Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 trường THCS Ngô Sĩ Liên (Hà Nội) năm học 2024-2025 có đáp án

a) Tần số ghép nhóm của nhóm \(\left[ {20;30} \right)\) là \[{n_2} = 15\].

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {20;30} \right)\) là: \({f_2} = \frac{{{n_2}}}{N}.100\% = \frac{{15}}{{50}}.100\% = 30\% \).

Vậy tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {20;30} \right)\) lần lượt là \[15\] và \(30\% \).

b) Vẽ biểu đồ:

a) Không gian mẫu của phép thử là:

\({\rm{\Omega }} = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9;\,\,10;\,\,11;\,\,12;\,\,13;\,\,14;\,\,15;\,\,16;\,\,17;\,\,18;\,\,19;\,\,20} \right\}\).

b) Từ kết quả câu a), ta có không gian mẫu \({\rm{\Omega }}\) có \[20\] phần tử.

Biến cố \[A\]: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia cho \(4\) dư \[1\]”.

 Có \(5\) kết quả thuận lợi cho biến cố \[A\] là: \(1;\,\,5;\,\,9;\,\,13;\,\,17\).

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\) bằng \(\frac{1}{4}\).

a) Thay \(x = 9\)(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P\), ta được:

\(P = \frac{{9 + 3}}{{\sqrt 9 - 2}} = \frac{{12}}{{3 - 2}} = \frac{{12}}{1} = 12\).

Vậy \(P = 12\) khi \(x = 9\).

b) Với \[x > 0,x \ne 4\], ta có:

\[Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\].

\[ = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\].

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\].

\[ = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\].

\[ = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\].

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\].

\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\].

Vậy \[Q\, = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\] (điều phải chứng minh).

c) Với \[x > 0,x \ne 4\], ta có:

\[\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\].

\[ = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}\].

\[ = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }}\].

\[ = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \[\sqrt x \] và \[\frac{3}{{\sqrt x }}\], ta được:

\[\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3 \].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }}\].

Suy ra \[x = 3\].

Vậy \[\frac{P}{Q} \ge 2\sqrt 3 \] (điều phải chứng minh).

Gọi số tiền bác Toàn đầu tư vào khoản đầu tư thứ nhất, thứ hai lần lượt là \(x,y\) (triệu đồng).

Điều kiện: \(0 < x,y < 500\).

Vì tổng số tiền bác Toàn đầu tư vào hai khoản đầu tư là \(500\) triệu đồng nên ta có phương trình:

\(x + y = 500\) (1)

Vì lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6\% \)/năm nên số tiền lãi thu được cho khoản đầu tư thứ nhất là: \(x.6\% = 0,06x\) (triệu đồng).

Vì lãi suất cho khoản đầu tư thứ hai là \(8\% \) năm nên số tiền lãi thu được cho khoản đầu tư thứ hai là: \[y.8\% = 0,08.y\] (triệu đồng).

Do tổng số tiền lãi bác Toàn thu được là \(34\)triệu đồng nên ta có phương trình: \(0,06x + 0,08y = 34\) (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\0,06x + 0,08y = 34\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}y = 500 - x\\0,06x + 0,08y = 34\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thế \(y = 500 - x\) vào phương trình (2), ta được: \(0,06x + 0,08.\left( {500 - x} \right) = 34\).

Tức là, \(0,06x + 40 - 0,08x = 34\).

Suy ra \(0,02x = 6\).

Do đó \(x = \frac{6}{{0,02}}\).

Vì vậy \(x = 300\).

Với \(x = 300\), ta có: \(y = 500 - x = 500 - 300 = 200\).

So với điều kiện \(0 < x,y < 500\), ta nhận \(x = 300;\,\,y = 200\).

Vậy số tiền bác Toàn đã đầu tư vào khoản đầu tư thứ nhất, thứ hai lần lượt là \(300\) triệu đồng và \(200\) triệu đồng.

a) Chu vi bể tắm là: \(C = 2\pi r \approx 2.3,14.3 = 18,84\,\,\left( m \right)\).

Vậy chu vi bể tắm là \(18,84\,\,m\).

b) Đổi: \(50\,\,cm = 0,5\,\,m\).

Độ dài đoạn \(OB\) là: \(OB = OA - AB = 3 - 0,5 = 2,5\,\,\left( m \right)\).

Diện tích bề mặt của \(16\) tấm ván là: \(3,14.\left( {{3^2} - 2,{5^2}} \right) = 3,14.\left( {9 - 6,25} \right) = 8,635\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Đổi: \(8,635\,\,{m^2} = 863,5\,\,d{m^2}\).

Diện tích bề mặt của mỗi tấm ván là: \(\frac{{863,5}}{{16}} \approx 54\,\,\left( {d{m^2}} \right)\).

Vậy diện tích bề mặt của mỗi tấm ván là \(54\,\,d{m^2}\).