Chủ đề 8: Dựng hình bình hành trong chứng minh các bài toán thực tiễn

Giả sử nếu con sông rất đẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a và b trùng nhau. Di chuyển điểm M, ta tìm được vị trí của M là giao điểm của bờ sông a và đoạn AB (Ta đã biết đây là bài toán quen thuộc: $MA+MB\ge AB\Rightarrow MA+MB$ ngắn nhất khi M là giao điểm của a và đoạn thẳng AB).

Từ đó ta cần tìm cách đưa ví dụ 1 về bài toán này. Ta làm như sau:

Dựng hình bình hành $AMN{A}^{\text{'}}$: Ta có $AM=A^{\text{'}}N$.

Vậy $AM+MN+NB=A{A}^{\text{'}}+A^{\text{'}}N+NB$. Do AA' không đổi, nên $A^{\text{'}}N+NB$ nhỏ nhất khi N là giao điểm của A'B và bờ sông.

Cách dựng M, N:

- Dựng A' sao cho AMNA' là hình bình hành

- Dựng M sao cho NM vuông góc với bờ sông a $(M\in a)$.

- M, N là các vị trí cần tìm.

Dựng các hình bình hành $ACD{A}^{\text{'}},BGE{B}^{\text{'}}$.

Nối A', B' cắt các nhánh sông tại D' và E' như hình vẽ.

Từ D' và E' ta suy ra C' và G' bằng phép dựng vuông góc.

Ta sẽ chứng minh rằng C'D' và E'G' là các địa điểm cần dựng.

Thật vậy $A{C}^{\text{'}}+C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}+D^{\text{'}}{E}^{\text{'}}+E^{\text{'}}{G}^{\text{'}}+G^{\text{'}}B=A{A}^{\text{'}}+A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}+D^{\text{'}}{E}^{\text{'}}+E^{\text{'}}{B}^{\text{'}}+B^{\text{'}}B\le A{A}^{\text{'}}+A^{\text{'}}D+DE+$

$E{B}^{\text{'}}+B^{\text{'}}B=AC+CD+DE+EG+GB$.

Hay $A{C}^{\text{'}}+C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}+D^{\text{'}}{E}^{\text{'}}+E^{\text{'}}{G}^{\text{'}}+G^{\text{'}}B\le AC+CD+DE+EG+GB$ (đpcm).

Gọi $CD,EF,GH$ là ba cây cầu bất kì bắc qua ba con sông.

Dựng các hình bình hành $BCD{B}_1,B_{1}EF{B}_2,B_{2}GH{B}_3$.

Nối $A{B}_3$ cắt bờ con sông thứ nhất đối diện với điểm A tại H'. Dựng $H^{\text{'}}{G}^{\text{'}}$ vuông góc với bờ sông còn lại của con sông thứ nhất. Nối $G^{\text{'}}{B}_2$ cắt bờ con sông thứ hai đối diện với G' tại F'. Dựng $F^{\text{'}}{E}^{\text{'}}$ vuông góc với bờ sông còn lại của con sông thứ hai. Nối $E^{\text{'}}{B}_1$ cắt bờ con sông thứ ba đối diện với điểm E' với D'. Dựng D'C' vuông góc với bờ sông còn lại của con sông thứ ba (hình vẽ). Ta có các cây cầu $H^{\text{'}}{G}^{\text{'}},F^{\text{'}}{E}^{\text{'}},D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ là các cây cầu cần dựng.

Thật vậy, $A{H}^{\text{'}}+H^{\text{'}}{G}^{\text{'}}+G^{\text{'}}{F}^{\text{'}}+F^{\text{'}}{E}^{\text{'}}+E^{\text{'}}{D}^{\text{'}}+D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}+C^{\text{'}}B=H^{\text{'}}{G}^{\text{'}}+F^{\text{'}}E+D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}+A{H}^{\text{'}}+G^{\text{'}}{F}^{\text{'}}+$ $E^{\text{'}}{D}^{\text{'}}+C^{\text{'}}B=H^{\text{'}}{G}^{\text{'}}+F^{\text{'}}E+D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}+A{H}^{\text{'}}+G^{\text{'}}{F}^{\text{'}}+E^{\text{'}}{B}_1=H^{\text{'}}{G}^{\text{'}}+F^{\text{'}}E+D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}+A{H}^{\text{'}}+G^{\text{'}}{B}_2=H^{\text{'}}{G}^{\text{'}}+$ $F^{\text{'}}E+D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\le AH+H{B}_3+HG+FE+DC\le AH+HG+GF+F{B}_2+FE+DC\le AH+HG+GF+$ $FE+ED+D{B}_1+DC=AH+HG+GF+FE+ED+DC+CB$.

Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Để chứng minh chu vi của tam giác $A_1{C}_1{D}_1$ bé nhất, ta cần chứng minh $A_1{C}_1+A_1{D}_1$ bé nhất.

Dựng hình bình hành $A_1{C}_1{D}_1{A}_2$ (hình vẽ).

Gọi K là điểm đối xứng với A₂ qua đường thẳng d.
Nối $K{A}_1$ cắt đường thẳng d tại ${C^{\text{'}}}_1$.

Dựng hình bình hành $A_2{C^{\text{'}}}_1{D^{\text{'}}}_1{A}_1$.

Ta có

$C_1{A}_1+A_1{D}_1\ge C_1{A}_1+C_1{A}_2=C_1{A}_1+C_{1}K\ge A_{1}K=A_1{C^{\text{'}}}_1+{C^{\text{'}}}_1{A}_2={C^{\text{'}}}_1{A}_1+{D^{\text{'}}}_1{A}_1$.

Dấu “=” xảy ra khi C₁ trùng với ${C^{\text{'}}}_1$.

Dựng hình bình hành $BCD{B}^{\text{'}}$.

Chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất khi BC+AD nhỏ nhất.

Hay $B^{\text{'}}D+AD$ nhỏ nhất.

Theo ví dụ 1, §, hệ thức này nhỏ nhất khi điểm D trùng với D' là giao của EA với d (E là điểm đối xứng của B' qua d).

Dựng hình bình hành $B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.

Ta có $BC+AD=B^{\text{'}}D+AD=DE+AD$

         $\ge AE\iff BC+AD$

         $\ge B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}+A{D}^{\text{'}}=B{C}^{\text{'}}+A{D}^{\text{'}}$.

Dấu “=” xảy ra khi CD trùng với C'D'.