43 bài tập Phương trình và bất phương trình có lời giải

Phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=1$  có nghiệm là

Cho phương trình \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0\).

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\).

b) Phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\,x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Phương trình đã cho có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{4}\).

d) Số nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) là hai nghiệm.

Cho bất phương trình \({4^{{x^2} + 5}} \ge {\left( {\frac{1}{8}} \right)^{x - {x^2}}}\).

a) Ta có: \({4^{{x^2} + 5}} = {2^{2\left( {{x^2} + 5} \right)}};\,\,{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{x - {x^2}}} = {2^{ - 3\left( {x - {x^2}} \right)}}.\)

b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình \(2\left( {{x^2} + 5} \right) \ge - 3\left( {x - {x^2}} \right)\).

c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là \(6.\)

d) Tích nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là \( - 4.\)

Một cây cầu có dạng cung \(AB\) của đồ thị hàm số \(y = 4,8\cos \frac{x}{9}\) và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở hình vẽ dưới đây.

Một sà lan chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao \(3,6\,{\rm{m}}\) so với mực nước sông. Hỏi chiều rộng của khối hàng hoá đó lớn nhất là bao nhiêu mét để sà lan có thể đi qua được gầm cầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cô Liên gửi \[100\] triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là \[12\] tháng với lãi suất \(6\% \) một năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Liên không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền cô Liên có được cả gốc và lãi nhiều hơn \[150\] triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Phương trình \[\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] có nghiệm là:

Các nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin 30^\circ \) là

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\].

Nghiệm của phương trình \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) là

Nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) là

Phương trình lượng giác \(\sqrt 3 \,\tan \,x + 3 = 0\) có nghiệm là

Phương trình \(\tan \left( {3x - 15^\circ } \right) = \sqrt 3 \) có các nghiệm là

Phương trình lượng giác \(3\cot \,x - \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là

Giải phương trình \(cot\left( {3x - 1} \right) = - \sqrt 3 \) ta được

Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) = 1\).

Tập nghiệm của bất phương trình \({5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}}\) là

Cho phương trình \(\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1\) (*).

a) Phương trình (*) có nghiệm \(x = 30^\circ + k90^\circ \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - 30^\circ \).

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - 180^\circ ;90^\circ } \right)\) bằng \(180^\circ \).

d) Trong khoảng \(\left( { - 180^\circ ;90^\circ } \right)\), phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(60^\circ \).

Cho phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\) (*).

a) Phương trình có nghiệm: \(x = \pi + k2\pi \) và \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\), phương trình có 2 nghiệm.

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) bằng \(\frac{{7\pi }}{6}\).

d) Trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\), phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{{5\pi }}{6}\).

Cho phương trình lượng giác \(\cot 3x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) (*).

a) Phương trình (*) tương đương \(\cot 3x = \cot \left( {\frac{{ - \pi }}{6}} \right)\).

b) Phương trình (*) có nghiệm \(x = \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) bằng \(\frac{{ - 5\pi }}{9}\).

d) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{{2\pi }}{9}\).

Cho hai đồ thị hàm số \(y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) và \(y = \sin x\).

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\).

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \(x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Khi \[x \in \left[ {0;2\pi } \right]\] thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm.

d) Khi \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) thì toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \(\left( {\frac{{5\pi }}{8};\sin \frac{{5\pi }}{8}} \right),\left( {\frac{{7\pi }}{8};\sin \frac{{7\pi }}{8}} \right)\).

Cho phương trình \({\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\).

a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình \(\frac{{1 + \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2}\).

b) Ta có \(\cos \left( {2x + \pi } \right) = - \cos 2x\).

c) Phương trình đã cho đưa về dạng \(\cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x\).

d) Nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = & \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).