Đề kiểm tra Giới hạn của dãy số (có lời giải) - Đề 1

Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.

Phát biểu nào sau đây là sai?

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng \(0\)?

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Các mệnh đề sau đúng/sai?

a) Ta nói dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có giới hạn là số \[a\] (hay \[{u_n}\] dần tới \[a\]) khi \[n \to + \infty \], nếu \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\].

b) Ta nói dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có giới hạn là \[0\]khi \[n\] dần tới vô cực, nếu \[\left| {{u_n}} \right|\] có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

c) Ta nói dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có giới hạn \[ + \infty \] khi \[n \to + \infty \] nếu \[{u_n}\] có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

d) Ta nói dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có giới hạn \[ - \infty \] khi \[n \to + \infty \] nếu \[{u_n}\] có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Biết giới hạn \(\lim \frac{{2n + 1}}{{ - 3n + 2}} = a\). Khi đó:

a) Giá trị \(a\) lớn hơn 0.

b) Ba số \( - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3}\) tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng \(2\)

c) Trên khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) phương trình lượng giác \(\sin x = a\) có 3 nghiệm

d) Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q = 3\) và \({u_1} = a\), thì \({u_3} = - 6\)

Tính được các giới hạn sau, khi đó:

a) \(\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\)

b) \(\lim \frac{1}{{{{(\sqrt 2 )}^n}}} = - \infty \)

c) \(\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\)

d) \(\lim 4 = 0\)

Tính được các giới hạn sau, khi đó:

a) \(\lim {(\sqrt 3 )^n} = - \infty \)

b) \(\lim {\pi ^n} = 0\)

c) \(\lim \left( {{n^3} + 2{n^2} - 4} \right) = + \infty \)

d) \(\lim \left( { - {n^4} + 5{n^3} - 4n} \right) = - \infty \)

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \(\left| {{u_n} - 2} \right| \le \frac{1}{{{3^n}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\).

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^2} + n}}\).

Tính tổng \(S = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{27}} + \cdots + {( - 1)^n}\frac{1}{{{3^n}}} + \cdots \)