Đề tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026-2027 (Chung) Sở TP Hà Nội (có đáp án)

1) Dựa vào bảng tần số ghép nhóm ta có:

– Tần số ghép nhóm của nhóm \(\left[ {150;{\rm{ }}155} \right)\) là: 14.

– Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {150;{\rm{ }}155} \right)\) là: \(\frac{{14}}{{50}} \cdot 100\%  = 28\% \).

Vậy nhóm \([150;155)\) có tần số ghép nhóm là 14 và tần số tương đối ghép nhóm là 28%.

2) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một quả bóng là \(\left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6} \right\}\).

Số kết quả có thể xảy ra là \(n\left( \Omega  \right) = 6\).

Vì các quả bóng cùng loại nên các kết quả là đồng khả năng.

Các kết quả thuận lợi cho A là \[\left\{ {2;\,\,4;\,\,6} \right\}\], số kết quả thuận lợi là \(n\left( A \right) = 3\).

Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

1) Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\) ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {25}  - 4}}{{\sqrt {25} }} = \frac{{5 - 4}}{5} = \frac{1}{5}.\)

Vậy \(A = \frac{1}{5}\) khi \(x = 25\).

2) Với \(x > 0,x \ne 9\) ta có:

\(B = \frac{4}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{x - 7\sqrt x  - 12}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{4\left( {\sqrt x  + 3} \right) + x - 7\sqrt x  - 12}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{4\sqrt x  + 12 + x - 7\sqrt x  - 12}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}.\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\).

3) Với \(x > 0,x \ne 9\) ta có: \(P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  + 3}} = 1 - \frac{7}{{\sqrt x  + 3}}.\)

Vì \(1 \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \mathbb{Z}\) khi và chỉ khi \(P = \frac{7}{{\sqrt x  + 3}} \in \mathbb{Z}.\)

Với \(x > 0,x \ne 9\) thì \(\sqrt x  + 3 > 3\), từ đó \(0 < \frac{7}{{\sqrt x  + 3}} < \frac{7}{3}\) hay \(0 < P < \frac{7}{3}\).

Mà \(P \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}\).

– Với \(P = 1\) ta có\(\sqrt x  + 3 = 7\) suy ra \(\sqrt x  = 4\) nên \(x = 16\) (TMĐK).

– Với \(P = 2\) ta có \(\sqrt x  + 3 = \frac{7}{2}\) suy ra \(\sqrt x  = \frac{1}{2}\) nên \(x = \frac{1}{4}\) (TMĐK).

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{1}{4};16} \right\}\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.

Gọi số công nhân cần điều động là \(x\) (người) và số ngày thuê kho xưởng là \(y\) (ngày) \(\left( {x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Mỗi ngày một công nhân làm được 5 sản phẩm nên trong \(y\) ngày, \(x\) công nhân làm được \(5xy\) sản phẩm.

Theo đề bài ta có \(5xy \ge 1000\) hay \(xy \ge 200\) nên \(y \ge \frac{{200}}{x}\).

Tổng chi phí thuê kho xưởng và thưởng công nhân là: \(T = x + 3y\) (triệu đồng).

Ta có: \(T = x + 3y \ge x + \frac{{600}}{x} = \frac{{{x^2} - 49x + 600}}{x} + 49 = \frac{{\left( {x - 24} \right)\left( {x - 25} \right)}}{x} + 49\).

– Với \(x = 25\) thì \(T \ge 49\).

– Với \(x > 25\), do \(x \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(x \ge 26\), suy ra \(\left( {x - 24} \right)\left( {x - 25} \right) > 0\) do đó \(T > 49\).

– Với \(x < 25\), thì \(\left( {x - 24} \right)\left( {x - 25} \right) > 0\) suy ra \(T > 49\).

Tóm lại với mọi \(x\) nguyên dương thì \(T \ge 49\), dấu bằng xảy ra khi \(x = 25\) và \(y = 8\).

Vậy công ty nên điều động 25 công nhân và thuê kho xưởng trong 8 ngày để chi phí là nhỏ nhất (49 triệu đồng).

Gọi số áo mỗi ngày tổ sản xuất may theo kế hoạch là \(x\) (chiếc, \(x \in {\mathbb{N}^*}\)).

Số áo may được trong 3 ngày đầu là: \(3x\) (chiếc).

Thực tế, trong 7 ngày tiếp theo, mỗi ngày tổ may được nhiều hơn 5 chiếc, tức là \(x + 5\) (chiếc).

Số áo may được trong 7 ngày tiếp theo là: \(7\left( {x + 5} \right)\) (chiếc).

Vì sau 10 ngày, tổ đã may được tổng số 335 chiếc áo nên ta có phương trình:

\[3x + 7\left( {x + 5} \right) = 335\]

\[3x + 7x + 35 = 335\]

\[10x = 300\]

\[x = 30\] (thỏa mãn ĐK).

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất dự định may 30 chiếc áo.

Gọi số bông hoa hồng và hoa cúc người đó đã mua lần lượt là \(x\) và \(y\) (bông, \(x,y \in {\mathbb{N}^*};x,y < 25\)).

Người đó mua 25 bông hoa nên ta có phương trình: \(x + y = 25\) (1).

Số tiền mua hoa hồng là \(8x\) (nghìn đồng), số tiền mua hoa cúc là \(6y\) (nghìn đồng). Tổng số tiền hết 180 nghìn đồng nên ta có phương trình:

\(8x + 6y = 180\) hay \(4x + 3y = 90\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 25}\\{4x + 3y = 90}\end{array}} \right.\)

Thế \(y = 25 - x\) ta được \(4x + 3\left( {25 - x} \right) = 90\) suy ra \(x = 15\) (TMĐK).

Từ đó tìm được \(y = 25 - 15 = 10\) (TMĐK).

Vậy người đó đã mua 15 bông hoa hồng và 10 bông hoa cúc.

Vì phương trình có nghiệm \({x_1},{x_2}\) nên theo hệ thức Viète ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1}{x_2} = 1}\end{array}} \right.\).

Biến đổi biểu thức \(Q\):

\(Q = \frac{{3{x_2} - 1}}{{{x_1}}} + \frac{{3{x_1}}}{{{x_2}}} - {x_1} = \frac{{3{x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{{3{x_1}}}{{{x_2}}} - {x_1} = 3\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right) - \left( {\frac{{1 + x_1^2}}{{{x_1}}}} \right) = \frac{{3\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} - \frac{{x_1^2 + 1}}{{{x_1}}}.\)

Ta có \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2 \cdot 1 = 7\).

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình nên \(x_1^2 - 3{x_1} + 1 = 0\) suy ra \(x_1^2 + 1 = 3{x_1}\).

Thay vào biểu thức \(Q\) ta được: \(Q = 3 \cdot \frac{7}{1} - \frac{{3{x_1}}}{{{x_1}}} = 21 - 3 = 18\).