Dạng 2: Bài toán về công việc đồng thời có đáp án

Gọi ẩn là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc và lập bảng:

Đổi 1 giờ 12 phút\[ = 1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}\left( h \right),\] 30 phút\[ = \frac{1}{2}\left( h \right).\]

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ).

Điều kiện: \(x > \frac{6}{5},y > \frac{6}{5}\)

Trong 1 giờ:

+ Vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể.

+ Vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) bể.

+ Cả hai vòi chảy được \(1:\frac{6}{5} = \frac{5}{6}\) bể.

Suy ra phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\) (1)

Trong 30 phút, vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}:2 = \frac{1}{{2x}}\) bể.

Vì nếu vòi thứ nhất chảy trong 30 phút và vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được \(\frac{7}{{12}}\) bể, nên

\(\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{y} = \frac{7}{{12}}\)    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\\\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{y} = \frac{7}{{12}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{2}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 2 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 3 giờ.

Gọi x (giờ) là thời gian người thứ nhất một mình làm xong cả công việc, y (giờ) là thời gian người thứ hai một mình làm xong cả công việc.

Điêu kiện: \[x,{\rm{ }}y > \frac{{20}}{7}.\]

Theo đề bài, thời gian người thứ hai làm được nửa công việc lâu hơn người thứ nhất làm được nửa công việc là 3 giờ. Do đó: \(\frac{y}{2} - \frac{x}{2} = 3\)   (1)

Trong 1 giờ:

+ Người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc.

+ Người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

+ Cả hai người làm được \(1:\frac{{20}}{7} = \frac{7}{{20}}\) công việc.

Suy ra \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{{20}}\)   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{{20}}\\\frac{y}{2} - \frac{x}{2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{{20}}\\y - x = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{7}{{20}}{\rm{ }}\left( 4 \right)\\y = x + 6{\rm{     }}\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Xét phương trình: (4) \[ \Leftrightarrow 7{x^2} + 2x - 120 = 0 \Leftrightarrow \]

Vậy thời gian một mình làm xong cả công việc của người thứ nhất là 4 giờ, của người thứ hai là 10 giờ.

Gọi ẩn là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể.

“Khi nước trong bể đã cạn, mở cả ba vòi” thì lúc này có vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào, còn vòi thứ ba chảy ra. Sau 24 giờ thì đầy bể.

Ta xác định được thời gian vòi thứ ba chảy một mình cạn bể là 6 giờ.