Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án (Đề 8)

2)  $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 2x-3y=1\end{array}\right. \\ <=> \left\{\begin{array}{l}2x+2y=6\\ 2x-3y=1\end{array}\right. \\ <=> \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm là: (x; y) = (2; 1)

1)

Gọi số dãy ghế ban đầu là x (dãy) (x ∈ ℕ^*).

Số dãy ghế thực tế là x + 5 (dãy)

Lúc đầu mỗi dãy có số ghế là:  $\frac{100}{x}$ (ghế)

Thực tế mỗi dãy có số ghế là:  $\frac{100}{x+5}$ (ghế)

Vì mỗi dãy ghế được kê ít hơn so với ban đầu là 1 ghế do đó ta có phương trình:

$\frac{100}{x}-\frac{100}{x+5}$ = 1

 <=>100 (x + 5) − 100x = x (x + 5)

  <=>100x + 500 − 100x = x² + 5x

  <=>x² + 5x − 500 = 0

 <=>(x – 20) (x + 25) = 0

   <=> $\left[\begin{array}{l}x-20=0\\ x+25=0\end{array}\right.$

 <=>  $\left[\begin{array}{l}x=20\\ x=-25\end{array}\right.$ 

Ta thấy chỉ có x = 20 là thỏa mãn điều kiện.

Vậy số dãy ghế ban đầu là 20 dãy ghế.

2) Vì đường kính đáy là 36 (cm) nên bán kính đáy của chiếc mũ sinh nhật là:

R =  $\frac{36}{2}$ = 18 (cm)

Vì chiếc mũ sinh nhật là hình nón nên diện tích bìa cứng dùng đẻ làm chiếc mũ nói trên là:  

S = π. R. l = 3,14. 18.35 = 1978,2 (cm²)

Vậy diện tích phần bài cứng để làm một chiếc mũ như trên là 1978,2 (cm²).

1) Phương trình đường thẳng (d) khi m = 4 là: y = 4x − 4 + 1 = 4x – 3.

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 4 là:

x² = 4x – 3

 <=> x² – 4x + 3 = 0

Khi x = 1 thì y = 1² = 1

Khi x = 3 thì y = 3² = 9

Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 4 là: (x; y) = (1; 1) và (x; y) = (3; 9).

2) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x² = 4x − m + 1

<=>  x² − 4x + m − 1= 0

Ta có: △ = b² – 4ac = (−4)² – 4. (m – 1) = – 4m + 20

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

 ∆ > 0

 – 4m + 20 > 0

 – 4m > – 20

m < 5

Theo định lý Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = – $\frac{b}{a}$ = 4 (1)

x₁.x₂ =  $\frac{c}{a}$ = m – 1 (2)

Ta có: $\sqrt{x_1}$  =   $\sqrt{2x_2}$

x₁ = 2x₂ (3)

Từ (1) ta có: x₁ = 4 – x₂ thay vào (3) ta được:

<=>4 – x₂ = 2x₂

  <=> 3x₂ = 4

<=>  x₂ = $\frac{4}{3}$

Vậy x₁ = 4 – x₂ = 4 –  $\frac{4}{3}$ =  $\frac{8}{3}$

Thay x₁ = $\frac{8}{3}$ và x₂ =  $\frac{4}{3}$ vào (2) ta được:

$\frac{4}{3}.\frac{8}{3}$ = m – 1

 <=> m =  $\frac{32}{9}$ + 1

<=> m =  $\frac{41}{9}$(TMĐK)

Vậy m =  $\frac{41}{9}$.

Ta có: x − $\sqrt{x+6}$  =  $\sqrt{y+6}$ − y

<=>x + 6 – 2.  $\frac{1}{2}$. $\sqrt{x+6}$ + $\frac{1}{4}$  + y + 6 − 2.  $\frac{1}{2}$. $\sqrt{y+6}$ +  $\frac{1}{4}$ =  $\frac{25}{2}$

<=> ${\left(\sqrt{x+6}-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{y+6}-\frac{1}{2}\right)}^2=$  $\frac{25}{2}$

Đặt a =  $\sqrt{x+6}$ −  $\frac{1}{2}$; b =  $\sqrt{y+6}$ − $\frac{1}{2}$ nên a ≥ −  $\frac{1}{2}$; b ≥ −  $\frac{1}{2}$ 

Và a² + b² =  $\frac{25}{2}$. Do đó − $\frac{1}{2}$ ≤ a ≤  $\frac{7}{2}$; − $\frac{1}{2}$ ≤ b ≤ $\frac{7}{2}$

Ta có: (a − b)² ≥ 0

 <=> a² − 2ab + b² ≥ 0

<=> a² + b² ≥ 2ab

 <=> a² + b² + a² + b² ≥ 2ab + a² + b²

 <=> 2(a² + b²) ≥ (a + b)²

 a + b ≤  $\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}$ =  $\sqrt{2.\frac{25}{2}}$ = 5

Đặt a =  $\sqrt{x+6}$ −  $\frac{1}{2}$ nên:

a + $\frac{1}{2}$ =  $\sqrt{x+6}$

=>  ${\left(a+\frac{1}{2}\right)}^2$   =  x+6

 <=>  a² + 2. a. $\frac{1}{2}$ +  $\frac{1}{4}$ = x + 6

<=> x = a² + a$\frac{1}{2}$ +  $\frac{1}{4}$ − 6

<=>  x = a² + a −  $\frac{23}{4}$

Đặt b =   $\sqrt{y+6}$−  $\frac{1}{2}$ nên:

b + $\frac{1}{2}$=  $\sqrt{y+6}$

 ${\left(b+\frac{1}{2}\right)}^2$   =  ${\left(\sqrt{y+6}\right)}^2$

<=>  b² + 2. b. $\frac{1}{2}$ +  $\frac{1}{4}$ = y + 6

 <=>  y = b² + b +  $\frac{1}{4}$ − 6

<=>  y = b² + b −  $\frac{23}{4}$

Ta có: S = x + y = a² + a −  $\frac{23}{4}$ + b² + b −  $\frac{23}{4}$

=  $\frac{25}{2}$ − $\frac{23}{2}$  + a + b

= a + b + 1 ≤ 5 + 1 = 6

Dấu “=” xảy ra khi

 $\left\{\begin{array}{l}a=b\\ a^2+b^2=\frac{25}{2}\end{array}\right.$ 

<=> $\left\{\begin{array}{l}a=b\\ b^2+b^2=\frac{25}{2}\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{l}a=b\\ 2b^2=\frac{25}{2}\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{l}a=b\\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.$

=>

 a = b = $\frac{5}{2}$

=> $\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x+6}-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\\ \sqrt{y+6}-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x+6}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\\ \sqrt{y+6}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x+6}=3\\ \sqrt{y+6}=3\end{array}\right.$

<=>  $\left\{\begin{array}{l} {\left(\sqrt{x+6}\right)}^2=3^2\\ {\left(\sqrt{y+6}\right)}^2=3^2\end{array}\right.$

=> x = y = 3

Vậy giá trị lớn nhất của biếu thức P là 6 đạt được khi x = y = 3.