Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 trường THCS Phan Đình Giót (Hà Nội) năm học 2024-2025 có đáp án

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 1\).

Thay \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0,\,x \ne 4\)) vào biểu thức \(A\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt 1 - 2}}{{\sqrt 1 + 9}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 9}} = \frac{{ - 1}}{{10}}\).

Vậy \(A = \frac{{ - 1}}{{10}}\) khi \(x = 1\).

2) Rút gọn biểu thức \(B\).

\(B = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }}\)

\( = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)

\( = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{3\sqrt x - 6 + x - 3\sqrt x - 2\sqrt x + 6 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\).

3) Cho biểu thức \(P = A.B\). Tìm \(x\) là số nguyên lớn nhất để \(P < \frac{1}{2}\).

Ta có: \(P = A.B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 9}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 9}}\)

Xét \(P - \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 9}} - \frac{1}{2} = \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x + 9} \right)}}{{2\left( {\sqrt x + 9} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 11}}{{2\left( {\sqrt x + 9} \right)}}\)

Để \(P < \frac{1}{2}\) thì \(P - \frac{1}{2} < 0\).

Suy ra \(\frac{{\sqrt x - 11}}{{2\left( {\sqrt x + 9} \right)}} < 0\)

Mà \(2\left( {\sqrt x + 9} \right) > 0\), với \(x > 0,\,x \ne 4\)

Do đó \(\sqrt x - 11 < 0\)

Vì vậy \(\sqrt x < 11\)

Khi đó \(x < 121\).

Vì \(x\) là số nguyên lớn nhất nên ta chọn \(x = 120\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0,\,x \ne 4\))

Vậy \(x = 120\) thoả mãn yêu cầu đề bài.

a) \(3{x^2} + 8x - 3 = 0\)

Phương trình có các hệ số: \(a = 3;b = 8;c = - 3\) và \(\Delta = {b^2} - 4ac = {8^2} - 4.3\left( { - 3} \right) = 100 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 8 + \sqrt {100} }}{{2.3}} = \frac{1}{3}\);

\({x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 8 - \sqrt {100} }}{{2.3}} = - 3\).

Vậy phương trình \(3{x^2} + 8x - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{1}{3}\) và \({x_2} = - 3\).

b) \({x^2} - 6x - 7 = 0\)

Phương trình có các hệ số: \(a = 1;b = - 6;c = - 7\).

Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 6} \right) - 7 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = - 1\);

\({x_2} = \frac{{ - c}}{a} = \frac{{ - \left( { - 7} \right)}}{1} = 7\).

Vậy phương trình \({x^2} - 6x - 7 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 7\).

c) \(5{x^2} + 2\sqrt {10} .x + 2 = 0\)

Phương trình có các hệ số: \(a = 5;b' = \sqrt {10} ;c = 2\) và \(\Delta ' = {b'^2} - ac = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - 5.2 = 0\) nên phương trình có nghiệm kép:

\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a} = \frac{{ - \sqrt {10} }}{5}\).

Vậy phương trình \(5{x^2} + 2\sqrt {10} .x + 2 = 0\) có nghiệm kép là \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - \sqrt {10} }}{5}\).

Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là \[x\] (km/h) (\[x > 0\]).

Thời gian dự định của ô tô là: \[\frac{{120}}{x}\] (giờ).

Sau khi đi được \[1\] giờ, quãng đường còn lại ô tô phải đi là: \[120 - 1.x = 120 - x\](km)

Vận tốc của ô tô khi đi trên quãng đường còn lại là: \[x + 6\] (km/h)

Thời gian ô tô đã đi trên quãng đường còn lại là: \[\frac{{120 - x}}{{x + 6}}\] (giờ)

Đổi: \[10\]phút \[ = \frac{1}{6}\] giờ.

Thời gian thực tế ô tô đã đi (tính cả thời gian bị chặn bởi xe cứu hoả) là: \[1 + \frac{1}{6} + \frac{{120 - x}}{{x + 6}}\] (giờ)

Vì xe vẫn đến \[B\]đúng như thời gian đã dự định nên ta có phương trình:

\[1 + \frac{1}{6} + \frac{{120 - x}}{{x + 6}} = \frac{{120}}{x}\] hay \[{x^2} + 42x - 4320 = 0\].

Phương trình có các hệ số \[a = 1,b' = 21,c = - 4320\].

Ta có: \[\Delta ' = {b'^2} - ac = {21^2} - 1.\left( { - 4320} \right) = 4761 > 0\].

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 21 + \sqrt {4761} }}{1} = 48\];

\[{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 21 - \sqrt {4761} }}{1} = - 90\].

So với điều kiện \[x > 0\], ta nhận \[{x_1} = 48\].

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là \[48\]km/h.

Vì \[{x_1} = 1\] là nghiệm của phương trình nên ta thay \[x = 1\]vào phương trình ta được:

\[{1^2} + 1 + m = 0 \Rightarrow m = - 2\].

Với \[m = - 2\] thay vào phương trình ta được: \[{x^2} + x - 2 = 0\]

Phương trình có các hệ số \[a = b = 1,c = - 2\].

Ta có: \[\Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.1.\left( { - 2} \right) = 9 > 0\].

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 9 }}{{2.1}} = 1\];

\[{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 1 - \sqrt 9 }}{{2.1}} = - 2\].

Thay \[{x_1},{x_2}\] vào biểu thức \[A\], ta được: \[A = 2024.1 + 2025.( - 2) = - 2026\].

Vậy giá trị của biểu thức \[A\] bằng \[ - 2026\].

a) Diện tích của hình quạt là: \(\frac{{150^\circ .\pi {{.2}^2}}}{{360^\circ }} = \frac{{5\pi }}{3}\,\left( {d{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích của hình quạt đó bằng \(\frac{{5\pi }}{3}\,\,d{m^2}\).

b) Chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn là: \(\frac{{150^\circ .\pi .2}}{{180^\circ }} = \frac{{5\pi }}{3}\,\left( {dm} \right)\)

Vậy chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó bằng \(\frac{{5\pi }}{3}\,\,dm\).