50 bài tập Hình học không gian có lời giải

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Góc giữa hai đường thẳng SB và AD bằng góc giữa hai đường thẳng

A. SB và AC.

B. SB và BC.

C. SA và AD.

D. SC và AD.

Lời giải

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\,{\rm{//}}\,BC$. Do đó, $\left( {SB,AD} \right) = \left( {SB,BC} \right)$. Chọn B.

Câu 2

Trong không gian cho mặt phẳng (P) và điểm M. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P)?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải

Ta có tính chất: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Chọn B.

Câu 3

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. (ảnh 1)$

A. $d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = SD$.

B. $d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = DC$.

C. $d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = AD$.

D. $d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = DB$.

Lời giải

Ta có $\{\begin{cases} A D ⊥ A B (A B C D là hcn) \\ A D ⊥ S A (S A ⊥ (A B C D)) \end{cases} \Rightarrow A D ⊥ (S A B) \Rightarrow d (D, (S A B)) = A D$ . Chọn C.

Câu 4

Cho hình lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $AA' \bot AB,AA' \bot AC$ và tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AA'$ và $AC$.

a) $\left( {A'B,C'C} \right) = \widehat {AA'B}$.

b) $\left( {A'B,C'C} \right) = 45^\circ $.

c) $\left( {A'C,MB} \right) = \widehat {BAN}$.
d) $\widehat {BMN} \approx 42,6^\circ $.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $A'A{\rm{//}}C'C \Rightarrow \left( {A'B,C'C} \right) = \left( {A'B,A'A} \right) = \widehat {AA'B}$.

Mà $\Delta A'AB$ vuông cân tại \[A\] nên $\widehat {AA'B} = 45^\circ $.

Vì $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AA'$ và $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của \[\Delta AA'C\].

Do đó, $A'C\,{\rm{//}}\,MN \Rightarrow \left( {A'C,MB} \right) = \left( {MN,MB} \right) = \widehat {BMN}$.

Xét $\Delta MNB$ có: $MB = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},\,MN = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,,\,BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

$\cos \widehat {BMN} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \widehat {BMN} \approx 50,8^\circ $.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Câu 5

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2 $, $AC = a\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$. Khi đó:

a) $AD\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)$.

b) Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD,AB$ bằng $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

d) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $AD\,{\rm{//}}\,BC \Rightarrow AD\,{\rm{//}}\,\,\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, kẻ $AH \bot SB$ tại $H$. (1)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AH \bot BC} \right.$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$ hay $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên:

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2 $, $AC = a\sqrt 3 $. (ảnh 1)$

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}$

Vậy $d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, kẻ $AK \bot SD$ tại $K$. (3)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AK} \right.$.(4)

Từ (3) và (4) suy ra $AK$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $AB,SD$.

Tam giác $ACD$ vuông tại $D$ nên $AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a$.

Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AK$ nên

$\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}$

Vậy $d\left( {AB,SD} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

Diện tích đáy hình chóp là: ${S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 $.

Thể tích khối chóp cần tìm là: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}$(đơn vị thể tích).

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Câu 6

Người ta cần xây dựng công trình đê để ngăn nước lũ của sông. Mặt cắt của đê được thiết kế với số đo như trong hình vẽ dưới đây.

Tổng thể tích vật liệu cần dùng để xây dựng đoạn đê đó bằng bao nhiêu mét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng đoạn đê thẳng và dài 100m.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

50 bài tập Hình học không gian có lời giải

🔥 Đề thi HOT:

30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)

(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)

CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)

(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)

Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)

Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)

(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 3)

Nội dung liên quan:

43 bài tập Phương trình và bất phương trình có lời giải

44 bài tập Cấp số cộng và cấp số nhân có lời giải

44 bài tập Đạo hàm và khảo sát hàm số có lời giải

50 bài tập Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có lời giải

45 bài tập Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian có lời giải

35 bài tập Thống kê có lời giải

45 bài tập Xác suất có lời giải

Đề thi ôn tốt nghiệp THPT Toán có lời giải

Danh sách câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Góc giữa hai đường thẳng SB và AD bằng góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian cho mặt phẳng (P) và điểm M. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P)?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho ba đường thẳng \(a\), \(b\) và \(c\) thỏa mãn \(a\,{\rm{//}}\,b\). Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) như hình vẽ bên. Góc giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) là góc

Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ. Góc giữa hai đường thẳng \(BB'\) và \(AC\) là góc nào dưới đây?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\). Góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CD\) bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và \(AB \bot BC.\) Số các mặt của hình chóp \(S.ABC\) là tam giác vuông là

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(BC\). Hãy chọn khẳng định đúng.

Cho tứ diện \(SABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Gọi \(M\),\(N\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên cạnh \(SB\) và \(SC\). Khẳng định nào sau đây sai?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = 2\sqrt 6 \). Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2\). Số đo góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\), đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh bằng \[a\]. Góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] bằng góc nào trong các góc dưới đây?

Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \[B\], \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện \[\left[ {B,SA,C} \right]\].

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng có quan hệ gì với mặt phẳng thứ ba?

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(\sqrt 2 a\), \(O = AC \cap BD, \)\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(S\). Khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng

Cho hình chóp tam giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right), SA = a\). Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), cạnh \(AB = a\sqrt 2 \). Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB\) và \(B'C'\) là

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA' = 2a\), \(A'B' = 2a\), \(A'D' = a\). Khoảng cách từ đường thẳng \(AA'\) đến mặt phẳng \(\left( {BDD'B'} \right)\) bằng:

Một hình chóp tứ giác đều có thể tích \[200\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\], chiều cao \[12\,{\rm{cm}}\]. Diện tích đáy của hình chóp bằng:

Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA' = a,{\rm{ }}AB = 3a,{\rm{ }}AC = 5a\). Thể tích khối hộp đã cho là

Hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(3a\), cạnh bên bằng \(2\sqrt 3 a\). Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\], tính độ dài đoạn thẳng \[SG\].

Cho hình chóp đều \[S.ABC\] có cạnh đáy bằng \[a\], cạnh bên bằng \[\frac{{a\sqrt {21} }}{6}\]. Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \[S.ABC\].

Tính thể tích \[V\] của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng \[a\] và tổng diện tích các mặt bên bằng \[3{a^2}.\]

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi có cạnh bằng \(2a\) và góc \(\widehat {ABC} = 60^\circ \), cạnh bên \(AA'\) bằng \(\frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}\); \(A'\) cách đều các đỉnh\(A,B,C\). Tính theo \(a\) thể tích của khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).

Cho hình chóp cụt tam giác, trong đó 2 mặt đáy là 2 tam giác đều có cạnh lần lượt là \(4\;{\rm{cm}}\) và \(2\;{\rm{cm}}\), chiều cao hình chóp là \(6\;{\rm{cm}}\). Thể tích của hình chóp cụt đó bằng:

Tính thể tích của hình chóp cụt đều có đáy lớn là hình vuông, cạnh \(6\;\,{\rm{cm}}\), đáy nhỏ là hình vuông cạnh \(3\;\,{\rm{cm}}\) và chiều cao của hình chóp cụt là \(4\,\;{\rm{cm}}\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng \(45^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng:

Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết rằng góc nhị diện \(\left[ {A,BC,A'} \right]\) có số đo bằng \(30^\circ \), tam giác \(A'BC\) có diện tích bằng \(8\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Biết \(\widehat {SAD} = \widehat {SCD} = 90^\circ \). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(AC\) bằng bao nhiêu độ?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

$Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). (ảnh 1)$

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây là đúng?

$Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. (ảnh 1)$

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

$Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Mệnh đề nào sau đây đúng ? (ảnh 1)$

Cho hình chóp tam giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

$Cho hình chóp tam giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). (ảnh 1)$

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB\) và \(B'C'\) là

$Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB\) và \(B'C'\) là (ảnh 1)$