }}\alpha \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)}}\) \( = \frac{{ - 2{{\sin }^2}\alpha }}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}\)

    = \( - 2{\tan ^2}\alpha \).

Vậy a = – 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Q = sin⁴ x – cos⁴ x + 2cos² x = (sin² x – cos² x)( sin² x + cos² x) + 2cos² x

    = sin² x – cos² x + 2cos² x = sin² x + cos² x = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: tan² x – sin² x = $\frac{{\sin }^{2}x}{{\text{cos}}^{2}x}-{\sin }^{2}x={\sin }^{2}x\left(\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}-1\right)$

                                = sin² x(1 + tan² x – 1) = tan² x.sin² x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

L = sin⁴ α – cos⁴ α + 1 = (sin² α – cos² α)( sin² α + cos² α) + 1

  = sin² α – cos² α + 1 = sin² α + (1 – cos² α)

  = sin² α + sin² α = 2sin² α.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

T = $\frac{{\sin }^3\alpha +c{\text{os}}^3\alpha }{\sin \alpha +c\text{os}\alpha }$ = $\frac{\left(\sin \alpha +c\text{os}\alpha \right)\left({\sin }^2\alpha -\sin \alpha .\cos \alpha +c{\text{os}}^2\alpha \right)}{\sin \alpha +c\text{os}\alpha }$ = 1 – sin α.cos α.

Như vậy m = 1; n = – 1 ⇒ m + n = 0.