50 bài tập Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có lời giải

Tìm nguyên hàm \(\int {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} \).

Cho \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \cos x + C} \).

a) \(f\left( x \right) = \sin x\).

b) \[\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = - \sin x + C} \].

c) \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\). Nếu \(F\left( 0 \right) = 2\) thì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).

d) \(\int {\left[ { - 2\cos x \cdot f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\cos 2x + C} \).

Cho \(\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 4\) và \(\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - 3\).

a) \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = - 7\).

b) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1\].

c) \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ { - 3f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 12\).

d) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = - 51\].

Một vật chuyển động đều với vận tốc có phương trình \(v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 1\), trong đó \(t\) được tính bằng giây, quãng đường \(s\left( t \right)\) được tính bằng mét.

a) Quãng đường đi được của vật sau \(2\) giây là: \(\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}\;{\rm{m}}\).

b) Quãng đường vật đi được khi gia tốc bị triệt tiêu là \(\frac{1}{3}\;{\rm{m}}\).

c) Quãng đường vật đi được trong khoảng từ \(2\)giây đến thời gian mà vận tốc đạt \(9\;{\rm{m/s}}\) là: \(\frac{{26}}{3}\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

d) Quãng đường vật đi được từ \(0\) giây đến thời gian mà gia tốc bằng \(10\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\) là \(44\;{\rm{m}}\).

Cho đồ thị hàm số \(y = {{\rm{e}}^x}\) và hình được tô màu như hình bên.

a) Hình phẳng được tô màu giới hạn bởi \[3\] đường.

b) Diện tích hình phẳng được tính bởi công thức \[S = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \].

c) Diện tích hình phẳng \(S = e - \frac{1}{e}\).

d) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục \(Ox\) là \[V = \frac{1}{2}\pi \left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)\].

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sin x - \cos x + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}\] và \[F\left( 0 \right) = 1\]. Tính giá trị \[F\left( \pi \right)\].

Cho các hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Giả sử \(\int\limits_2^7 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1\) và \(\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 4} \). Khi đó, \(\int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 3\int\limits_7^2 {g\left( x \right)\,} {\rm{d}}x\) bằng bao nhiêu?

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = 3x + {x^2}\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 0;x = 3\] quanh trục \[Ox\] bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {F_1}\left( x \right)\), \(\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = {F_2}\left( x \right)\). Tính \[I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \].

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x + {e^x}\). Tìm một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 2024\).

Cho \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\2x - 1\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 1\end{array} \right.\). Tính \(J = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = 8{x^3} + \sin x,\forall x \in \mathbb{R}\).

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\).

b) Biết \(f\left( 0 \right) = 3\). Khi đó, \(f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 3\).

c) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 3} \right){\rm{d}}x = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 3x} } + C\), với \(C\) là hằng số.

d) Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó, \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1\).

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số \[Q'\left( t \right) = 4{t^3} - 72{t^2} + 288t\], trong đó \(t\) tính bằng giờ \[\left( {0 \le t \le 13} \right)\], \[Q'\left( t \right)\] tính bằng khách/giờ. Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.

a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số \[Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2}\].

b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1 325 người.

c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1 296 người.

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x\).

a) \(F''\left( x \right) = \sin 2x\).

b) \[F\left( x \right) = {\cos ^2}x + C\].

c) \(F\left( 0 \right) = 0\) thì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4}\).

 d) Nếu \(F\left( 0 \right) = 1\) thì \(\int {F\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{\cos 2x}}{8} + C} \).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\). \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) thỏa mãn \(F\left( 3 \right) = 2\) và \(F\left( 0 \right) = 1\).

a) Hiệu số \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\) gọi là tích phân từ \(3\) đến \(0\) của hàm số \(f\left( x \right)\).

b) \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_3^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\).

c) \(\int\limits_0^3 {f\left( t \right){\rm{dt}}} = 1\).

d) Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 3\) có diện tích bằng 1.

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng từ trái sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian \(t\left( {\rm{s}} \right)\) là \(a\left( t \right) = 2t - 7{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\). Biết vận tốc ban đầu bằng \({\rm{6 }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t\left( {\rm{s}} \right)\) xác định bởi \(v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 10\).

b) Tại thời điểm \(t = 7\) (s), vận tốc của chất điểm là \(6\) (m/s).

c) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 7\) là \(18\) m.

d) Trong \(8\) giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải tại thời điểm \(t = 7\) (s).

Hai người \(A\), \(B\) đang chạy xe ngược chiều nhau thì xảy ra va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển theo chiều của mình thêm một quãng đường nữa thì dừng hẳn. Biết rằng sau khi va chạm, một người di chuyển tiếp với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 6 - 3t\) \[\left( {{\rm{m/s}}} \right)\], người còn lại di chuyển với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = 12 - 4t\) \[\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].

a) Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số\({s_1}\left( t \right) = 6t - \frac{{3{t^2}}}{2} + \,\,C\,\,(\;{\rm{m}})\).

b) Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số\({s_2}\left( t \right) = 12t - 2{t^2} + \,\,C'\,\,(\;{\rm{m}})\).

c) Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là \(18\,\,(\;{\rm{m}})\).

d) Khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn là \(12\,\,(\;{\rm{m}})\).

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 3\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\).

a) Công thức tính diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là: \({S_{\left( H \right)}} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right){\rm{d}}x} \).

b) Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) bằng \(\frac{{26}}{3}\).

c) Công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) xung quanh trục \[Ox\] là: \[V = \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}{\rm{d}}x} \].

d) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) xung quanh trục \[Ox\] bằng \[\frac{{202}}{5}\].

Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi \[x\] là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và \[y\] là phần trăm tổng thu nhập, mô hình \[y = x\] sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz \[y = f\left( x \right)\], biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với \[0 \le x \le 100\], biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm \[2005\], đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số

\[y = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2},0 \le x \le 100\],

trong đó \[x\] được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8^th edition, Cengage Learning, 2009).

a) Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập thực tế của \[60\% \] các gia đình đầu tiên chiếm chưa đến \[30\% \] so với tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.

b) Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo nhất đến giàu nhất, rồi chia thành \[10\] nhóm bằng nhau từ \[1\] đến \[10\], tổng thu nhập của các gia đình trong nhóm \[3\] chiếm khoảng \[8,56\% \] tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.

c) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì năm \[2005\] được xác định bởi công thức:

\[\int\limits_0^{100} {\left[ {x - {{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} \].

d) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm \[2005\] đã vượt quá \[2000\].