Hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+y=1\left(1\right)\\ x^2+2y^2+xy=16\left(2\right)\end{array}\right.$

Dùng phương pháp thế để giải phương trình.

Từ phương trình (1)suy ra :y= 1- 2x thế vào phương trình (2) ta được :

$x^2$ + 2.(1- 2x${)}^2$ + x.(1- 2x) = 16

$$\begin{gathered} \iff x^2+2.\left(1-4x+4x^2\right)+x-2x^2=16 \\ \iff x^2+2-8x+8x^2+x-2x^2=16 \\ \iff 7x^2-7x-14=0 \\ \iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array} \end{gathered}$$

Với x= -1 thì y = 3.

Với x= 2 thì y = -3.

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: (-1;3) và (2; -3)

Chọn C.

Dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình.

Từ phương trình đầu, suy ra :  y = 9 –x thế vào (2) ta được :

 $x^2$ +  (9- x${)}^2$ =  41

$$\begin{gathered} \iff x^2+81-18x+x^2=41 \\ \iff 2x^2-18x+40=0\iff [\begin{array}{l}x=4\\ x=5\end{array} \end{gathered}$$

Với x= 4 thì y = 5.

Với x= 5 thì y = 4.

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là ( 4; 5) và (5; 4).

Chọn C.

Dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình.

Từ phương trình đầu, suy ra:  x = 7- 2y thế vào phương trình (2) ta được:

( 7 – 2y)² + y² – 2(7- 2y).y = 1

$$\begin{gathered} \iff 49-28y+4y^2+y^2-14y+4y^2=1 \\ \iff 9y^2-42y+48=0\iff [\begin{array}{l}y=\frac{8}{3}\\ y=2\end{array} \end{gathered}$$

Với $y=\frac{8}{3}\Rightarrow x=\frac{5}{3}$

Với y = 2 thì x = 3.

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: $\left(\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right) và \left(3;2\right)$

$t^2$

Ta có:  $\left\{\begin{array}{l}x+y+xy=-13\\ x^2+y^2-x-y=32\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+xy=-13\\ {(x+y)}^2-2xy-(x+y)=32\end{array}\right.$

Đặt S = x+ y; P = xy . Khi đó, hệ phương trình trên trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}S+P=-13 \left(1\right)\\ S^2-2P-S=32 \left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (1) suy ra: P = -S – 13 thay vào (2) ta được:

$S^2$ – 2(-S – 13) – S =  32

$$\begin{gathered} \iff S^2+2S+26-S-32=0 \\ \iff S^2+S-6=0\iff [\begin{array}{l}S=2\\ S=-3\end{array} \end{gathered}$$

 * Với S = 2 thì P = -15 . Khi đó , x và y là nghiệm phương trình:

    $t^2$  - 2t – 15 = 0$\iff [\begin{array}{l}t=5\\ t=-3\end{array}$

* Với S = -3 thì P =  -10. Khi đó, x và y là nghiệm phương trình:

   $t^2$ + 3t – 10 =0$\iff [\begin{array}{l}t=2\\ t=-5\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm ( 5; -3); (-3; 5); (2; -5); (-5; 2).

Chọn D.

Từ phương trình đầu suy ra:  x = y + 2 thay vào phương trình (2) ta được:

(y+ 2${)}^2$ + $y^2$ = 164 

$$\begin{gathered} \iff y^2+4y+4+y^2=164 \\ \iff 2y^2+4y-160=0\iff [\begin{array}{l}y=8\\ y=-10\end{array} \end{gathered}$$

Với y = 8 thì x =  10

Với y = -10 thì x= - 8.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (10; 8);  (-8; -10).

Chọn D.

Từ phương  trình đầu suy ra:  x = y + 1 thay vào phương  trình (2)  ta được:

(y+ 1${)}^3$ – $y^3$ = 7 hay $y^3$ + 3$y^2$ +  3y + 1 – $y^3$ – 7 = 0

$\iff 3y^2+3y-6=0\iff [\begin{array}{l}y=1\\ y=-2\end{array}$

Với y = 1 thì x = 2.

Với y = -2 thì x = -1.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:  (2; 1) và ( -1; -2).

Chọn C.

Đặt $a=\left|x\right|; b=\left|y\right|; \left(a;b\ge 0\right) \Rightarrow a^2=x^2; b^2=y^2$

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{\begin{array}{l}a+b=3 \left(1\right)\\ 2(a^2+b^2)=9 \left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (1) suy ra:  b = 3 - a thay vào (2) ta được:

$$\begin{gathered} 2.\left[a^2+{\left(3-a\right)}^2\right]=9\iff 2\left(2a^2-6a+9\right)=9 \\ \iff 4a^2-12a+9=0\iff a=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Với $a=\frac{3}{2}\Rightarrow b=\frac{3}{2}$.

Khi đó;  $\left|x\right|=\frac{3}{2}; \left|y\right|=\frac{3}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{3}{2}; y=\pm \frac{3}{2}$

Suy ra, hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:

$\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right); \left(\frac{3}{2};\frac{-3}{2}\right); \left(\frac{-3}{2};\frac{3}{2}\right); \left(\frac{-3}{2};\frac{-3}{2}\right)$

Chọn C.

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3=3x+8y \left(1\right)\\ y^3=3y+8x \left(2\right)\end{array}\right.$

Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:;

$$\begin{gathered} x^3-y^3=\left(3x+8y\right)-\left(3y+8x\right) \\ \iff \left(x-y\right).\left(x^2+xy+y^2\right)=-5x+5y \\ \iff \left(x-y\right).\left(x^2+xy+y^2\right)+5x-5y=0 \\ \iff \left(x-y\right).\left(x^2+xy+y^2\right)+5\left(x-y\right)=0 \\ \iff \left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+5\right)=0 \\ \iff [\begin{array}{l}x-y=0\\ x^2+xy+y^2+5=0\end{array} \end{gathered}$$

* Nếu x- y = 0 hai  x = y thay vào (1)ta được: $x^3$ = 3x + 8x

$$\begin{gathered} \iff x^3=11x\iff x^3-11x=0 \\ \iff [\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y=0\\ x=\sqrt{11}\Rightarrow y=\sqrt{11}\\ x=-\sqrt{11}\Rightarrow y=-\sqrt{11}\end{array} \end{gathered}$$

*Nếu $x^2+xy+y^2+5=0\iff \left(x^2+2.\frac{1}{2}y+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3y^2}{4}+5=0$

$\iff {\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3y^2}{4}+5=0$  (vô lí).

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: $\left(0;0\right), \left(\sqrt{11};\sqrt{11}\right); \left(-\sqrt{11};-\sqrt{11}\right)$ 

Chọn C.

*  Ta thấy hệ phương trình đã cho nhận (0; 0) làm nghiệm với mọi giá trị của m.

* Với m = - 2 thì hệ phương trình đã cho trở thành: 

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2=2x-2y \left(1\right)\\ y^2=2y-2x \left(2\right)\end{array}\right.$

Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:

$x^2$ – $y^2$ = 2x -  2y– (2y - 2x)

$\iff x^2-y^2=4x-4y$

$\iff$(x- y).(x+ y) = 4(x- y)

$\iff \left(x-y\right).\left(x+y-4\right)=0$

+ Với x-y=0$\iff x=y$ thay vào (1) ta được:

$$\begin{gathered} x^2=2x-2x \\ \iff x^2=0 \\ \iff x=0 \end{gathered}$$

Suy ra y=0

+ Với x+ y = 4 $\Rightarrow y=4-x$ thay (1) ta được:

$$\begin{gathered} x^2=2x-2\left(4-x\right) \\ \iff x^2-4x+8=0 (vô nghiệm) \end{gathered}$$

Vậy với m= -2 thì hệ phương trình có 1 nghiệm là (0;0) .

* Khi m = 1 hệ trở thành $\left\{\begin{array}{l}{x}^2=2x+y \left(3\right)\\ y^2=2y+x \left(4\right)\end{array}\right.$ 

trừ vế với vế ta có $x^2$ – $y^2$ =  x – y

$$\begin{gathered} \iff \left(x-y\right).\left(x+y\right)-\left(x-y\right)=0 \\ \iff \left(x-y\right).\left(x+y-1\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=y\\ x+y-1=0\end{array} \end{gathered}$$

 *  Nếu x = y thay vào (3) ta được:  $x^2$ = 2x + x

$\iff x^2=3x\iff [\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=0\\ x=3\Rightarrow y=3\end{array}$

* Nếu x+  y -1=0 hay y = 1- x thế vào (3) ta được:

$X^2$ = 2x + 1 – x hay $x^2$ – x - 1 = 0

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{array}$

Vậy khi m = 1 thì hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}2m+1& 1\\ m^2& -1\end{array}\right|=-2m-1-m^2=-{\left(m+1\right)}^2$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}2m-2& 1\\ m^2-3m& -1\end{array}\right|$

$=-2m+2-m^2+3m=-m^2+m+2=\left(m+1\right)\left(2-m\right)$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}2m+1& 2m-2\\ m^2& m^2-3m\end{array}\right|=\left(2m+1\right)\left(m^2-3m\right)-m^2\left(2m-2\right)$

$=-3m^2-3m=-3m\left(m+1\right)$

Nếu $m\ne -1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{m-2}{m+1}=1-\frac{3}{m+1}\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{3m}{m+1}=3-\frac{3}{m+1}\end{array}\right.$

Để $x,y\in Z$ suy ra $\frac{3}{m+1}\in Z,m+1\in U,\left(3\right)=\left\{\pm 1;\pm 3\right\}$

Vậy có 4 giá trị của m thoả mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}m& -1\\ 3& m\end{array}\right|=m^2+3;$$D_x=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 5& m\end{array}\right|=2m+5;$$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& 2\\ 3& 5\end{array}\right|=5m-6$

Vì $m^2+3\ne 0,\forall m$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{2m+5}{m^2+3}\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{5m-6}{m^2+3}\end{array}\right.$

Theo giả thiết, ta có:

$x+y<1\iff \frac{2m+5}{m^2+3}+\frac{5m-6}{m^2+3}<1\iff \frac{7m-1}{m^2+3}<1$

$\iff 7m-1<m^2+3\iff m^2-7m+4>0\iff$$\left[\begin{array}{c}m>\frac{7+\sqrt{33}}{2}\\ m<\frac{7-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$D=\left|\begin{array}{cc}m& 2m\\ 1-m& 1\end{array}\right|=m-2m+2m^2=2m^2-m$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}-10& 2m\\ 10& 1\end{array}\right|=-10-20m$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& -10\\ 1-m& 10\end{array}\right|=10m+10-10m=10$

Nếu $D=0\iff 2m^2-m=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Với $m=0\Rightarrow D_x\ne 0$ nên hệ vô nghiệm

Với $m=\frac{1}{2}\Rightarrow D_x\ne 0$ nên hệ vô nghiệm

Vậy với $\left[\begin{array}{c}m=0\\ m=\frac{1}{2}\end{array}\right.$thì hệ phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

$D=\left|\begin{array}{cc}m& -2\\ 3& m\end{array}\right|=m^2+6;D_x=\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 4& m\end{array}\right|=3m+8;D_y=\left|\begin{array}{cc}m& 3\\ 3& 4\end{array}\right|=4m-9$

Vì $m^2+6\ne 0,\forall m$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{3m+8}{m^2+6}\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{4m-9}{m^2+6}\end{array}\right.$

Theo giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{array}{c}x>0\\ y<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{3m+8}{m^2+6}>0\\ \frac{4m-9}{m^2+6}<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}3m+8>0\\ 4m-9<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m>-\frac{8}{3}\\ m<\frac{9}{4}\end{array}\right.$

$\iff -\frac{8}{3}<m<\frac{9}{4}$

Vì m ∈ Z nên m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}

Đáp án cần chọn là: B