45 bài tập Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian có lời giải

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] và bằng vectơ \(\overrightarrow {AD} \) là

Cho hai vectơ \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v \] có \[\left| {\overrightarrow u } \right| = 3,\left| {\overrightarrow v } \right| = 4\] và góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v \] bằng \[60^\circ \]. Tích vô hướng \[\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v \] bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - \overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(K\left( {1;\,\,1;\,\,1} \right)\) nhận \(\vec u = \left( {1;0;1} \right)\), \(\vec v = \left( {1;1;0} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương có phương trình tổng quát là

Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 1\\z = 3t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của \(\Delta \)?

Cho tứ diện \(ABCD\), khi đó \(\overrightarrow {BD}  - \overrightarrow {BC} \) bằng

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'.\) Đặt \(\vec a = \overrightarrow {AA'} ,\vec b = \overrightarrow {AB} ,\vec c = \overrightarrow {AC} .\) Hãy biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {B'C} \) theo các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c.\)

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O\). Đặt \(\overrightarrow {AB} = \vec a;\overrightarrow {BC} = \vec b,M\) là điểm xác định bởi \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a - \vec b} \right).\) Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian cho hai vectơ \(\vec u,\vec v\) tạo với nhau một góc \(60^\circ ,\,\,\left| {\vec u} \right| = 1\) và \(\left| {\vec v} \right| = 2.\) Tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec v\) bằng

Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) thỏa mãn \(\left| {\vec a} \right| = 3,\,\left| {\vec b} \right| = 2\) và \(\vec a \cdot \vec b =  - 3.\) Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b.\)

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {DA'} \) bằng

Cho hai vectơ \(\vec a,\vec b\) sao cho \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt 2 ,\left| {\vec b} \right| = 2\) và hai vectơ \(\vec x = \vec a + \vec b,\) \(\vec y = 2\vec a - \vec b\) vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b.\)

Trong không gian cho hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) tạo với nhau một góc \(120^\circ \) và \(\left| {\vec u} \right| = 2,\,\,\left| {\vec v} \right| = 5.\) Tính \(\left| {\vec u + \vec v} \right|.\)

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh bằng \(a\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Tính \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {AD} .\)

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {CM}  \cdot \overrightarrow {AN} .\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho đoạn thẳng \(AB\) có \(A\left( {3\;;\;1\;;\; - 1} \right)\)và \(B\left( { - 1\;;\;5\;;\;7} \right)\). Tọa độ trung điểm \(M\)của \(AB\) là

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\vec a = \left( {2; - 3;3} \right)\), \(\vec b = \left( {0;2; - 1} \right)\), \(\vec c = \left( {3; - 1;5} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\vec u = 2\vec a + 3\vec b - 2\vec c\).

Cho tứ giác \(ABCD\) biết \(A\left( {0;\, - 2;\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,3;\, - 2} \right),\,\,C\left( {1;\,0;\,0} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho \[\overrightarrow {OM}  = \left( {1;5;2} \right)\], \[\overrightarrow {ON}  = \left( {3;7; - 4} \right)\], \(K\left( { - 1;3;1} \right)\). Gọi \[P\] là điểm đối xứng với \[M\] qua \[N\]. Tìm tọa độ vectơ \[\overrightarrow {KP} \].

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( { - 1; - 1;0} \right),B\left( {3;1; - 1} \right).\) Điểm \(M\) thuộc trục \(Oy\) và cách đều hai điểm \(A,\,B\) có tọa độ là

Trong không gian \[Oxyz\], cho \(A\left( {2;1; - 1} \right),B\left( {3;0;1} \right).\) Tìm điểm \(C \in Oz\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \(A\left( {1;3; - 2} \right),\) \(B\left( {0; - 1;3} \right),C\left( {m;n;8} \right)\) (với \(m,\,n\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m,\,n\) để ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng.

Trong không gian \[Oxyz\], cho \(\overrightarrow a = \,\left( { - 2;\,3;\,1} \right)\), \(\,\overrightarrow b = \left( {2;\, - 3;\,\,5} \right)\). Tìm tọa độ của \(\overrightarrow x = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b \).

Trong không gian\(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( {2;3;1} \right)\). Gọi \(G\)là trọng tâm tam giác \(ABC\), tọa độ điểm \(G\) là

Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 4z + 5 = 0\)?

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3;\,2;\,1} \right),\,B\left( { - 1;\,4;\,1} \right),\,C\left( {3;\, - 2;\,5} \right)\). Tọa độ nào sau đây là tọa độ vectơ pháp tuyến của của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)?

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độ?

Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách từ \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) đến \(\left( P \right):x + 2y + 2z - 10 = 0\) là

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm \(D\left( {3;0;0} \right)\), \(E\left( {0; - 2;0} \right),\) \(G\left( {0;0; - 7} \right)\) có phương trình chính tắc là:

Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 5}}{8} = \frac{{y - 9}}{6} = \frac{{z - 12}}{3}\).