50 bài tập Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có lời giải

Ta có: $\int \frac{\cos 2x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}\text{d}x=\int \frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}\text{d}x=\int \left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)\text{d}x=-\cot x-\tan x+C$

Chọn D.

Xét \(x \in \left[ {0;2} \right]\), ta có \({2^x} \ge {2^0} \Leftrightarrow {2^x} \ge 1\) nên \(\left| {{2^x} - 1} \right| = {2^x} - 1\).

Diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{2^x} - 1} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left| {1 - {2^x}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left( {{2^x} - 1} \right){\rm{d}}x} \). Chọn C.

Ta có $V=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}{\left(x+1\right)}^2\text{d}x$ . Chọn B.

Vận tốc của ô tô là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{dt}}} \)\( = \int {\left( { - \frac{8}{5}t} \right){\rm{dt}}} \)\( = - \frac{4}{5}{t^2} + C\).

Ta có \(72\,{\rm{km/h}} = 20\,{\rm{m/s}}\). Vì \(v\left( 0 \right) = 20\) nên \(C = 20\)\( \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{4}{5}{t^2} + 20\).

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng \(0\) nên \( - \frac{4}{5}{t^2} + 20 = 0 \Rightarrow t = 5\).

Quãng đường cần tìm là \(s = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{4}{5}{t^2} + 20} \right)} \,{\rm{dt}}\)\( = \left. {\left( { - \frac{4}{{15}}{t^3} + 20t} \right)} \right|_0^5\)\( = \frac{{200}}{3}\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\). Chọn C.

Ta có \(f\left( x \right) = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\); \(\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = f\left( x \right) + C = - \sin x + C} \).

Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) nên \(F\left( x \right) = \cos x + C\), mà \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 1\).

Do đó, \(F\left( x \right) = \cos x + 1\). Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} + 1 = 1\).

Ta có \(\int {\left[ { - 2\cos x \cdot f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = \int {\left[ { - 2\cos x \cdot \left( { - \sin x} \right)} \right]} \,{\rm{d}}x = \int {\sin 2x} {\rm{d}}x = - \frac{1}{2}\cos 2x + C} \).

Đáp án:       a) Sai,                    b) Đúng,     c) Đúng,      d) Sai.

Ta có: \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \left( { - 4} \right) + \left( { - 3} \right) = - 7\).

\[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \]\( = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \left( { - 4} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\).

\(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ { - 3f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \left( { - 3} \right) \cdot \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 12\).

\[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 2\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 3\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} \]\( = 2 \cdot \left( { - 4} \right) + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = - 17\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Đúng,      d) Sai.

Quãng đường vật đi được sau 2 giây là: \(s\left( t \right) = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^2 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)} \,{\rm{d}}t = \frac{2}{3}\;\left( {\rm{m}} \right)\).

Gia tốc \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 2t - 2\), do gia tốc bị triệt tiêu \( \Leftrightarrow a\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\;\)(giây).

Quãng đường vật đi được sau \(1\) giây là: \(s\left( t \right) = \int\limits_0^1 {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^1 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)} \,{\rm{d}}t = \frac{1}{3}\;\left( {\rm{m}} \right)\).

Vận tốc đạt \(9\;{\rm{m/s}}\) \( \Leftrightarrow v\left( t \right) = 9 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow t = 4\) (nhận).

Quãng đường vật đi được trong khoảng từ \(2\)giây đến \(4\) giây là:

\(s\left( t \right) = \int\limits_2^4 {v\left( t \right){\rm{d}}t = } \int\limits_2^4 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right){\rm{d}}t = \frac{{26}}{3}} \;\;\left( {\rm{m}} \right)\).

Gia tốc \(a\left( t \right) = 10 \Leftrightarrow 2t - 2 = 10 \Leftrightarrow t = 6\;\)(giây).

Quãng đường vật đi được từ \(0\) giây đến \(6\) giây là: \(s\left( t \right) = \int\limits_0^6 {v\left( t \right)\,} {\rm{d}}t = \int\limits_0^6 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right){\rm{d}}t = 42\;\left( {\rm{m}} \right)} \).