Tổng hợp đề thi giữa học kì 2 Toán 9 hay nhất năm 2023 có đáp án (Đề 15)

$\begin{array}{l} a) A = [\frac{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} - \frac{(\sqrt{x} + 1) (x - \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}] : \frac{2 {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{x + \sqrt{x} + 1 - x + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} . \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{2 {(\sqrt{x} - 1)}^{2}} = \frac{2 \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} .2 (\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \\ b) A < 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} < 0 \Rightarrow \sqrt{x} - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1 \end{array}$

Vậy $0 \leq x < 1$ thì $A < 0$

Câu 2/5

Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình .

Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong công việc .Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đén cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong công việc . Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (ngày), y (ngày) là số ngày công nhân 1, 2 làm xong $(x, y > 4)$

Theo bài ta có hệ phương trình :

$\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ \frac{10}{x} + \frac{1}{y} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 12 \\ y = 6 \end{cases} (t m)$

Vậy người 1: 12 ngày Người 2: 6 ngày.

Câu 3/5

Cho hệ phương trình : $\{\begin{cases} m x + y = 5 \\ 2 x - y = - 2 \end{cases} (I)$

a) Giải hệ (I) với $m = 5$

b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệmduy nhất và thỏa mãn : $2 x + 3 y = 12$

Xem đáp án

Lời giải

a) Khi $m = 5 \Rightarrow (I) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x + y = 5 \\ 2 x - y = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3}{7} \\ y = \frac{20}{7} \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} m x + y = 5 \\ 2 x - y = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3}{m + 2} \\ y = \frac{2 m + 10}{m + 2} \end{cases} (m \neq - 2)$

$2 x + 3 y = 12 \Leftrightarrow \frac{6}{m + 2} + \frac{6 m + 30}{m + 2} = 12 \Leftrightarrow 12 m + 24 = 6 m + 36 \Leftrightarrow m = 2 (t m)$

Vậy $m = 2$ thì thỏa đề

Câu 4/5

Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nữa đường tròn ( M khác A và B) .Trên nữa mặt phẳng bờ AB chứa nữa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax .Tia BM cắt Ax tại I tia phân giác của góc IAM cắt nữa đường tròn tại E cắt tia BM tại F Tia BE cắt Ax tại H cắt AM tại K

1. Chứng minh rằng : $A M B$ Là tư giác nội tiếp và $A I^{2} = I M . M B$

2. Chứng minh BEF là tam giác cân

3 .Chứng minh rằng tư giác $A K F H$ là hình thoi

Xem đáp án

Lời giải

Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nữa đường tròn ( M khác A và B) .Trên nữa mặt phẳng bờ AB chứa nữa (ảnh 1)

Tứ giác nội tiếp AEMB , vì $∠ A E B = ∠ A M B = 90 °$

Ax là tiếp tuyến của $(O) \Rightarrow A x ⊥ A B$

$∠ A M B$ là góc nội tiếp chắn $\frac{1}{2}$ đường tròn $\Rightarrow ∠ A M B = 90 °$

$Δ A B I$ là tam giác vuông tại A, AM đường cao $\Rightarrow A I^{2} = I M . I B$

2) $∠ I A F$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AE

$\Rightarrow ∠ F A M$ là góc nội tiếp chắn $\overset{⏜}{E M}$

Ta có: AF là phân giác $∠ I A M \Rightarrow ∠ I A F = ∠ F A M \Rightarrow A E = E M$

Lại có: $∠ A B H$ và $∠ H B I$ là hai góc nội tiếp lần lượt chắn cung $A E, E M$ nên $∠ A B H = ∠ H B I \Rightarrow B E$ là đường phân giác $Δ B A F$

$∠ A E B$ là góc nội tiếp chắn $\frac{1}{2}$ đường tròn $\Rightarrow ∠ A E B = 90 °$

$\Rightarrow B E ⊥ A F \Rightarrow B E$ là đường cao $Δ B A F$

$\Leftrightarrow B A F$ là tam giác cân tại B (vì BE vừa là đường cao, vừa là đường phân giác)

3) $Δ B A F$ cân tại B, BFlà đường cao $\Rightarrow B E$ là đường trung trực của AF

$H, K \in B E \Rightarrow A K = K F, A H = H F (1)$

AFlà tia phân giác $∠ I A M \Rightarrow B E ⊥ A F \Rightarrow Δ A H K$ có AEvừa là đường cao, vừa là đường phân giác $\Rightarrow Δ A H K$ cân tại A $\Rightarrow A H = A K (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $A K = K F = A H = H F \Rightarrow A K F H$ là hình thoi

Câu 5/5

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P = a - 2 \sqrt{a b} + 3 b - 2 \sqrt{a} + 1$

Xem đáp án

Lời giải

Biểu thức $P = a - 2 \sqrt{a b} + 3 b - 2 \sqrt{a} + 1 (\begin{array}{l} a \geq 0 \\ b \geq 0 \end{array})$ . Ta có:

$\begin{array}{l} 3 P = 3 a - 6 \sqrt{a b} + 9 b - 6 \sqrt{a} + 3 \\ \Rightarrow 3 P = a - 6 \sqrt{a b} + 9 b + 2 a - 6 \sqrt{a} + 3 \\ P = {(\sqrt{a} - 3 \sqrt{b})}^{2} + 2 {(\sqrt{a} - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{3}{2} \geq \frac{- 3}{2} \end{array}$

Vậy $M i n P = \frac{- 3}{2} \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}; b = \frac{1}{4}$

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý