Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Tự luận

Cho đồ thị hàm số \[y = {x^2}\] có đồ thị \[\left( P \right)\].

(a) Vẽ đồ thị \[\left( P \right)\].

(b) Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng \[16.\]

(c) Tìm các điểm trên parabol (khác gốc tọa độ) các đều hai trục của tọa độ.

Cho hàm số \[y = a{x^2}\] có đồ thị hàm số \[\left( P \right)\].

(a) Xác định \[a\] biết \[\left( P \right)\] đi qua điểm \[A\left( {1; - 2} \right)\].

(b) Vẽ đồ thị \[\left( P \right)\].

(c) Tìm điểm thuộc \[\left( P \right)\] có hoành độ bằng \[2\].

Cho hàm số \[y = a{x^2}\] với \[a \ne 0\].

1. Xác định \[a\] để đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left( { - 1;2} \right)\].

2. Với giá trị \[a\] vừa xác định được, hãy:

(a) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.

(b) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng \[4\].

(c) Tìm các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục tọa độ.

Cho hàm số \[y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}\] với \[m\] là tham số. Tìm \[m\] để:

(a) Đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left( {\frac{1}{2};2} \right)\].

(b) Đồ thị hàm số đi qua điểm \[\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] biết \[\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 3\\2x + y = 1\end{array} \right.\].

(c) Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị \[m\] tìm được ở trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Cho hàm số \[y = a{x^2}\] biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm \[A\left( {2;4} \right)\].

(a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

(b) Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng \[8\].

(c) Tìm \[m\] sao cho \[B\left( {m;{m^3}} \right)\] thuộc parabol.

(d) Tìm các điểm trên parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ.

Một hòn đá rơi xuống một cái hang, khoảng cách rơi xuống được cho bởi công thức \[h = 4,9{t^2}{\rm{ m}}\], trong đó \[t\] là thời gian tính bằng giây.

(a) Hãy tính độ sâu của hang nếu mất \[3{\rm{s}}\] để hòn đá chạm đáy.

(b) Nếu hang sâu \[122,5{\rm{ m}}\] thì phải mất bao lâu để hòn đá chạm tới đáy.

Một cây cầu treo tháp đôi cao \[75{\rm{ m}}\] so với mặt của cây cầu và cách nhau \[{\rm{400 m}}{\rm{.}}\]Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số \[y = a{x^2}\] và được treo trên các đỉnh tháp như hình vẽ.

(a) Tính độ dài đoạn \[CH\] của dây cáp, biết điểm \[H\] cách tâm \[O\] của cây cầu là \[100{\rm{ m}}{\rm{.}}\](giả sử mặt cầu của cây cầu bằng phẳng)

(b) Nếu có đường thẳng vuông góc với trục \[Oy\] tại điểm \[E\left( {0;27} \right)\] và đồng thời cắt parabol hai điểm \[M,N\] (như hình vẽ) thì khoảng cách hai điểm \[M,N\] lần lượt đến tâm \[O\] là bao nhiêu?

Thiết diện một hồ nước là hình parabol \[y = a{x^2}\] (chọn hệ trục tọa độ vuông góc với \[Oxy\] như hình vẽ), biết rằng bề ngang của thiết diện là \[AB = 8{\rm{ m}}\], bề sâu của thiết diện \[OC = 4{\rm{ m}}\].

(a) Xác định hệ số \[a\].

(b) Vẽ đồ thị hàm số với hệ số \[a\] vừa tìm được trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\].

Đường đi của quả bóng theo quỹ đạo là một parabol \[y = a{x^2}\]. Một cầu thủ ở vị trí \[A\] (hình minh họa), đá một quả bóng bay bổng lên cao đến vị trí \[O\] cách mặt đất \[15{\rm{ m}}\] và rơi xuống vị trí \[B\] cách \[A\] \[30{\rm{ m}}\].

Xác định tọa độ các điểm \[A\] và \[B\] trong hệ trục \[Oxy\] này và tìm giá trị của hệ số \[a\].

Quãng đường đi (đơn vị là mét) của một xe ô tô đi được trong thời gian \[t\] giây được cho bởi công thức \[y = a{t^2}\]. Giả sử ô tô trên đi được quãng đường \[225{\rm{ m}}\] sau khoảng thời gian \[5\] giây.

(a) Xác định hệ số \[a\].

(b) Hỏi xe ô tô đi trong bao lâu thì được quãng đường \[3,6{\rm{ km}}\] so với vị trí ban đầu?

Giải các phương trình sau:

(a) \[5{x^2} - 7x = 0\];

Giải các phương trình sau:

(b) \[ - 3{x^2} + 9 = 0\];

Giải các phương trình sau:

(c) \[ - \sqrt 3 {x^2} - 7x = 0\];

Giải các phương trình sau:

(d) \[ - \frac{3}{5}{x^2} - \frac{7}{2} = 0\];

Giải các phương trình sau:

(e) \[{\left( {x + 1} \right)^2} = 4\];

Giải các phương trình sau:

f) \[{\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\];

Giải các phương trình sau:

(g) \[ - {x^2} - 7x - 6 = 0\];

Giải các phương trình sau:

(h) \[{x^2} - 3x + 2 = 0\];

Giải các phương trình sau:

(i) \[9{x^2} - 12x + 4 = 0\];

Giải các phương trình sau:

(k) \[{x^2} - 6x + 8 = 0\];

Giải các phương trình sau:

(l) \[2{x^2} - 6x + 3 = 0\];

Giải các phương trình sau:

m) \[{x^2} - 3x + 3 = 0\].

Giải các phương trình sau:

(a) \[{x^2} + \sqrt 8 x = 2\];

Giải các phương trình sau:

(b) \[{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2 = 0\];

Giải các phương trình sau:

(c) \[2{x^2} + 2\sqrt {11} x - 7 = 0\];

Giải các phương trình sau:

(d) \[3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\];

Giải các phương trình sau:

(e) \[\sqrt 3 {x^2} - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 1 = 0\];

Giải các phương trình sau:

(f) \[ - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x + 4 = 0\];

Giải các phương trình sau:

(g) \[3{x^2} - 4x = \sqrt 2 {x^2} - 2\];

Giải các phương trình sau:

(h) \[{x^2} = \sqrt 2 x + 2\sqrt 2 \].

Giải các phương trình sau:

(a) \[{\left( {x + 1} \right)^2} - 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0\];

Giải các phương trình sau:

(b) \[{x^2} + 7x - 3 = x\left( {x - 1} \right) - 1\];

Giải các phương trình sau:

(c) \[2{x^2} - 5x - 3 = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 3\];

Giải các phương trình sau:

(d) \[5{x^2} - x - 3 = 2x\left( {x - 1} \right) - 1 + {x^2}\].

Cho phương trình \[m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0\] với \[m\] là tham số. Tìm \[m\] để phương trình:

(a) Có hai nghiệm phân biệt.

(b) Có nghiệm kép.

(c) Vô nghiệm.

(d) Có đúng một nghiệm.

Cho phương trình \[\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\] với \[m\] là tham số.

(a) Giải phương trình với \[m = 2\].

(b) Chứng minh rằng với mọi \[m \in \mathbb{R}\], phương trình luôn có nghiệm.

(c) Với giá trị nào của \[m\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Cho phương trình \[\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m = 0\] với \[m\] là tham số. Tìm các giá trị của \[m\] để phương trình:

(a) Có hai nghiệm phân biệt.

(b) Có nghiệm kép.

(c) Vô nghiệm.

(d) Có đúng một nghiệm.

(e) Có nghiệm.

Cho phương trình: \[{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0\].

(a) Giải phương trình với \[m = 3\].

(b) Tìm các giá trị của \[m\] để phương trình có một trong các nghiệm bằng \[ - 4\].

(c) Tìm các giá trị của \[m\] để phương trình trên có nghiệm kép.

Chứng minh rằng với mọi \[m\] các phương trình sau luôn có nghiệm:

(a) \[{x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - m - 7 = 0\];

(b) \[{x^2} - 4m{x^2} - 4m - 2 = 0\].

Cho parabol \[\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{2}\] và đường thẳng \[\left( d \right):y = x + 4\].

(a) Vẽ \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] trên cùng hệ trục tọa độ.

(b) Tìm tọa độ giao điểm của \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\].

Cho parabol \[\left( P \right):y = - {x^2}\] và đường thẳng \[\left( d \right):y = 5x + 6\].

(a) Vẽ đồ thị \[\left( P \right)\].

(b) Tìm tọa độ của các giao điểm của \[\left( P \right)\] và đường thẳng \[\left( d \right)\].

Cho đường thẳng \[\left( d \right):y = 2mx + 2m - 3\] và parabol \[\left( P \right):y = {x^2}\].

(a) Tìm \[m\] để đường thẳng \[\left( d \right)\] đi qua \[A\left( {1;5} \right)\].

(b) Tìm \[m\] để đường thẳng \[\left( d \right)\] tiếp xúc với parabol \[\left( P \right)\].

Cho parabol \[\left( P \right):y = {x^2}\] và đường thẳng \[\left( d \right):y = 3mx + 1 - {m^2}\] (\[m\] là tham số).

(a) Tìm \[m\] để \[\left( d \right)\] đi qua điểm \[A\left( {1; - 9} \right)\].

(b) Tìm \[m\] để \[\left( d \right)\] cắt \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1};{x_2}\] thỏa mãn \[{x_1} + {x_2} = 2{x_1}{x_2}\].

Cho parabol \[\left( P \right):y = 2{x^2}\] và đường thẳng \[\left( d \right):y = 2x + m\] (\[m\] là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để \[\left( d \right)\] cắt \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1};{x_2}\] thỏa mãn \[\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) = 5\].

Cho phương trình \[{x^2} + 5x - 4 = 0\]. Gọi \[{x_1};{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \[Q = x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2}\].

Giả sử \[{x_1};{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[{x^2} - 5x - 1 = 0\]. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

(a) \[A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1} - {x_2}\];

(b) \[B = x_1^4 + x_2^4\];

(c) \[C = \frac{1}{{x_1^3}} + \frac{1}{{x_2^3}}\];

(d) \[D = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\].

Cho phương trình \[{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 2m - 5 = 0\] (\[m\] là tham số).

(a) Tìm điều kiện của \[m\] để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1};{x_2}\].

(b) Tìm hệ thức liên hệ giữa \[{x_1};{x_2}\] không phụ thuộc vào tham số \[m\].

Cho phương trình \[{x^2} + 5x + m = 0\] (1) với \[m\] là tham số.

(a) Giải phương trình (1) khi \[m = - 3\].

(b) Tìm \[m\] để phương trình (1) có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] phân biệt thỏa mãn \[9{x_1} + 2{x_2} = 18.\]

Cho phương trình \[{x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\] (1) với \[m\] là tham số.

(a) Giải phương trình (1) khi \[m = 3\].

(b) Tìm các giá trị của \[m\] để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \[{x_1};{x_2}\] sao cho biểu thức \[A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\] đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho phương trình \[{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 4m + 3 = 0\] (với \[m\] là tham số).

(a) Tìm \[m\] để phương trình đã cho có nghiệm.

(b) Tìm \[m\] để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.

(c) Tìm \[m\] để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

(d) Tìm \[m\] để phương trình đã cho có hai nghiệm dương.

(e) Tìm \[m\] để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.

Tìm hai số \[x\] và \[y\] biết:

(a) \[x + y = 18\] và \[xy = 77\]; (b) \[x + y = - 3\] và \[xy = 5\];

(c) \[x - y = 2\sqrt 3 \] và \[xy = 1\]; (d) \[{x^2} + {y^2} = 34\] và \[xy = - 15\].

Một tổ công nhân dự định làm \[240\] sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm thêm được \[10\] sản phẩm so với dự định. Do đó mỗi tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định \[2\] ngày. Hỏi khi thực thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?

Một người đi xe máy từ huyện Ba Vì đến huyện Mỹ Đức cách nhau \[100{\rm{ km}}\]. Khi về người đó tăng vận tốc thêm \[10{\rm{ km/h}}\] so với lúc đi, do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi của xe máy.

Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng \[{\rm{6 m}}\]. Diện tích của khu vườn là \[{\rm{216 }}{{\rm{m}}^2}\]. Tính chiều rộng và chiều dài mảnh vườn đó.

Bai công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 6 giờ 40 phút. Nếu họ làm riêng thì công nhân thứ nhất hoàn thành công việc đó ít hơn công nhân thứ hai 3 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi công nhân phải làm trong bao lâu thì xong công việc?

Một đội xe cần vận chuyển \[{\rm{160}}\] tấn gạo với khối lượng mỗi xe chở bằng nhau. Khi sắp khởi hành thì được bổ sung thêm 4 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn dự định lúc đầu là \[2\] tấn gạo (khối lượng mỗi xe chở vẫn bằng nhau). Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc?

Cho tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\], biết \[\widehat {BAC} = 30^\circ ,\widehat {BCA} = 40^\circ \] như hình vẽ dưới đây.

Tính số đo các góc \[\widehat {ABC},\widehat {ADC},\widehat {AOC}\].

Cho hình vẽ dưới đây. Tính số đo góc \[\widehat {BAC}\].

Cho đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\] và \[S\] là một điểm nằm ngoài đường tròn. Các đường thẳng \[SA,SB\] lần lượt cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm thứ hai \[M,N\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[AN\] với \[BM\]. Chứng minh rằng:

(a) \[SH \bot AB\].

(b) \[HM.HB = HN.HA\].

Cho \[\left( O \right)\] và điểm \[M\] cố định. Qua \[M\] kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[A\] và \[B\], đường thẳng thứ hai cắt đường tròn tại \[C\] và \[D\]. Chứng minh rằng \[MA.MB = MC.MD.\]

Cho tam giác \[ABC\] có góc \[A\] nhọn nội tiếp đường tròn \[\left( {O;R} \right)\]. Chứng minh rằng \[BC = 2R\sin \widehat {BAC}\].

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB = 4a\] và đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] có bán kính \[R = \frac{{5a}}{2}\]. Tính cạnh \[AC\] theo \[a\].

Đường tròn nội tiếp tam giác đều \[ABC\] có bán kính bằng \[4{\rm{ dm}}\].

(a) Tính diện tích tam giác \[ABC\].

(b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \[ABC\] có bán kính bằng \[R = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\].

(a) Tính cạnh của tam giác \[ABC\] theo \[a\].

(b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của \[ABC\] theo \[a\].

Cho tam giác \[ABC\] có \[AB = 5{\rm{ cm}}\], \[AC = 12{\rm{ cm}}\], \[BC = 13{\rm{ cm}}\].

(a) Tính diện tích tam giác \[ABC\].

(b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], có \[AB = 6{\rm{ cm}}\] và \[AC = 8{\rm{ cm}}\] ngoại tiếp đường tròn \[I\] bán kính \[r\]. Tính \[r\].

Dựa vào hình vẽ sau, hãy tính số đo các góc của tứ giác \[ABCD\], biết \[\widehat {DCx} = 135^\circ .\]

Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao \[BD\] và \[CE\] của tam giác \[ABC\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[BD\] và \[CE\].

(a) Chứng minh \[ADHE\] là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh \[BCDE\] là tứ giác nội tiếp.

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Kẻ đường cao \[AH\] và phân giác trong \[AD\] của góc \[HAC\]. Phân giác trong của \[\widehat {ABC}\] cắt \[AH\], \[AD\] lần lượt tại \[M,N\]. Chứng minh rằng: \[MHDN\] là tứ giác nội tiếp.

Cho đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\], dây \[CD\] vuông góc với \[AB\] tại \[F\]. Gọi \[M\] là một điểm thuộc cung nhỏ \[BC\] (\[M\] khác \[B,C\]), hai đường thẳng \[AM\] và \[CD\] cắt nhau \[E\].

(a) Chứng minh tứ giác \[BMEF\] nội tiếp.

(b) Chứng minh tia \[MA\] là phân giác của góc \[\widehat {CMD}\].

(c) Chứng minh \[A{C^2} = AE.AM.\]

Cho đường tròn \[O\] đường kính \[AB\]. Dây cung \[MN\] vuông góc với \[AB\], \[\left( {AM < BM} \right)\]. Hai đường thẳng \[BM\] và \[NA\] cắt nhau tại \[K\]. Gọi \[H\] là chân đường vuông góc kẻ từ \[K\] đến đường thẳng \[AB\].

(a) Chứng minh tứ giác \[AHKM\] nội tiếp trong một đường tròn.

(b) Chứng minh rằng \[NB.HK = AN.HB.\]

(c) Chứng minh \[HM\] là tiếp tuyến của đường tròn \[O\].

Cho điểm \[M\] nằm ngoài đường tròn tâm \[O\]. Vẽ tiếp tuyến \[MA,MB\] của đường tròn với \[A,B\] là các tiếp điểm. Vẽ cát tuyến \[MCD\] không đi qua tâm \[O\] (\[C\] nằm giữa \[M\] và \[D\]); \[OM\] cắt \[AB\] và \[\left( O \right)\] lần lượt tại \[H,I\]. Gọi \[E\] là trung điểm của \[DC\].

(a) Chứng minh: \[MAOB,ABOE\] nội tiếp.

(b) Chứng minh \[MC.MD = M{A^2}\] và \[\widehat {MHC} = \widehat {MDO}\].

(c) Chứng minh: \[OH.OM + MC.MD = M{O^2}\]

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nội tiếp \[\left( O \right)\]. Từ một điểm \[D\] trên cạnh \[BC\] kẻ đường thẳng vuông góc với \[BC\] cắt \[AC\] tại \[F\] và cắt tia đối của tia \[AB\] tại \[E\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[BF\] và \[CE\], tia \[HD\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[K\].

(a) Chứng minh tứ giác \[AECD\] nội tiếp.

(b) Chứng minh \[BF.BH = BD.BC\] và \[AK \bot BC\].

(c) Gọi \[I\] là trung điểm của \[EF\]. Chứng minh \[OI \bot AH\].

Cho đường tròn \[\left( O \right)\] có dây cung \[AB\] cố định. Kẻ đường kính \[IK\] vuông góc với \[AB\] tại \[N\] (\[I\] thuộc cung lớn \[AB\]). Lấy điểm \[M\] bất kì trên cung lớn \[AB\], \[MK\] cắt \[AB\] tại \[D\]. Hai đường thẳng \[IM\] và \[AB\] cắt nhau tại \[C\].

(a) Chứng minh rằng \[INDM\] là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh \[ND.NC = NI.NK\].

(c) Gọi \[E\] là giao điểm của đường thẳng \[ID\] và \[CK\]. Chứng minh \[E \in \left( O \right)\].

(d) Xác định vị trí của \[M\] trên cung lớn \[AB\] để tích \[DM.DK\] đạt giá trị lớn nhất.

Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh \[AD\] như hình vẽ. Tính các góc của tam giác \[ABC\].

Cho ngũ giác đều \[ABCDE\]. Gọi \[I\] là giao điểm của \[AD\] và \[BE\]. Chứng minh rằng:

(a) \[DIBC\] là hình bình hành;

(b) \[D{I^2} = AI.AD.\]

Đường tròn tâm \[O\] nội tiếp hình vuông \[ABCD\], tiếp điểm trên \[AB\] là \[M\]. Một tiếp tuyến với \[\left( O \right)\] cắt các cạnh \[BC,CD\] lần lượt ở \[E,F\]. Chứng minh rằng

(a) Các tam giác \[DFO\] và \[BOE\] đồng dạng.

(b) \[ME\parallel AF.\]

Cho các số \[a,b,c\] dương thỏa mãn \[2ab + c\left( {a + b} \right) = 6\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{2a + 2b + c}}{{\sqrt {4{a^2} + 12} + \sqrt {4{b^2} + 12} + \sqrt {{c^2} + 12} }}\].

Cho \[a,b,c\] là các số thực dương thỏa mãn \[a + b + c = 1\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[A = \frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{{ca}}{{\sqrt {b + ca} }}\].

Một gia đình muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp với chiều dài \[x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\], chiều rộng \[x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\] và chiều cao \[{\rm{h }}\left( {\rm{m}} \right)\] có thể tích bằng \[{\rm{4 }}{{\rm{m}}^3}\]. Để xây dựng bể chứa nước này, gia đình đó cần phải trả \[500\,\,000\] đồng cho mỗi mét vuông để xây hai mặt đáy của bể và \[1\,\,000\,\,000\] đồng cho mỗi mét vuông để xây bốn mặt bể. Tính chi phí tối thiểu gia đình đó phải trả để xây bể chứa nước.

Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có chu vi là \[600{\rm{ m}}\] để xây dụng một vườn hoa. Với chiều rộng \[x\] của khu vườn, tìm \[x\] để diện tích vườn hoa xây được là lớn nhất.

Nhận dịp Tết Trung Thu, câu lạc bộ sinh viên muốn kinh doanh đèn ông sao. Chi phí để hoàn thiện mỗi chiếc đèn ông sao là \[7\] nghìn đồng. Với giá bán \[25\] nghìn đồng cho mỗi chiếc đèn ông sao, câu lạc bộ bán được \[200\] chiếc đèn. Để bán được nhiều đèn ông sao, câu lạc bộ sinh viên dự định giảm giá bán và ước tính rằng theo tỉ lệ cứ giảm giá \[1\] nghìn đồng mỗi chiếc đèn thì số lượng bán ra tăng thêm \[20\] chiếc. Vậy câu lạc bộ nên bán mỗi chiếc đèn với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá thu được lợi nhuận cao nhất?

Kim cương là một khoáng sản quý, có rất nhiều giá trị và được sử dụng với nhiều mục đích khác nhau. Giá bán của một viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó. Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên (theo đúng tỉ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm? Trong trường hợp nào giá kim cương ban đầu giảm nhiều nhất? Và giảm bao nhiêu lần?