Dạng 2: Tứ giác có góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện có đáp án

Ta có AMN = BMH = 90$°$ - MBH, NDH = 90$°$ - HAD mà MBH = $\frac{1}{2}$ABC, HAD = $\frac{1}{2}$HAC và ABC = HAC do cùng phụ với góc BCA, từ đó suy ra AMN = ADH hay tứ giác MHDN nội tiếp => MND = MHD = 90$°$.

Tam giác ABI nội tiếp đường tròn đường kính AI nên tam giác ABI vuông tại B.

=> IB $\perp$ AB.

Lại có OE $\perp$ AB (quan hệ đường kính và dây cung). Do đó OE // IB. Suy ra OEBI là hình thang.

Mà HK là đường trung bình của hình thang OEBI => HK // OE // IB => HK $\perp$ EB.

Tam giác MPI có: PI $\perp$ MN (vì P là điểm chính giữa của đường tròn (O));

                                    IP = IM (bán kính đường tròn (O)).

Suy ra $∆$MPI vuông cân tại I nên MPI = IMP = 45$°$.

Tam giác vuông SMN có SMN = 45$°$ nên $∆$SMN vuông cân tại N. Do đó MN = SN.