Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 25)

Cho x ∈ ℕ. Hãy chứng minh \({x^2} + 1\)không chia hết cho 4.

Cho n ∈ ℕ, chứng minh rằng \({n^2} + n + 1\) không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5.

Cho phương trình \(\cot x = \sqrt 3 \). Tính các nghiệm của phương trình ?

Giá trị của

\(M = {\cos ^2}15 + {\cos ^2}25 + {\cos ^2}35 + {\cos ^2}45 + {\cos ^2}105 + {\cos ^2}115 + {\cos ^2}125\)là ?

Một đơn vị bộ đội chuẩn bị 768 kg lương thực đủ cho 80 người ăn trong 12 ngày luyện tập. Trước ngày tập trung quân ban chỉ huy báo về là số người sẽ tăng gấp 3 số dự kiến. Vậy để đủ ăn trong số ngày luyện tập như dự kiến đơn vị đó phải mua thêm số lương thực là ?

∆ABC có \(\widehat A = 120^\circ \). Khẳng định nào sau đây đúng ?

Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lần lượt lấy 2, 4, n (n > 3) điểm phân biệt (các điểm không trùng với các đỉnh của tam giác). Tìm n, biết rằng số tam giác có các đỉnh thuộc n + 6 điểm đã cho là 247.

Tính GTLN của diện tích 1 tam giác biết 3 trong 2 cạnh của nó là 5 và 8.

Tìm m để phương trình 3sinx – 4cosx = 2m có nghiệm ?

Giải phương trình: \({x^2} - 2x = 0\).

Tìm x biết: \({x^3} - 4x = 0\).

Xác định a để đa thức \(10{x^2} - 7x + a\)chia hết cho (2x – 3).

Xếp 5 người A, B, C, D, E ngẫu nhiên vào 1 chiếc ghế có 5 chỗ ngồi. Tính xác suất để C ngồi chính giữa.

Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh A, B, C, D, E ngồi vào 1 dãy 5 ghế thẳng hàng (mỗi bạn ngồi 1 ghế). Tính xác suất để 2 bạn A và B không ngồi cạnh nhau.

Tính đạo hàm của hàm số \(y = \left( {{x^2} + 2x} \right){e^{ - x}}\)?

Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30 cm, đáy nhỏ CD = 10 cm và \(\widehat A\)= 60°. Tính cạnh BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính MN?

Chứng minh biểu thức sau lớn hơn 0 \(\forall x\): \(A = {x^2} + 6x - 11\).

Tìm nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = - 2\)?

Rút gọn biểu thức \(\frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho \(\overrightarrow v = \left( {1;1} \right)\). Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v \) biến đường thẳng ∆: x – 1 = 0 thành đường thẳng ∆’ có phương trình là ?

Hình thang vuông ABCD có \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ ,\)AB = AD = 2 cm, DC = 4 cm. Tính các góc của hình thang ?

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn. Tia phân giác của \(\widehat {CAx}\) cắt nửa đường tròn tại E, AE và BC cắt nhau tại K. Chứng minh:

a. ∆ABK cân tại B.

b. Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh: KI // Ax.

c. Chứng minh: OE // BC.

d. BI cắt Ax tại F. Chứng minh: tứ giác AIKF là hình thoi.

Tìm GTLN của hàm số y = sinx + cosx ?

Tổng các nghiệm của phương trình \(\frac{{\sin x}}{{\cos x - 1}} = 0\) trong (0; 2π).

Giải phương trình sau: \(3\cos x + 2\left| {\sin x} \right| = 2\).

Giải phương trình: \({\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2\).

Cho các mệnh đề:

(1) “ Nếu \(\sqrt 3 \)là số vô tỉ thì 3 là số hữu tỉ”

(2) “ Nếu tứ giác là hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau thì nó là hình bình hành”

(3) “ Nếu tứ giác là hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau thì nó là hình thoi”

(4) “ Nếu 3 > 4 thì 1 > 2”

Số mệnh đề có mệnh đề đảo là mệnh đề đúng là ?

Chứng minh: Nếu 1 tam giác vuông cân có độ dài cạnh vuông là số nguyên thì độ dài cạnh huyền là số vô tỉ”.

Cho biểu thức: \(A = {\left( {2x - 1} \right)^2} - 4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) - {\left( {5 - 3x} \right)^2}\).

a. Rút gọn A.

b. Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = - \frac{1}{3}\).

Cho biểu thức \(A = \frac{{2 - \frac{{3x}}{{{x^2}}} - 4 - \frac{2}{x} - 2 - \frac{1}{x} + 2}}{{x - 2 + 10 - \frac{{{x^2}}}{x} + 2}}\) .

a. Rút gọn A.

b. Tính giá trị biểu thức A tại x, biết \(\left| x \right| = \frac{1}{2}\).

Chứng minh rằng với mọi tập hợp A, B, C: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(6{x^2} - 12xy\).

Cho ∆ABC có \(\widehat B = 60^\circ \), BC = 8 cm, AB + AC = 12 cm. Tính AB ?

Cho nửa đường trong (O) đường kính BC và điểm A nằm trong nửa đường tròn (A ≠ B, C). Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ 2 nửa đường tròn, đường kính HB và HC. Chúng cắt AB và AC ở E và F.

a. Chứng minh: AE.AB = AF.AC.

b. Chứng minh: EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH.

c. Gọi I và K là 2 điểm của H qua AB và AC. Chứng minh I, A, K thẳng hàng.

Giải phương trình: \(\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) - 1 = \sin x.\cos x\).

Giải phương trình: \(\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\).

Cho ∆ABC, trung tuyến AM Chứng minh rằng:\(A{B^2} + A{C^2} = 2A{M^2} + \frac{{B{C^2}}}{2}\).

Cho ∆ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau ở D. Chứng minh:

a. ∆BDC cân.

b. AD là tia phân giác của góc A và DA là tia phân giác của \(\widehat D\).

c. AD ⊥ BC và AD đi qua trung điểm của BC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh A, \(\widehat {BAD} = 120^\circ \). Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt đáy, (SC;(ABCD)) = 45°. Gọi G là trọng tâm ∆ABC, tính khoảng cách h từ G đến (SCD) theo a.

Chứng minh rằng: Nếu 1 tam giác có 2 đường trung tuyến vuông góc với nhau thì tổng bình phương của 2 trung tuyến này bằng bình phương của đường trung tuyến thứ 3.

∆ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tìm hệ thức thể hiện quan hệ 3 cạnh của tam giác.

Giải phương trình: 1 + tanx = sinx + cosx.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).

Giải phương trình: \({\sin ^2}2x - 3\cos 2x + 3 = 0\).

Giải phương trình: \(\sin 2x + 3\cos x - 2{\sin ^2}x - 3\sin x = 0\).

Tính tổng: \({\sin ^2}2^\circ + {\sin ^2}4^\circ + {\sin ^2}6^\circ + ... + {\sin ^2}84^\circ + {\sin ^2}86^\circ + {\sin ^2}88^\circ \).

Số thập phân nhỏ nhất có 3 chữ số khác nhau và tổng các chữ số bằng 5 là?

Cho các tập hợp \(X = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 25 \le 0} \right\},A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \le a} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \ge b} \right\}\). Tìm a, b để A ∩ X và B ∩ X là các đoạn có chiều dài lần lượt là 7 và 9.

Chứng minh \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\).

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AD = CD và AC ⊥ BC. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD và cắt AB tại E.

a. Chứng minh tứ giác AECD là hình thoi.

b. Chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành.

c. Chứng minh ∆CEB cân.

Cho A = (2m – 1; m + 3) và B = (-4; 5). Tìm m sao cho A ⊂ B.

Cho 2 đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = \frac{1}{2}x + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right): - x + 2\). Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ.

Chứng minh cosa(1 + cosa)(tana – sina) = sin3a.

Chứng minh: tana = \(\frac{{\sin a}}{{\cos a}}\).

Một tòa nhà có n tầng, các tần được đánh số từ 1 đến n theo thứ tự từ dưới lên trên. Có 4 thang máy đang ở tầng 1. Biết rằng mỗi thang máy có thể dừng ở đúng 3 tầng (không kể tầng 1) và 3 tầng này không là 3 tầng số nguyên liên tiếp với 2 tầng bất kì (khác tầng 1) của tòa nhà luôn có 1 thang máy dừng được ở cả 2 tầng này. Hỏi GTLN của n là bao nhiêu?

Tính \(E = \frac{1}{{1.7}} + \frac{1}{{7.13}} + \frac{1}{{13.19}} + ... + \frac{1}{{31.37}}\).

Giải phương trình \(\sqrt 3 \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin 2x\).