Dạng 2. Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai.

HS tự vẽ.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):  $\frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\Rightarrow y=2\Rightarrow A(2;2)\\ x=-\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{9}{8}\Rightarrow B\left(\frac{-3}{2};\frac{9}{8}\right)\end{array}\right.$ . Vậy $T=\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}=\frac{2+\left(\frac{-3}{2}\right)}{2+\frac{9}{8}}=\frac{4}{25}$     

Phương trình hoành độ giao điểm $x^2=(2m-1)x-m+2\iff x^2-(2m-1)x+m-2=0(*)$

Ta có  $\Delta ={(2m-1)}^2-4.1\cdot (m-2)=4m^2-8m+9=4{(m-1)}^2+5\ge 5>0$

Vậy Parabol luông cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt.

Vì là nghiệm của phương trình nên theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-1\\ x_1{x}_2=m-2\end{array}\right.$ .

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1^2\\ y_2=x_2^2\end{array}\right.$ .

Ta có $x_1{y}_1+x_2{y}_2=0\iff x_1^3+x_2^3=0\iff \left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0\\ x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}2m-1=0\\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ 4m^2-7m+7=0\left(\text{v}n\right)\end{array}\right.$

Vậy $m=\frac{1}{2}$ .

Phương trình hoành độ (d)   và (P) là   $x^2+2ax+4a=0$

Khi $a=-\frac{1}{2}$  thì phương trình trở thành  $x^2-x-2=0$

Có  $a-b+c=0$nên phương trình có 2 nghiệm là $x=-1$ ; $x=2$ .

Phương trình hoành độ (d) và  (P) là  $x^2+2ax+4a=0$ (*)

để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt

$\iff \Delta \text{'}=a(a-4)>0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a<0\\ a>4\end{array}\right.$ 

Với $\left[\begin{array}{l}a<0\\ a>4\end{array}\right.$  theo Viét ta có   $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2a\\ x_1{x}_2=4a\end{array}\right.$

Vì  $\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=3\iff {\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)}^2=9\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2+2\left|x_1{x}_2\right|=9\Rightarrow 4a^2-8a+\left|8a\right|=9$

Với $a<0$ :$4a^2-8a+\left|8a\right|=9\iff 4a^2-16a-9=0\Rightarrow a=\frac{-1}{2}$

Với $a>4$ :$4a^2-8a+\left|8a\right|=9\iff 4a^2=9\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a=\frac{3}{2}\notin dk\\ a=\frac{-3}{2}\notin dk\end{array}\right.$

Vậy $a=-\frac{1}{2}$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $y=x^2$  và $y=mx+4$  là  $x^2-mx-4=0$(1)

Thay  $m=3$ vào phương trình (1) ta có:$x^2-3x-4=0$  

Ta có:  $a-b+c=1-(-3)+(-4)=0$

Vậy phương trình $x^2-3x-4=0$ có hai nghiệm  $\left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=4\end{array}\right.$

Với  $x=-1\Rightarrow y=1\Rightarrow A(-1;1)$

Với  $x=4\Rightarrow y=16\Rightarrow B(4;16)$

Vậy với $m=3$  thì hai đồ thị hàm số giao nhau tại 2 điểm $A(-1;1)$ và $B(4;16)$ .

Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) có:  $\Delta =m^2-4\cdot (-4)=m^2+16>0\forall m\in ℝ$

Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt  $x_1;x_2$

Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A_1\left(x_1;y_1\right)$  và $A_2\left(x_2;y_2\right)$ với mọi m

Theo hệ thức Vi-et ta có:  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1\cdot x_2=-4\end{array}\right.$

Ta lại có:  $\left\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1^2\\ y_2=x_2^2\end{array}\right.$

Theo đề, ta có: $y_1^2+y_2^2=7^2$

$\Rightarrow {\left(x_1^2\right)}^2+{\left(x_2^2\right)}^2=49\iff {\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]}^2-2{\left(x_1{x}_2\right)}^2=49\iff {\left[m^2-2.(-4)\right]}^2-2{\left(-4\right)}^2=49$

$\iff {(m^2+8)}^2=81\iff m^2+8=9\iff m=\pm 1$

  (trường hợp  $m^2+8=-9$ vô nghiệm vì $m^2\ge 0$  )

Vậy với $m=1;m=-1$  thì ${\left(y_1\right)}^2+{\left(y_2\right)}^2=7^2$.