Đề kiểm tra Giới hạn của dãy số (có lời giải) - Đề 3

Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Biết giới hạn \(\lim \left( { - 2{n^3} - 5n + 9} \right) = a\) và \(\lim \frac{{{4^n} + 3}}{{1 + 3 \cdot {4^{n + 1}}}} = b\). Khi đó:

a) Tích \(a.b = 3\)

b) Hàm số \(y = \sqrt {1 - x} \) có tập xác định là \(D\left( {a;1} \right]\)

c) Giá trị \(b\) là số lớn hơn \(0\)

d) Phương trình lượng giác \(\cos x = b\) vô nghiệm

Biết giới hạn  và . Khi đó:

a) \(\lim \left( { - 3{n^2} + \frac{1}{n}} \right) = a\)

b) \(x = b\) là hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 2x\) với trục hoành

c) \(\lim {\left( {\frac{1}{{2024}}} \right)^n} = b\)

d) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = b\), thì \({u_3} = 2\)

Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: \(S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \ldots \) và \(T = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{3^n}}} + \ldots \)Khi đó:

a) \(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \ldots \)là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = - \frac{1}{2}.\)

b) \(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{3^n}}} + \ldots \)là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = \frac{1}{3}{\rm{. }}\)

a) \(S > T\)

b) \(S = \frac{1}{T}\)

Cho \({u_n} = \frac{{{7^n} + {2^{2n - 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{7^{n + 1}} + {5^{n - 1}}}}\). Biết \(\lim {u_n} = \frac{a}{b}\) (với \(a,b \in \mathbb{Z};\frac{a}{b}\) tối giản). Khi đó:

a) \(a + b = 8\)

b) \(a - b = - 7\)

c) Bộ ba số \(a;b;13\) tạo thành một cấp số cộng có công sai \(d = 7\)

d) Bộ ba số \(a;b;49\)tạo thành một cấp số nhân có công bội \(q = 7\)

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{n^2} - n + 3} \right)\).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \(\left| {{u_n} - \frac{n}{{n + 1}}} \right| \le \frac{1}{{{n^2}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\).

Tính tổng \(M = \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{10}}}}\)

Cho tổng: \({S_n} = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\). Tính \[{S_{30}}\]