Dạng 5. Bài tập nâng cao có đáp án

Ta đặt $\stackrel{⏜}{ADC}=\alpha$ thì $\stackrel{⏜}{DAM}=90°+\alpha ;\stackrel{⏜}{NCD}=90°+\alpha .$

$\Delta DAM$ và $\Delta NCD$ có:

$$\begin{gathered} AM=CD\left(=AB\right);\stackrel{⏜}{DAM}=\stackrel{⏜}{NCD}\left(=90°+\alpha \right); \\ AD=CN\left(=BC\right). \end{gathered}$$

Do đó $\Delta DAM=\Delta NCD\left(c.g.c\right)$

$\Rightarrow DM=DN$          (1)

và $\stackrel{⏜}{DMA}=\stackrel{⏜}{NDC}.$

Kéo dài MA cắt CD tại H. Ta có:

$MA\perp AB\Rightarrow MH\perp CD.$

Xét $\Delta MDH$ có $\stackrel{⏜}{DMA}+\stackrel{⏜}{ADM}+\alpha =90°$

$\Rightarrow \stackrel{⏜}{NDC}+\stackrel{⏜}{ADM}+\alpha =90°$

Hay $\stackrel{⏜}{MDN}=90°$     (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta DMN$ vuông cân tại D

Vẽ $HM\parallel AC\left(M\in AB\right),HN\parallel AB\left(N\in AC\right).$

Vì $CH\perp AB$ nên $CH\perp HN$. Vì $BH\perp AC$ nên $BH\perp HM.$

Xét $\Delta HBM$ vuông tại H có $BM>HB.$      (1)

Xét $\Delta HCN$ vuông tại H có $CN>HC$.       (2)

Xét hình bình hành ANHM có

$AM+AN=AM+MH>HA.$.                   (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

$BM+CN+AM+AN>HB+HC+HA$

do đó $\left(MB+AM\right)+\left(CN+AN\right)>HA+HB+HC$

hay $AB+AC>HA+HB+HC.$

Chứng minh tương tự, ta được: $BC+BA>HA+HB+HC$

                                         $CA+CB>HA+HB+HC.$

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:

$2\left(AB+BC+CA\right)>3\left(HA+HB+HC\right)$

Do đó $AB+BC+CA>\frac{3}{2}\left(HA+HB+HC\right).$

Qua O dựng một đường thẳng song song với BC cắt AB và CD lần lượt tại E và G. Qua O dựng một đường thẳng song song với CD cắt AD tại H.

Qua E dựng một đường thẳng song song với OC cắt BC tại F.

Khi đó tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài.

Thật vậy, các tứ giác AEOH, HOGD là những hình thang cân.

=> OA = EH, OD = HG        (1)

Tứ giác EFCO là hình bình hành => OC = EF      (2)

và OE = CF. Suy ra OG = BF

Vậy tứ giác OBFG là hình bình hành => OB = GF (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vẽ $O{O}^{\text{'}}\perp xy.$ 

Ta có: AA' // BB' // CC' // DD' // OO'

Xét hình thang AA'C'C có OA = OC và OO' = AA' nên O'A' = O'C'

Do đó OO' là đường trung bình của hình thang $A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\Rightarrow O{O}^{\text{'}}=\frac{A{A}^{\text{'}}+C{C}^{\text{'}}}{2}$ hay AA' + CC' = 2OO'

Xét hình thang DD'B'B, cũng chứng minh tương tự, ta có: BB' + DD' = 2OO'