Dạng 1: Góc ở tâm có đáp án

Xét tam giác ACO vuông tại A có

nên    $\widehat{AOC}=90°-20°=70°\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AB}=70°$.

 $\widehat{AOB}$ là góc ngoài của tam giác cân AOD nên  $\widehat{ADB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}.70°=35°$.

Xét  $\Delta ACD$ có  $20°=\widehat{ACD}<\widehat{ADC}=35°\Rightarrow AC>AD$.

Tam giác vuông AOC có AB là trung tuyến ứng với cạnh huyền OC nên $BA=BC=BO$.

Do đó $\Delta AOB$ là tam giác đều $\Rightarrow \widehat{AOB}=60°$. Suy ra số đo cung nhỏ AB là 60  độ .

a) Ta thấy  $\Delta BNC$ và  $\Delta BPC$ là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền BC nên bốn điểm B,P,N,C nằm trên đường tròn tâm I, đường kính BC.

Khi đó  $IN=IP\Rightarrow \Delta INP$ cân tại I.             (1)

Tam giác ABN vuông tại N có:  $\widehat{ABN}+\widehat{BAN}=90°\Rightarrow \widehat{ABN}=90°-\widehat{BAN}=30°$.

Ta có  $\widehat{PBN}$ là góc nội tiếp và  $\widehat{PIN}$ là góc ở tâm cùng chắn cung  $\stackrel{⏜}{NP}$.

Do đó  $\widehat{PIN}=2\widehat{PBN}=60°$.                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $\Delta INP$ đều.

b)  $IP=IB$ (bán kính đường tròn  $\left(I\right)$)

 $\Rightarrow \Delta IBP$ cân  $\Rightarrow IE\perp BP$.

Tương tự có  $IK\perp NC$.

Do đó, bốn điểm  $I,M,E,K$ cùng nằm trên đường tròn đường kính  $AI$ (vì các tam giác vuông  $AEI,AMI$ và AKI có chung cạnh huyền AI).

c) Từ điều kiện của bài toán ta thấy AI là tia phân giác của  $\widehat{BAC}$ mà AI là trung tuyến của  $\Delta ABC$ nên  $\Delta ABC$ cân tại A (do trung tuyến đồng thời là đường phân giác).

Mặt khác,  $\widehat{BAC}=60°$ nên  $\Delta ABC$ đều.

Trong tam giác vuông BPC có  $\widehat{PBC}=60°\Rightarrow \widehat{BCP}=90°-\widehat{PBC}=30°$.

Vậy  $\widehat{BCP}=30°$.