45 bài tập Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian có lời giải

Do \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên ta có \(AD = B'C'\) và \(AD\,{\rm{//}}\,B'C'\).

Ta thấy \(\overrightarrow {AD} \) và \[\overrightarrow {B'C'} \] cùng hướng. Vậy \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {B'C'} \). Chọn A.

Ta có \[\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 6\]. Chọn B.

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là \(\left( {3\;;\;4\;;\; - 1} \right)\). Chọn C.

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 1\;;\;1\;;\;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm nên chỉ có phương án D thỏa mãn. Chọn D.

\(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 1\\z = 3t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_4} = \left( { - 1;0;3} \right)\). Chọn D.

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(ABCD\) là hình vuông.

Suy ra \(OA = OB = OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }}{2} = a.\)

Dựa vào hình vẽ, ta có \(C\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;a;0} \right),A\left( { - a;0;0} \right),S\left( {0;0;2a} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow {AS} = \left( {a;0;2a} \right),\overrightarrow {BS} = \left( {0; - a;2a} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;0;2} \right)\) và \(\vec v = \left( {0; - 1;2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 2; - 1} \right).\)

Suy ra mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có phương trình là \(2x - 2y - z + 2a = 0.\)

Vậy \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot a - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2a} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{4a}}{3}.\) Chọn D.

Do mặt cầu có đường kính bằng 10 nên bán kính bằng 5.

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( { - 6; - 9;15} \right)\), đường kính bằng 10 có phương trình là:

\({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 25\). Chọn B.

Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow x  + \overrightarrow y  + \overrightarrow z \).

Theo quy tắc 3 điểm ta có \(\overrightarrow {A'B}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow x  - \overrightarrow z \).

Vì hình lập phương có cạnh bằng \(a\) nên \(A'B = A'C' = C'B = a\sqrt 2 \), do đó tam giác \(A'BC'\) đều, nên \[\widehat {BA'C'} = 60^\circ  \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BA'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \].

Dễ thấy \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AM \Rightarrow \)tam giác \(AA'M\) vuông tại \(A\).

 Có \(\left| {\overrightarrow {A'M} } \right| = A'M = \sqrt {A{{A'}^2} + A{M^2}}  = \sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2} + B{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{3a}}{2}\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                    d) Đúng.