45 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3:Phương trình đường elip có đáp án (Mới nhất)

Gọi phương trình của Elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ có độ dài trục lớn $A_1{A}_2=2a.$

Xét $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}^2=25\\ b^2=9\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=3\end{array}\right.\stackrel{}{\to }{A}_1{A}_2=2.5=10.$

 Chọn B.

Gọi phương trình của Elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ có độ dài trục lớn $A_1{A}_2=2a.$

Xét $\left(E\right):4x^2+16y^2=1\iff \frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{16}}=1\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=\frac{1}{4}\\ b^2=\frac{1}{16}\end{array}\right.\Rightarrow a=\frac{1}{2}\stackrel{}{\to }{A}_1{A}_2=2.\frac{1}{2}=1.$

Chọn C.

Gọi phương trình của Elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ có độ dài trục lớn $A_1{A}_2=2a.$

Xét $\left(E\right):x^2+5y^2=25\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{5}=1\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=25\\ b^2=5\end{array}\right.\Rightarrow a=5\stackrel{}{\to }{A}_1{A}_2=2.5=10.$ 

Chọn D.

Gọi phương trình của Elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ có độ dài trục bé $B_1{B}_2=2b.$

Xét $\left(E\right):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=100\\ b^2=64\end{array}\right.\Rightarrow b=8\stackrel{}{\to }{B}_1{B}_2=2.8=16.$

 Chọn C.

Gọi phương trình của Elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ có độ dài trục lớn $A_1{A}_2=2a$ và độ dài trục bé là $B_1{B}_2=2b.$

 Khi đó, xét $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+y^2=4\iff \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{4}=1.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=64\\ b^2=4\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=8\\ b=2\end{array}\right.\stackrel{}{\to }{A}_1{A}_2+B_1{B}_2=2.8+2.2=20.$ 

Chọn C.

Gọi phương trình của Elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ có tiêu cự là 2c

Xét $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=25\\ b^2=16\end{array}\right.\Rightarrow c^2=a^2-b^2=9\Rightarrow c=3\stackrel{}{\to }2c=6.$

Chọn B.

Gọi phương trình của Elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ có tiêu cự là 2c

Xét $\left(E\right):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=9\\ b^2=4\end{array}\right.\Rightarrow c^2=a^2-b^2=5\Rightarrow c=\sqrt{5}\stackrel{}{\to }2c=2\sqrt{5}.$ 

Chọn D.

Gọi phương trình của Elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ có tiêu cự là 2c

Xét $\left(E\right):\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=p^2\\ b^2=q^2\end{array}\right.\Rightarrow c^2=p^2-q^2\Rightarrow c=\sqrt{p^2-q^2}\stackrel{}{\to }2c=2\sqrt{p^2-q^2}.$ 

Chọn D.

Gọi M là điểm nằm trên trục lớn của $\left(E\right)\Rightarrow M\in Ox\Rightarrow M\left(m;0\right).$

Mặt khác $M\in \left(E\right)$ suy ra $\frac{m^2}{100}=1\iff m^2={10}^2\iff \left[\begin{array}{l}m=10\\ m=-10\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}M\left(10;0\right)\\ M\left(-10;0\right)\end{array}\right..$

 Chọn D.

Gọi N là điểm nằm trên trục bé của $\left(E\right)\Rightarrow N\in Oy\Rightarrow N\left(0;n\right).$

Mặt khác $N\in \left(E\right)$ suy ra $\frac{n^2}{12}=1\iff n^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2\iff \left[\begin{array}{l}n=2\sqrt{3}\\ n=-2\sqrt{3}\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}N\left(0;2\sqrt{3}\right)\\ N\left(0;-2\sqrt{3}\right)\end{array}\right..$ 

Chọn C

Gọi phương trình của (E)  là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ có tọa độ tiêu điểm $F\left(\pm c;0\right).$

Xét $\left(E\right):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=9\\ b^2=6\end{array}\right.\iff c^2=a^2-b^2=3\Rightarrow c=\sqrt{3}.$ 

Vậy tiêu điểm của Elip là $F_1\left(\sqrt{3};0\right),F_2\left(-\sqrt{3};0\right).$

 Chọn C.

Gọi phương trình của (E) là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ có tọa độ tiêu điểm $F\left(\pm c;0\right).$

Xét $\left(E\right):\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=5\\ b^2=4\end{array}\right.\iff c^2=a^2-b^2=1\Rightarrow c=1.$ 

Vậy tiêu điểm của Elip là $F_1\left(1;0\right),F_2\left(-1;0\right).$

 Chọn A.

Xét $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=16\\ b^2=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=16\\ c^2=7\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=4\\ c=\sqrt{7}\end{array}\right.\stackrel{}{\to }e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}.$ 

Chọn B.

Xét $\left(E\right):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=9\\ b^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=9\\ c^2=5\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=3\\ c=\sqrt{5}\end{array}\right..$

Vậy tỉ số $f$ cần tính là $f=\frac{2a}{2c}=\frac{3}{\sqrt{5}}.$ 

Chọn B.

Xét $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=16\\ b^2=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{b}^2=8\\ c^2=8\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b=2\sqrt{2}\\ c=2\sqrt{2}\end{array}\right..$

Vậy tỉ số k cần tính là $k=\frac{2c}{2b}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=1.$

 Chọn C.

Ta có $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\iff \left(E\right):\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=3\\ c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\end{array}\right.$

Do đó, độ dài trục nhỏ của (E) là 6.

Chọn D.

Ta có $\left(E\right):x^2+4y^2=1\iff \left(E\right):\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=1\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}a=1\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\\ c=\sqrt{a^2-b^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$.

Do đó:

$\left(E\right)$ có tiêu cự $F_1{F}_2=2c=\sqrt{3}$.

$\left(E\right)$ có trục nhỏ bằng 1, trục lớn bằng 2.

$\left(E\right)$ có tiêu điểm là $F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$ và $F_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$.

Chọn A.

Ta có $\left(E\right):4x^2+9y^2=36\iff \left(E\right):\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=2\\ c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}\end{array}\right.$.

Do đó, (E) có tiêu cự bằng $2\sqrt{5}$.

Chọn C.

Xét đáp án A. Ta có $\left(E\right):9x^2+16y^2=144\iff \left(E\right):\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\end{array}\right.$.

Do đó (E) có độ dài trục lớn là 8, độ dài trục nhỏ là 6.

Chọn A.

Elip (E) có $\left\{\begin{array}{l}{F}_1{F}_2=6=2c\\ A_1{A}_2=10=2a\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}c=3\\ a=5\end{array}\right.\Rightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}=4$.

Do đó, phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Chọn D.

Elip $\left(E\right)$ có độ dài trục nhỏ là $4\sqrt{6}\stackrel{}{\to }2b=4\sqrt{6}\Rightarrow b=2\sqrt{6}$.

Elip $\left(E\right)$ có một tiêu điểm $F\left(5;0\right)\stackrel{}{\to }c=5$. Khi đó, $a=\sqrt{b^2+c^2}=7$.

Phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$.

Chọn C.

Elip $\left(E\right)$ có một đỉnh là $A\left(5;0\right)\in Ox\stackrel{}{\to }a=5$.

Elip $\left(E\right)$ có một tiêu điểm $F\left(-4;0\right)\stackrel{}{\to }c=4$.

Khi đó, $b=\sqrt{a^2-c^2}=3$.

Phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$

 Chọn C.

Elip $\left(E\right)$ có hai đỉnh là $\left(-3;0\right)\in Ox$ và $\left(3;0\right)\in Ox\stackrel{}{\to }a=3$.

Elip $\left(E\right)$ có hai tiêu điểm là $F_1\left(-1;0\right)$ và $F_2\left(1;0\right)\stackrel{}{\to }c=1$.

Khi đó, $b=\sqrt{a^2-c^2}=2\sqrt{2}$.

Phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$.

Chọn C.

Elip $\left(E\right)$ có trục lớn gấp đôi trục bé $\Rightarrow A_1{A}_2=2B_1{B}_2\iff 2a=2.2b\iff a=2b$.

Elip $\left(E\right)$ có tiêu cự bằng $4\sqrt{3}\stackrel{}{\to }2c=4\sqrt{3}\Rightarrow c=2\sqrt{3}$.

Ta có $a^2=b^2+c^2\iff {\left(2b\right)}^2=b^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2\Rightarrow b=2$. Khi đó, $a=2b=4$.

Phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$.

Chọn A.

Elip $\left(E\right)$ có độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị $\stackrel{}{\to }2a-2b=4$.

Elip $\left(E\right)$ có độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị $\stackrel{}{\to }2b-2c=4$.

Ta có

$\left\{\begin{array}{l}a-b=2\\ b-c=2\\ a^2=b^2+c^2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a-b=2\\ a^2=b^2+{\left(b-2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=b+2\\ {\left(b+2\right)}^2=2b^2-4b+4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=b+2\\ b^2-8b=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=10\\ b=8\end{array}\right.$ 

Phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

Chọn C.

Elip (E) có tỉ số độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $\sqrt{2}\stackrel{}{\to }\frac{2b}{2c}=\sqrt{2}\Rightarrow c=\frac{b\sqrt{2}}{2}$.

Mặt khác, ${\left(2a\right)}^2+{\left(2c\right)}^2=64\iff a^2+c^2=16$.

Ta có $\left\{\begin{array}{c}c=\frac{b\sqrt{2}}{2}\\ \begin{array}{l}{a}^2+c^2=16\\ a^2=b^2+c^2\end{array}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}^2+\frac{1}{2}{b}^2=16\\ a^2-\frac{3}{2}{b}^2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=12\\ b^2=8\end{array}\right.$.

Phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$.

Chọn A.

Elip (E) có một tiêu điểm $F\left(-2;0\right)\stackrel{}{\to }c=2$.

Elip (E) có tích độ dài trục lớn với trục bé bằng $12\sqrt{5}\stackrel{}{\to }2a.2b=12\sqrt{5}\Rightarrow ab=3\sqrt{5}$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}ab=3\sqrt{5}\\ a^2-b^2=c^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{3\sqrt{5}}{b}\\ {\left(\frac{3\sqrt{5}}{b}\right)}^2-b^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=\sqrt{5}\end{array}\right.$.

Phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$.

Chọn A.

Elip (E) có độ dài trục lớn bằng $26\stackrel{}{\to }2a=26\Rightarrow a=13$.

Elip (E) có tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng $\frac{12}{13}\stackrel{}{\to }\frac{2c}{2a}=\frac{12}{13}\Rightarrow c=\frac{12}{13}a=12$.

Do đó, $b=\sqrt{a^2-c^2}=5$.

Phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

Chọn B.

Elip (E) có độ dài trục lớn bằng $6\stackrel{}{\to }2a=6\Rightarrow a=3$.

Elip (E)  có tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng $\frac{1}{3}\stackrel{}{\to }\frac{2c}{2a}=\frac{1}{3}\Rightarrow c=\frac{1}{3}a=1$.

Do đó, $b=\sqrt{a^2-c^2}=2\sqrt{2}$.

Phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$.

Chọn A.

Gọi phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ với $a>b>0.$ 

 Độ dài trục nhỏ của Elip là 12 suy ra $2b=12\iff b=6.$

 Tiêu cự của Elip là 2c độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số $\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\iff c=\frac{4}{5}a.$ 

Mặt khác $a^2-b^2=c^2\iff a^2-6^2=\frac{16}{25}{a}^2\iff \frac{9}{25}{a}^2=36\iff a^2=100.$

Vậy phương trình cần tìm là $\left(E\right):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1.$ 

Chọn D.

Gọi phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ với $a>b>0.$ 

 Tổng độ dài hai trục của Elip là $2a+2b=10\iff a+b=5\iff b=5-a>0.$

 Tiêu cự của Elip là 2c độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\iff c=\frac{\sqrt{5}}{3}a.$ 

Mà $a^2-b^2=c^2$ suy ra $a^2-{\left(5-a\right)}^2=\frac{5}{9}{a}^2\iff a=3$ (a=15 loại vì $b=5-15=-10<0$)

Vậy phương trình cần tìm là $\left(E\right):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.$

 Chọn D.

Gọi phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ với $a>b>0.$ 

 Elip đi qua điểm M(0;3) suy ra $\frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1\iff b^2=9.$

 Elip đi qua điểm $N\left(3;-\frac{12}{5}\right)$ suy ra $\frac{3^2}{a^2}+\frac{{\left(-\frac{12}{5}\right)}^2}{b^2}=1\iff \frac{9}{a^2}=1-\frac{144}{25}.\frac{1}{b^2}\iff a^2=25.$

Vậy phương trình cần tìm là $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$ 

Chọn B.

Gọi phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ với $a>b>0.$ 

 Elip đi qua điểm A(7;0) suy ra $\frac{7^2}{a^2}=1\iff a^2=49.$

 Elip đi qua điểm B( 0;3) suy ra $\frac{3^2}{b^2}=1\iff b^2=9.$

Vậy phương trình cần tìm là $\left(E\right):\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{9}=1.$ 

Chọn D.

Gọi phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ với $a>b>0.$ 

 Elip đi qua điểm A(0;1) suy ra $\frac{0^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\iff b^2=1.$

 Elip đi qua điểm $N\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ suy ra $\frac{1^2}{a^2}+\frac{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{b^2}=1\iff \frac{1}{a^2}=1-\frac{3}{4}.\frac{1}{b^2}\iff a^2=4.$

Vậy phương trình cần tìm là $\left(E\right):\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1.$ 

Chọn C.

Gọi phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ với $a>b>0.$ 

 Elip có độ dài trục lớn gấp đôi trục bé suy ra $2a=2.2b\iff a=2b.$

 Elip đi qua điểm $M\left(2;-2\right)$ suy ra $\frac{2^2}{a^2}+\frac{{\left(-2\right)}^2}{b^2}=1\iff \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{4}.$

Do đó, ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}a=2b\\ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=4b^2\\ \frac{1}{4b^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=20\\ b^2=5\end{array}\right..$

Vậy phương trình cần tìm là $\left(E\right):\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1.$ 

Chọn A.

Gọi phương trình chính tắc của Elip là $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ với $a>b>0.$ 

 Elip có tiêu cự bằng 8 suy ra $2c=8\iff c=4\iff a^2-b^2=c^2=16 \left(1\right)$

 Elip đi qua điểm $M\left(\sqrt{15};-1\right)$ suy ra  $\frac{{\left(\sqrt{15}\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(-1\right)}^2}{b^2}=1\iff \frac{15}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1 \left(2\right)$

Từ (1), (2) suy ra $\left\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=16\\ \frac{15}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=b^2+16\\ \frac{15}{b^2+16}+\frac{1}{b^2}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=b^2+16\\ b^4=16\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=20\\ b^2=4\end{array}\right..$