12 Bài tập Chứng minh đẳng thức lượng giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Ta có \({\cos ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} = 1 - 2{\sin ^2}\alpha + {\sin ^4}\alpha \)

Do đó: sin⁴ α − cos⁴ α = sin⁴ α – (1 – 2sin² α + sin⁴ α) = 2 sin² α − 1.

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Cách 2. Ta có sin⁴ α − sin⁴ α = (sin² α + cos² α)( sin² α − cos² α)

 = 1. [sin² α – (1 − sin² α)] = 2 sin² α − 1.

Vậy sin⁴ α − cos⁴ α = 2 sin² α − 1.

Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương

sin⁴ α − cos⁴ α = 2 sin² α − 1

⇔ sin⁴ α − 2 sin² α + 1 − cos⁴ α = 0

⇔ (1 − sin² α)² − cos⁴ α = 0

⇔ cos⁴ α − cos⁴ α = 0 (luôn đúng).

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Từ hệ thức cos² α + sin² α = 1, ta suy ra được:

\[{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\]; \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{3} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{3} = 1\]; \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{4} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{4} = 1\]; \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5} = 1\].

Suy ra: \[5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.1 = 5\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Tam giác ABC có: \(\widehat A\)+ \(\widehat B\)+ \(\widehat C\) = 180° (định lí tổng ba góc trong tam giác).

Suy ra: 180° −\(\widehat A\)= \(\widehat B\)+ \(\widehat C\) và

Do đó sin A = sin (180° − A) = sin (B + C), suy ra khẳng định A đúng.

Lại có \(\frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 90^\circ \)

Do đó:\(\cos \frac{A}{2} = \sin \frac{{B + C}}{2}\) (hai góc phụ nhau), suy ra khẳng định C đúng.

Mặt khác tan A = − tan (180° −\(\widehat A\)) = − tan (B + C), suy ra khẳng định D đúng và B sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do 0° < x < 90° nên tanx > 0 và cotx > 0.

Ta có tanx . cotx = 1, suy ra cotx = \(\frac{1}{{tanx}}\).

 Khi đó: \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}}\) = \(\frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 - \frac{1}{{\tan x}}}} = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x - 1}}{{\tan x}}}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\).

Vậy \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Với 0° ≤ x ≤ 180°, ta có

(sin x + cos x)² = sin² x + 2sin x. cos x + cos² x = 1 + 2sin x. cos x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Với 0° ≤ x ≤ 180°, ta có

sin⁴ x + cos⁴ x

= (sin² x)² + (cos² x)²

= [(sin² x)² + 2 sin² x. cos² x + (cos² x)²] – 2 sin² x. cos² x

= (sin² x + cos² x)² – 2 sin² x. cos² x

= 1 – 2 sin² x. cos² x.

Vậy sin⁴ x + cos⁴ x = 1 – 2 sin² x. cos² x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

(sin² x + cos² x)² + (sin² x − cos² x)²

= sin² x + 2sin x. cos x + cos² x + sin² x − 2sin x. cos x + cos² x

= 2(sin² x + cos² x) = 2 . 1 = 2.

Vậy giá trị của biểu thức (sin² x + cos² x)² + (sin² x − cos² x)² không phụ thuộc vào biến x và có kết quả bằng 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì sin² x + cos² x = 1, suy ra (sin² x + cos² x)³ = 1³ = 1.

Do đó ta có

1 − (sin⁶ x + cos⁶ x)

= \({\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - \left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\)

\( = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right){\sin ^2}x.{\cos ^2}x - {\sin ^6}x - {\cos ^6}x\)

\( = 3.1.{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\).

Vậy 1 − (sin⁶ x + cos⁶ x) = 3sin² x . cos ² x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Áp dụng quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau ta có:

sin 20° = sin(180° − 160°) = sin 160°;

cos 20° = cos(180° − 160°) = − cos 160°;

tan 20° = tan(180° − 160°) = − tan 160°;

cot 20° = cot(180° − 160°) = − cot 160°.

Vậy đáp án A đúng, B, C, D sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: \({\sin ^4}x + 4{\cos ^2}x = {\sin ^4}x + 4.\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = {\left( {{{\sin }^2}x - 2} \right)^2}\)

Và \({\cos ^4}x + 4{\sin ^2}x = {\cos ^4}x + 4\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = {\left( {{{\cos }^2}x - 2} \right)^2}\)

Do đó

\(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x\)

\( = \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{{\cos }^2}x - 2} \right)}^2}} + {\tan ^2}x\)

\( = \left| {{{\sin }^2}x - 2} \right| + \left| {{{\cos }^2}x - 2} \right| + {\tan ^2}x\) (do \(0 \le {\cos ^2}x;{\sin ^2}x \le 1\))

\( = 2 - {\sin ^2}x + 2 - {\cos ^2}x + {\tan ^2}x\)

\( = 4 - \left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) + {\tan ^2}x\)

\( = 4 - 1 + {\tan ^2}x = 3 + {\tan ^2}x\).

Vậy \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x\) = 3 + tan²x.

Hướng dẫn giải.

Đáp án đúng là: B.

Với 0° < α < 90°, ta có

sin (α + 90°)

= sin (180° − ( α + 90° ))           (hai góc bù nhau)

= sin (90°− α )

= cos α         (hai góc phụ nhau).

Vậy sin (α + 90°) = cos α.