Chuyên đề 5: Hàm số

1. Vẽ đồ thị (P). (P) :$y=x^2$.

2. Phương trình đường thẳng ($d_1$): $y=ax+b$($a\ne 0$).

·                              $\left(d_1\right)//\left(d\right)$ , $\Rightarrow a=4, b\ne 9$, suy ra đường thẳng ($d_1$): $y=4x+b$.

·                              Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (P) và ($d_1$)là:

                                        $x^2=4x+b$   

                                    $\iff x^2-4x-b=0$ (*)

Ta có: $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac={(-2)}^2-1.(-b)=4+b$.

Để đường thẳng ($d_1$) tiếp xúc với (P) thì phương trình (*) có nghiệm kép.     

$$\begin{gathered} \iff \Delta \text{'}=0 \\ \begin{array}{l}\iff 4+b=0\\ \iff b=-4\\ \iff b=-4\left(nhận\right)\end{array} \end{gathered}$$ 

Vậy phương trình đường thẳng ($d_1$):$y=4x-4$.

a. Vẽ đường thẳng $d:y=x+1$ và parabol $\left(P\right):y=2x^2$ .

Bảng giá trị

 Vẽ đồ thị

b. Viết phương trình đường thẳng $d_1$ song song với đường thẳng d và đi qua điểm A(-1;2)

 Phương trình đường thẳng $d_1$ song song với đường thẳng d có dạng y=x+b 

$d_1$ đi qua điểm A(-1;2) nên ta có: -1+b=2 $\Rightarrow b=3$: $\Rightarrow d_1: y=x+3.$ 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=2x-m+3 và parabol $\left(P\right):y=x^2$.

1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0)

Thay x==2 và y=0 vào phương trình đường thẳng (d): y=2x-m+3, ta có:

$0=2.2-m+3\iff m=7$

Vậy: với m=7 thì đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0).

Thay x=4 vào ta có: y=2x+b=2.4+b=8+b.

Mà $y=5\Rightarrow 8+b=5\iff b=-3.$.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\iff 2x^2-x-6=0\left(1\right)\\ \Delta ={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.2.}\left(-6\right)=49\end{array}$

Vì $\Delta >0$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

$\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1+\sqrt{49}}{4}=2\Rightarrow y=2\\ x_2=\frac{1-\sqrt{49}}{4}=-\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{9}{8}\end{array}$

Suy ra đường thẳng (d) cắt (P) tạo thành hai điểm phân biệt $A\left(2;2\right)$, $B\left(-\frac{3}{2};\frac{9}{8}\right)$.

Khi đó:

$T=\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}=\frac{2+\left(-\frac{3}{2}\right)}{2+\left(\frac{9}{8}\right)}=\frac{4}{25}$

Vậy $T=\frac{4}{25}$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): $-x^2=-2x+1$

$\iff x^2-2x+1=0\iff {(x-1)}^2=0\iff x=1\Rightarrow y=-1^2=-1$

Vậy tọa độ giao điểm là A(1; -1).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là $x^2=2x-m\iff x^2-2x+m=0(*).$

(P) và (d) có điểm chung duy nhất $\iff$(*) có nghiệm duy nhất $\iff \Delta \text{'}=0\iff 1-m=0\iff m=1.$

Để đồ thị hàm số y=2x+m đi qua điểm K(2;3)$\iff 3=2.2+m\iff m=-1$

Hàm số đồng biến trên R khi $3m-2>0\iff m>\frac{2}{3}$.

a) Hàm số nghịch biến trên R $\iff 2m-3<0\iff m<\frac{3}{2}$

b) Hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -6 $\iff 5m-1=-6\iff m=-1$ (TM)

a) Đồ thị hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ:

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

 $-2x^2=2x-4\iff x^2+x-2=0\iff \left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-2\end{array}\right..$

+) Với x=-2 thay vào (P): $y=-2x^2$ ta được y=-8. Ta có giao điểm A(-2;-8).

+) Với x=1 thay vào (P): $y=-2x^2$ ta được y=-2 . Ta có giao điểm B(1;-2).

Vậy (P) và (d) giao nhau tại hai điểm A(-2;-8) và B(1; -2).

Thay x=4 vào ta có: $y=2x+b=2.4+b=8+b$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: $\left(m+2\right)x=x+m^2+2\iff \left(m+1\right)x=m^2+2\iff x=\frac{m^2+2}{m+1}=m-1+\frac{3}{m+1}$ (với $m\ne -1$).

Do đó $x\in \mathbb{Z}\iff 3⋮\left(m+1\right)\iff m+1\in \left\{\pm 1;\pm 3\right\}\Rightarrow m\in \left\{-4;-2;0;2\right\}$.

+) Với m=0: $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.$ (Thỏa mãn).

+) Với m=-2: $\left\{\begin{array}{l}x=-6\\ y=0\end{array}\right.$ (Thỏa mãn).

+) Với m=-4: $\left\{\begin{array}{l}x=-6\\ y=12\end{array}\right.$ (Thỏa mãn).

+) Với m=2: $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=8\end{array}\right.$ (Thỏa mãn).

Đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ, bề lõm hướng xuống và đi qua các điểm $\left(0;0\right),\left(2;-2\right);\left(-2;-2\right);\left(4;-8\right);\left(-4;-8\right)$.

Đồ thị $y=-\frac{1}{2}{x}^2$:

$∆$ song song với y=-2x+5 suy ra $\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ n\ne 5\end{array}\right.$

Phương trình hoành độ giao điểm của $\Delta$ và (P): $-\frac{1}{2}{x}^2=-2x+n$

$\iff x^2-4x+2n=0$ (*)

Để $\Delta$ và (P) có một điểm chung duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì ${\Delta }^{\text{'}}=0\iff 4-2n=0\iff n=2$ (thỏa mãn)

Vậy $m=-2;n=2$

1/ Vẽ đồ thị: (như hình vẽ bên)

Tọa độ giao điểm của (P) và (d)

PT hoành độ giao điểm:  $2{\text{x}}^2-x-1=0$

có hai nghiệm $\frac{-1}{2}$; 1

 suy ra tọa độ hai giao điểm là:$A\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ và B(1;2)

2/ Tính độ dài AB

$AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left[1-\left(-\frac{1}{2}\right)\right]}^2+{\left(2-\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$(đ.v.đ.d)

1) * Hàm số $y=\frac{-1}{2}{x}^2$ xác định với  $\forall x\in R$

Bảng giá trị:

* Hàm số y=x-4 là đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ (1;-3);(2;-2)

Đồ thị:

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol: $y=\frac{-1}{2}{x}^2$ và đường thẳng y=x-4

$\frac{-1}{2}{x}^2=x-4\iff -x^2=2x-8\iff x^2+2x-8=0$

 phương trình bậc hai có $\Delta \text{'}=9$ nên có hai nghiệm

$x=\frac{-1+\sqrt{9}}{1}=2$ hoặc  $x=\frac{-1-\sqrt{9}}{1}=-4$

Với  $x=2\Rightarrow y=2-4=-2$

Với $x=-4\Rightarrow y=-4-4=-8$

Ta có $m^2-m+2017={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{8067}{4}>0,\forall m\in ℝ$.

Do đó hàm số $y=\left(m^2-m+2017\right)x+2018$ đồng biến trên R với $\forall m\in ℝ$.

Đ/s: $m\in ℝ$

a)  Với $y=-8$ $\Rightarrow \frac{-x^2}{2}=-8$ $\iff x^2=16$ $\iff x=\pm 4.$ 

Vậy tìm được hai điểm $M\left(\pm 4;-8\right).$

b)  Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

 $\frac{-x^2}{2}=x+m\iff x^2+2x+2m=0.$ 

${\Delta }^{\text{'}}=1-2m$.

Để đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

 $\iff {\Delta }^{\text{'}}=1-2m>0\iff m<\frac{1}{2}.$

Theo định lý Viet ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\\ x_1.x_2=2m\end{array}\right.$.

Lại có $\left\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1+m\\ y_2=x_2+m\end{array}\right.$.

Từ $\left(x_1+y_1\right)\left(x_2+y_2\right)=\frac{33}{4}$

$\iff \left(x_1+x_1+m\right)\left(x_2+x_2+m\right)=\frac{33}{4}$

$\iff \left(2x_1+m\right)\left(2x_2+m\right)=\frac{33}{4}$ 

$\iff 4x_1{x}_2+2m\left(x_1+x_2\right)+m^2=\frac{33}{4}$ 

$\iff 8m-4m+m^2=\frac{33}{4}$ 

$\iff m^2+4m-\frac{33}{4}=0$ 

$\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{3}{2}\left(L\right)\\ m=\frac{-11}{2}\left(TM\right)\end{array}\right.$ .

a) Thay tọa độ A=(0;5) vào y=mx+5 ta có:

5=m.0+5 ( luôn đúng với mọi m)

Vậy (d) luôn đi qua A=(0;5) với mọi m

b) PT hoành độ giao điểm:

$x^2-mx-5=0$ (1)

Lập luận PT (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ với $\forall m$

Lập luận có: $x_1<0<x_2$ nên $\left|x_1\right|>\left|x_2\right|$$\iff x_1+x_2<0$

Áp dụng định lí viet, thay $x_1+x_2=m$

Ta có: $\left|x_1\right|>\left|x_2\right|\iff m<0$

(d) có đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm  (0;2) và (-2;0).

Phương trình hoành độ giao điểm của (P)  và (d) là nghiệm của phương trình

$x^2=x+2$

$x^2-x-2=0$

Phương trình có dạng a-b+c=0 nên phương trình có nghiệm $x_1=-1$ và $x_2=2$ 

Thay $x_1=-1\Rightarrow y_1=1$

Thay $x_2=2\Rightarrow y_2=4$

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (-1;1) và (2;4)

Do đường thẳng y=2x-m cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=-1 nên $0=-2-m\iff m=-2\left(1\right)$;

Mặt khác đường thẳng y=(m+1)x-1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=-1 nên $0=-1\left(m+1\right)-1\iff -m-2=0\iff m=-2\left(2\right)$;

Từ (1) và (2) suy ra m=-2 thì cả hai đường thẳng trên cùng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=-1.

Thay tọa độ điểm M(1;3) vào phương trình đường thẳng (d): y=mx+2 ta được:

$3=m+2\iff m=1$.

Vậy đường thẳng (d) là: y=x+2.

Phương trình: $x^2-2x+m-1=0$ (m là tham số)

        ${\Delta }^{\text{'}}={\left(-1\right)}^2-\left(m-1\right)$ = 2-m.

Để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ khi và chỉ khi ${\Delta }^{\text{'}}\ge 0\iff m\le 2$.

Khi đó: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\\ x_1{x}_2=m-1\end{array}\right.$.

Từ $2x_1-x_2=7$ ta có $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\\ 2x_1-x_2=7\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1=3\\ x_2=-1\end{array}\right.$.

Thay vào $x_1{x}_2=m-1$ $\iff 3.\left(-1\right)=m-1$ $\iff m=-2\left(tm\right)$.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số: $y=\frac{1}{4}{x}^2$

Bảng giá trị

b) Cho đường thẳng(D): $y=\frac{3}{2}x+m$ đi qua điểm C(6;7). Tìm tọa độ giao điểm của (D) và (P).

Thay tọa độ C(6;7) vào (D) ta được:

$7=\frac{3}{2}.6+m$. Tìm được m=-2

Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P):

$\frac{1}{4}{x}^2=\frac{3}{2}x-2\iff \frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x+2=0$

Giảiphươngtrình ta được

$\left[\begin{array}{l}{x}_1=2\Rightarrow y_1=1\\ x_2=4\Rightarrow y_2=4\end{array}\right.$

Vậy tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (2;1);(4;4).

a) $\left(1\right)\iff x^2-(2m-1)x+m^2-m-1=0$

$\Delta ={\left(2m-1\right)}^2-4.\left(m^2-m-1\right)=4m^2-4m+1-4m^2+4m+4=5>0$

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo hệ thứcVi-ét ta có :

$$\begin{gathered} S=x_1+x_2=2m-1 \left(a\right) \\ P=x_1{x}_2=m^2-m-1 \left(b\right) \end{gathered}$$

Theo đề : ${\left(x_1-x_2\right)}^2=x_1-3x_2\iff x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=x_1-3x_2\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=x_1-3x_2$

$\iff {\left(2m-1\right)}^2-4\left(m^2-m-1\right)=x_1-3x_2\iff x_1-3x_2=5\left(c\right)$

Từ (a) và (c), ta được : $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1}{2}\left(3m+1\right)\\ x_2=\frac{1}{2}\left(m-3\right)\end{array}\right.$.

Thay vào (b): $\frac{1}{2}\left(3m+1\right).\frac{1}{2}\left(m-3\right)=m^2-m-1\iff \frac{1}{4}\left(3m^2-8m-3\right)=m^2-m-1$

$\iff 3m^2-8m-3=4\left(m^2-m-1\right)\iff m^2+4m-1=0\iff \left[\begin{array}{l}m=-2-\sqrt{5}\\ m=-2+\sqrt{5}\end{array}\right.$.

Vậy có hai giá trị cần tìm của m : $m=-2-\sqrt{5}$, $m=-2+\sqrt{5}$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng

$-x^2=x-2\iff x^2+x-2=0$ 

Vì $a+b+c=1+1-2=0$ nên phương trình có hai nghiệm:

$x_1=1$; $x_2=-2$ 

Với x=1 thì $y=1-2=-1$ 

Với x=-2 thì y=-2-2=-4 

$\Rightarrow A(1;-1)$ và  $B(-2;-4)$

1. Giải phương trình với m=3.

Thay m=3 ta có phương trình $x^2-2x-3=0$.

Ta thấy $a-b+c=1+2-3=0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1=-1$; $x_2=3$.

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn điều kiện

${\left(x_1{x}_2+1\right)}^2-2\left(x_1+x_2\right)=0$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ khi  ${\Delta }^{\text{'}}=1+m>0$$\iff m>-1$. (*)

Khi đó, theo định lý Vi-et, ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\\ x_1{x}_2=-m\end{array}\right.$.     (1)

Thay (1) vào đề bài ta được:

${\left(x_1{x}_2+1\right)}^2-2\left(x_1+x_2\right)=0\iff {\left(-m+1\right)}^2-2.2=0\iff {\left(m-1\right)}^2=4\iff \left[\begin{array}{c}m=2\\ m=-1\end{array}\right.$ .

Kết hợp với điều kiện (*) ta được m=3.

Thay x=3; y=0 vào hàm số $y=mx+3$ ta được: $3m+3=0\iff m=-1$.

Vậy với m=-1 thì đồ thị hàm số y=mx+3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

a) Thay A(-1;-3) vào (P) ta được: -3=-3(-1)² (đúng).

Vậy $A\in \left(P\right)$.

a) Để hàm số nghịch biến trên R thì: $3a-6<0\iff a<2.$

b) Cho ba điểm (0;0), (-1;1) và (1;1) thuộc parabol (P)

Đặt $f\left(x\right)=x^2+2\left(m+1\right)x+m^2+2m-1.$

Theo yêu cầu bài toán ta có: $f\left(1\right)\ne 0\iff m\ne -2+\sqrt{2},m\ne -2-\sqrt{2}.$

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì $\Delta \text{'}>0.$

Ta có:

$\Delta \text{'}={\left(m+1\right)}^2-\left(m^2+2m-1\right)=2>0$

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

Mặt khác,

$\frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}=2\iff 3\left(x_1+x_2\right)-2x_1{x}_2-4=0\iff m^2+5m+4=0\iff m=-1,m=-4.$

Đối chiếu với điều kiện ta có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $m=-1,m=-4.$

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=3, nghĩa là 3a+b=0 (1).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ x=3, nghĩa là 0.a+b=-2 (2).

Từ (1) và (2) ta có: $a=\frac{2}{3}; b=-2$.

Khi đó hàm số là $y=\frac{2}{3}x-2$.

1) Với m=-4 thì phương trình $\left(1\right)\iff x^2-2x-4=0$.

Tính ${\Delta }^{\text{'}}=1+4=5$.

Hai nghiệm phương trình $x_1=1-\sqrt{5}\vee x_2=1+\sqrt{5}$.

Để (d) không đi qua A thì tọa độ điểm A không thỏa mãn phương trình của (d), tức là:

Xét phương trình hđgđ của $d_1$ và $\left(d_2\right)$: $-x-2=-2x\iff x=2\Rightarrow y=-4$

Vậy giao điểm I của $d_1$ và $d_2$ có tọa độ I(2;-4).

Để để parabol (P) đi qua I(2; -4) thì tọa độ I phải thỏa mãn phương trình của (P), tức là:

$-4=a{.2}^2\iff a=-1$

Đồ thị hàm số y=2x-1 đi qua hai điểm $A\left(\frac{1}{2};0\right)$ và B(0;-1), nên ta có đồ thị dạng như sau:

Phương trình hoành độ giao điểm $2x^2=x+3$$\iff 2x^2-x-3=0\iff x_1=-1$ hoặc $x_2=1,5$ $x_1=4,5$ hoặc A(-1;2). Vậy tọa độ giao điểm là A(-1;2) và B(1,5;4,5)