DẠNG 7. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES

\(P(B\mid A) = \frac{{P(A\mid B)P(B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,5 \cdot 0,6}}{{0,3}} = 1.\) Chọn D.

\(\frac{{{\rm{P}}({\rm{B}})}}{{{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})}} = \frac{{{\rm{P}}({\rm{A}})}}{{{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})}} = 1.\) Chọn A.

Gọi A₁ là biến cố bạn Sơn chọn hộp thứ nhất; A₂ là biến cố bạn Sơn chọn hộp thứ hai. Gọi B là biến cố viên bi được chọn có màu xanh.

Ta có \({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) = {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = 0,5;{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right) = \frac{5}{7};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right) = \frac{4}{{10}}.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \left( {\frac{5}{7} + \frac{4}{{10}}} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{{39}}{{70}}{\rm{.}}\)Chọn D

Gọi A₁ là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi xanh; A₂ là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ. Gọi B là biến cố hai viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai có cùng màu.

Ta có:

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) = \frac{2}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{1}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right) = \frac{{{\rm{C}}{4^2} + {\rm{C}}{6^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{7}{{15}};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right) = \frac{{{\rm{C}}{3^2} + {\rm{C}}{7^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{8}{{15}}\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{7}{{15}} \cdot \frac{2}{3} + \frac{8}{{15}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{{22}}{{45}}{\rm{.}}\)Chọn D

Gọi A là biến cố viên bi lấy ra là bi đỏ. Gọi B là biến cố bạn Sơn chọn hộp thứ hai.

Ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}(\overline {\rm{B}} ) = 0,5;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,6;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid \overline {\rm{B}} ) = \frac{2}{7}.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}){\rm{P}}({\rm{B}}) + {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \overline {\rm{B}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{B}} ) = 0,6 \cdot 0,5 + \frac{2}{7} \cdot 0,5 = \frac{{31}}{{70}}\)

Biết rằng viên bi có màu đỏ, xác suất bạn Sơn chọn hộp thứ hai là \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}){\rm{P}}({\rm{B}})}}{{{\rm{P}}({\rm{A}})}} = \frac{{0,6 \cdot 0,5}}{{\frac{{31}}{{70}}}} = \frac{{21}}{{31}}.\)

Chọn D.

Gọi A₁ là biến cố viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất là bi xanh; A₂ là biến cố viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ. Gọi B là biến cố hai viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai đều là màu đỏ.

Ta có \({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) = \frac{2}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{1}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right) = \frac{{{\rm{C}}{6^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{1}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right) = \frac{{{\rm{C}}{7^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{7}{{15}}.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{{15}} = \frac{{17}}{{45}}\)

Biết rằng hai viên bi lấy từ hộp thứ hai đều có màu đỏ, xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh là \({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1\mid {\rm{B}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right)}}{{{\rm{P}}({\rm{B}})}} = \frac{{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}}{{\frac{{17}}{{45}}}} = \frac{{10}}{{17}}.\)

Chọn D.

Gọi A là biến cố 2 thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất cùng màu đỏ; \(\overline {\rm{A}} \) là biến cố trong 2 thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất có 1 thẻ xanh và 1 thẻ đỏ. Gọi B là biến cố 2 thẻ lấy ra lần hai cùng màu đỏ.

Ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{{{\rm{C}}{5^2}}}{{{\rm{C}}{6^2}}} = \frac{2}{3};{\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = \frac{1}{3};{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = \frac{{{\rm{C}}{7^2}}}{{{\rm{C}}{{11}^2}}} = \frac{{21}}{{55}};{\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ) = \frac{{{\rm{C}}{6^2}}}{{{\rm{C}}_{11}^2}} = \frac{3}{{11}}.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}}) + {\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = \frac{{21}}{{55}} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{{11}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{{19}}{{55}}.\)

Biết rằng 2 thẻ lấy ra lần hai đều có màu đỏ, xác suất để 2 thẻ lấy ra lần một cùng màu là

\({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}})}}{{{\rm{P}}({\rm{B}})}} = \frac{{\frac{{21}}{{55}} \cdot \frac{2}{3}}}{{\frac{{19}}{{55}}}} = \frac{{14}}{{19}}.\) Chọn D.

Gọi A là biến cố nhân viên được chọn là nữ; \(\overline {\rm{A}} \) là biến cố nhân viên được chọn là nam. Gọi B là biến cố nhân viên hài lòng với mức lương hiện tại.

Ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,45;{\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = 0,55;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,4;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ) = 0,6.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}}) + {\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = 0,4 \cdot 0,45 + 0,6 \cdot 0,55 = 0,51\)

Biết rằng nhân viên đó hài lòng với mức lương hiện tại, xác suất nhân viên đó là nữ là

\({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}})}}{{{\rm{P}}({\rm{B}})}} = \frac{{0,4 \cdot 0,45}}{{0,51}} = \frac{6}{{17}}.\) Chọn D.

Gọi A là biến cố câu hỏi Quỳnh phải trả lời thuộc lĩnh vực tự nhiên; \(\overline {\rm{A}} \) là biến cố câu hỏi Quỳnh phải trả lời thuộc lĩnh vực xã hội. Gọi B là biến cố Quỳnh trả lời đúng.

Ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,4;{\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = 0,6;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,6;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ) = 0,8.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}}) + {\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = 0,6 \cdot 0,4 + 0,8 \cdot 0,6 = 0,72.\) Chọn D.