Dạng 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.

Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Kẻ BH vuông góc với AC .

Ta có : S_ABCD = 2S_ABC  = AC.BH

Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó :

S_ABCD ≤ 8.3 = 24 (cm²)

S_ABCD = 24 cm² $\iff$ BH ≡ BO $\iff$ H ≡ O $\iff$ BD vuông góc với AC

Vậy max S_ABCD = 24 cm² . Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm².

Tam giác HAE = tam giác EBF = tam giác FCG = tam giác GHD

$\Rightarrow$ HE = EF = FG = GH

$\Rightarrow$ EFGH là hình thoi .

$\Rightarrow$  $\widehat{AHE}=\widehat{B\text{EF}}$

$\Rightarrow \widehat{AHE}+\widehat{\text{AEH}}={90}^0$

$\Rightarrow$  $\widehat{B\text{EF}}+\widehat{\text{AEH}}={90}^0\Rightarrow \widehat{HEF}={90}^0$

$\Rightarrow$ EFGH là hình vuông

Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai hình vuông ABCD và EFGH.

DHOE vuông cân : HE² = 2OE² $\Rightarrow$ HE = OE$\sqrt{2}$

Chu vi EFGH = 4HE = 4$\sqrt{2}$ OE . Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất $\iff$ OE nhỏ nhất

Kẻ OK vuông góc với AB $\Rightarrow$ OE ≥OK ( OK không đổi )

OE = OK $\iff$ E ≡ K

Do đó min OE = OK

Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là trung điểm của AB , BC, CD, DA.

Gọi K là giao điểm của CM và DB

MA = MB ; $\widehat{A}=\widehat{\text{B}}={90}^0;\widehat{AMC}=\widehat{\text{BMK}}$ ,

$\Rightarrow$ Tam giác MAC = MBK $\Rightarrow$ MC = MK

Mặt khác DM vuông góc với CK

$\Rightarrow$ tam giác DCK cân $\Rightarrow {\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$

Kẻ MH vuông góc với CD .

 $\Rightarrow$Tam giác MHD = MBD $\Rightarrow$ MH = MB = a

$\Rightarrow$ S_MCD =$\frac{1}{2}$CD.MH ≥ $\frac{1}{2}$ AB.MH =$\frac{1}{2}.$ 2a.a= a²

S_MCD = a² $\iff$ CD vuông góc với Ax khi đó $\widehat{AMC}$  = 45⁰ ; $\widehat{BMD}$  =45⁰.

Vậy min S_MCD = a² . Các điểm C,D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BD =a .

Gọi S là diện tích DABC Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có :

S_ABD + S_ACD = S

Kẻ BE vuông góc AD , CF vuông góc AD

$\Rightarrow$$\frac{1}{2}$ AD.BE +$\frac{1}{2}$AD.CF = S

$\Rightarrow$ BE +CF =  $\frac{2S}{AD}$

Do đó BE + CF lớn nhất $\iff$ AD nhỏ nhất $\iff$hình chiếu HD nhỏ nhất

Do HD ≥ HB ( do $\widehat{ABD}$  >90⁰ ) và HD = HB $\iff$ D ≡ B

Vậy Khi D ≡ B thì tổng các khoảng cách từ B và C đến AD có giá trị lớn nhất .