Đề kiểm tra giữa kỳ 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)_ đề số 4

a) Rút gọn P. Với x ≠ 3, x ≠ −3, x ≠ −7.

$P=(\frac{x^2+1}{x^2-9}-\frac{x}{x+3}+\frac{5}{3-x}):(\frac{2x+10}{x+3}-1)$

$=[\frac{x^2+1}{(x+3)(x-3)}-\frac{x}{x+3}-\frac{5}{x-3}]:(\frac{2x+10}{x+3}-\frac{x+3}{x+3})$

$=[\frac{x^2+1}{(x+3)(x-3)}-\frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}-\frac{5(x+3)}{(x+3)(x-3)}]:(\frac{2x+10}{x+3}-\frac{x+3}{x+3})$

$=\frac{x^2+1-x(x-3)-5(x+3)}{(x+3)(x-3)}:\frac{2x+10-(x+3)}{x+3}$

$=\frac{x^2+1-x^2+3x-5x-15}{(x+3)(x-3)}:\frac{x+7}{x+3}$

$=\frac{-2x-14}{(x+3)(x-3)}.\frac{x+3}{x+7}$$=\frac{-2}{x-3}$

Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là x (km/h) (ĐK: x > 0)

Vận tốc của ô tô thứ hai lớn hơn vận tốc của ô tô thứ nhất là 20km/h, nên vận tốc của ô tô thứ hai là: x + 20 (km/h).

Đến khi hai xe gặp nhau (lúc 10 giờ 30 phút):

- Thời gian đi của ô tô thứ nhất là:

10 giờ 30 phút – 6 giờ = 4 giờ 30 phút = $\frac{9}{2}$ giờ.

- Thời gian đi của ô tô thứ hai là:

10 giờ 30 phút – 7 giờ 30 phút = 3 giờ.

Khi đó, quãng đường ô tô thứ nhất đi được: $\frac{9}{2}x$ (km)

Quãng đường ô tô thứ hai đi được: 3(x + 20) (km).

Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{9}{2}x=3(x+20)$

$\iff \frac{9}{2}x-3x=60$

$\iff \frac{3}{2}x=60$

$\iff$x = 40 (TMĐK).

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 40 (km/h);

Vận tốc của ô tô thứ hai là 40 + 20 = 60 (km/h).

a) 9x² – 3 = (3x + 1)(2x – 3)

$\iff$ 9x² – 3 = 6x² – 7x – 3

$\iff$ 3x² – 7x = 0

$\iff$ x(3x – 7) = 0

$\iff$ x = 0 hoặc 3x – 7 = 0

$\iff$ x = 0 hoặc $x=\frac{7}{3}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\{0;\frac{7}{3}\}$.

b) $\frac{3x}{x-5}+\frac{1}{x}=\frac{4x+3}{x(x-5)}+3$.

ĐK: x ≠ 0; x ≠ 5.

Phương trình đã cho tương đương:

$\frac{3x^2}{x(x-5)}+\frac{x-5}{x(x-5)}=\frac{4x+3}{x(x-5)}+\frac{3x(x-5)}{x(x-5)}$

$\iff$ 3x² + x – 5 = 4x + 3 + 3x(x – 5)

$\iff$ 3x² + x – 5 = 4x + 3 + 3x² – 15x

$\iff$ x – 5 = 4x + 3 – 15x

$\iff$ 12x = 8

$\iff x=\frac{2}{3}$ (TMĐK).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{\frac{2}{3}\right\}$.

Vì ABCD là hình bình hành nên:

+ AD // BC hay AD // BF

+ AB // CD hay AB // DK.

Áp dụng định lý Ta-let, ta có:

+ AD // BF suy ra: $\frac{AE}{EF}=\frac{ED}{EB}$  (1)

+ AB // DK suy ra: $\frac{ED}{EB}=\frac{EK}{AE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{AE}{EF}=\frac{EK}{AE}$.

Do đó AE² = EF.EK (đpcm).

b) Xét ∆AHB và ∆BND có:

$\widehat{AHB}=\widehat{BND}={90}^o$

$\widehat{ABH}=\widehat{BDN}$ (AB // DK, hai góc so le trong)

Do đó ∆AHB  ∆BND (g.g) (đpcm)

Suy ra $\frac{AB}{BD}=\frac{BH}{DN}\frac{AB}{BD}=\frac{BH}{DN}$$\iff$ AB.DN = BD.BH

Mà AB = DC nên DC.DN = BD.BH (1)

Xét ∆ADH và ∆BDM có:

$\widehat{AHD}=\widehat{BMD}={90}^o$

$\widehat{BDM}$ chung.

Do đó ∆ADH ∆BDM (g.g).

Suy ra $\frac{AD}{DB}=\frac{DH}{DM}$ $\iff$AD.DM = DH.DB   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD.DM + DC.DN = BD.BH + DH.DB = BD.(BH + HD)

= BD.BD = BD².

Do đó AD.DM + DC.DN = BD² (đpcm).

Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}=0$$\Rightarrow$ab + bc + ca = 0.

Ta thấy a² + 2bc = a² + bc + (–ab – ac) = a(a – b) – c(a – b) = (a – b)(a – c)

Tương tự, b² + 2ac = (b – a)(b – c)

c² + 2ab = (c – a)(c – b).

Khi đó, $P=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}$

$=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$

$=\frac{b-c+c-a+a-b}{(a-b)(b-c)(a-c)}=0$.

Vậy $P=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}=0$.