Chủ đề 1: Định lí Ta-lét có đáp án

Theo giả thiết, \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{7}{4} \Rightarrow \frac{{MA}}{7} = \frac{{MB}}{4} = \frac{{MA + MB}}{{7 + 4}} = \frac{{AB}}{{11}} = \frac{{15}}{{11}}\)

\( \Rightarrow MA \approx 9,55cm;\,\,MB \approx 5,45cm\)

Do \(DE\parallel BC\) nên theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow \frac{2}{x} = \frac{3}{7} \Rightarrow x = \frac{{14}}{3}\).

Do \(DE \bot AB,\,\,BC \bot AB\) nên \(DE\parallel BC\).

Từ đó, theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{3}{y} = \frac{4}{{4 + 2,5}} \Rightarrow y = 4,875\).

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có \(BC = 15cm\). Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho \(AK = KI = IH\). Qua I và K vẽ các đường thẳng EF, MN song song với BC (\(E,M \in AB;F,N \in AC\)). Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.

\(MK\parallel BH\) nên theo định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{1}{3}\).

Lại có \(MN\parallel BC\) nên theo định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = 5cm\).

\(EI\parallel BH\) nên theo định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{2}{3}\).

\({\rm{EF}}\parallel BC\) nên theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{{\rm{EF}}}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {\rm{EF}} = 10cm\).

Để chứng minh đẳng thức \(\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}} = 1\), ta sẽ tìm từng tỉ số

\(\frac{{AE}}{{AB}},\frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}}\).

Do \(DE\parallel AC\) nên theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\) (1).

Do \(DF\parallel AB\) nên theo định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

\(\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}} = \frac{{DC}}{{BC}} + \frac{{BD}}{{BC}} = 1\) (đpcm).

Để chứng minh \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AC}}{{AI}}\), ta sẽ tìm từng tỉ số \(\frac{{AB}}{{AE}},\frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}}\).

Kẻ \(BG\parallel {\rm{EF(G}} \in {\rm{AC),}}\,\,{\rm{DH}}\parallel {\rm{EF(H}} \in {\rm{AC)}}\).

Gọi O là giao điểm của BD và AC.

Khi đó, theo định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AG}}{{AI}};\frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AH}}{{AI}}\).

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AG}}{{AI}} + \frac{{AH}}{{AI}} = \frac{{AG + AH}}{{AI}} = \frac{{2AG + GH}}{{AI}}\)

Do \(BG,\,\,DH\parallel E{\rm{F}}\) nên \({\rm{BG}}\parallel {\rm{DH}} \Rightarrow \widehat {GBO} = \widehat {HDO}\). Từ đó \(\Delta BGO = \Delta DHO\) (g.c.g).

Suy ra \(GO = OH \Rightarrow 2AG + GH = 2AG + 2GO = 2AO = AC\)

Do đó, \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AC}}{{AI}}\) (đpcm).

Do \[AB\parallel CD\] nên theo định lí Ta-lét ta có:

\[\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{BE}}{{BC}} = 1 \Rightarrow BC = \frac{1}{2}CE = 3\].

Do \[D'M\parallel CE\] nên theo định lí Ta-lét ta có:

\[\frac{{D'E}}{{DE}} = \frac{{MC}}{{DC}}\] (1).

Do \[C'M\parallel DE\] nên theo định lí Ta-lét ta có:

\[\frac{{C'E}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{DC}}\] (2).

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: \[\frac{{D'E}}{{DE}} + \frac{{C'E}}{{EC}} = \frac{{MC}}{{DC}} + \frac{{DM}}{{DC}} = 1\].

\[{\rm{a}}\parallel {\rm{BC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{CE}} \Rightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{4} = \frac{{\mathop{\rm x}\nolimits} }{8} \Rightarrow x = 2\sqrt 2 \].

\[DE\parallel NP \Rightarrow \frac{{DM}}{{DN}} = \frac{{ME}}{{EP}} \Rightarrow \frac{{4,5}}{x} = \frac{6}{2} \Rightarrow x = 1,5\].

\[DE\parallel BC \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{x}{6} = \frac{{1,5}}{{1,5 + y}} \Rightarrow x = 1,5;y = 4,5\].

Gọi I là giao điểm của BD và MN

Do \[MI\parallel AB\] nên theo định lí Ta-lét ta có:

\[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{IB}}{{ID}}\] (1).

Tương tự, do \[NI\parallel CD\] nên theo định lí Ta-lét ta có:

\[\frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{NB}}{{NC}}\] (2).

Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{1}{3}\].

Ta có: \[\frac{{MI}}{{AB}} = \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{3}{4} \Rightarrow MI = \frac{3}{4}AB = 6\,cm\].

Tương tự, \[\frac{{NI}}{{CD}} = \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{{AM}}{{DA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow NI = 5\,cm\].

Do đó, \[MN = MI + NI = 11\,cm\].

\[DE\parallel CM\] nên theo định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{CE}}{{CF}}\].

Mà \[CF = BD\] nên \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{CE}}{{BD}}\] (1).

Lại có, do \[DE\parallel BC\] nên theo định lí Ta-lét ta có:

\[\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{CE}} \Rightarrow \frac{{CE}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\] (2) .

Từ (1) và (2) ta suy ra \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\].

Do \[NK\parallel CM\] nên

\[\frac{{AK}}{{AM}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AM.AN = AK.AC.\] (1).

Do \[MI\parallel BN\] nên

\[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AN}} \Rightarrow AM.AN = AB.AI\] (2).

Từ (1) và (2), suy ra \[AK.AC = AB.AI \Rightarrow \frac{{AK}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AC}}\].

Do đó, theo định lí Ta-lét đảo \[IK\parallel BC\] (đpcm).

\[IK\parallel AB \Rightarrow \frac{{IK}}{{AB}} = \frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{DK}}{{DB}}\] (1).

\[KG\parallel CD \Rightarrow \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{{CG}}{{CB}}\] (2).

\[LG\parallel AB \Rightarrow \frac{{LG}}{{AB}} = \frac{{CG}}{{CB}}\] (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra \[\frac{{IK}}{{AB}} = \frac{{LG}}{{AB}} \Rightarrow IK = LG\].

Ta có: \[OE\parallel AB \Rightarrow \frac{{OE}}{{AB}} = \frac{{OD}}{{DB}};\,\,OF\parallel AB \Rightarrow \frac{{OF}}{{AB}} = \frac{{OC}}{{AC}}\].

Lại có: \[AB\parallel CD \Rightarrow \frac{{OD}}{{BD}} = \frac{{OC}}{{AC}}\].

Do vậy \[\frac{{OE}}{{AB}} = \frac{{OF}}{{AB}} \Rightarrow OE = OF\].