44 bài tập Đạo hàm và khảo sát hàm số có lời giải

Ta có: \[y' = {\left( {2x} \right)^\prime } \cdot cos2x = 2\cos 2x\]. Chọn B.

Ta có: \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3} \)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\).

Vậy \(S = f\left( 1 \right) + 4f'\left( 1 \right)\)\( = \sqrt {{1^2} + 3} + 4 \cdot \frac{1}{{\sqrt {{1^2} + 3} }}\)\( = 4\). Chọn B.

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\). Chọn D.

Ta có \(f'\left( x \right) = 2 - {e^x}\). Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \ln 2\).

\(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( {\ln 2} \right) = 2\ln 2;\,f\left( 2 \right) = 6 - {e^2}\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\ln 2} \right) = 2\ln 2\). Chọn D.

Ta có \(y = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} = x - 2 + \frac{4}{{x + 1}}\).

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận xiên là \(y = x - 2\). Chọn A.

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \,\, \Rightarrow a < 0\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;d} \right)\,\, \Rightarrow \,d < 0\). Chọn B.      

Từ bảng biến thiên, ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(x = 1\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {1;3} \right)\), không đồng biến trên \(\left( { - 1;3} \right)\).

\( - 1\) và \(3\) là hai điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), không phải giá trị cực trị.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên nửa đoạn \(\left( {1;2} \right]\) bằng \(f\left( 2 \right)\) và \(f\left( 2 \right) < - 2\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                    d) Sai.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\). Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\).

Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = - \infty \).

Vậy \(x = - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x - 3}}{{{x^2} + 2x}} = 1\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 3}}{{x + 2}} = - 1\).

Vậy \(y = x - 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} + 2x - \left( {x + 2} \right) - 1}}{{x + 2}} = x - 1 - \frac{1}{{x + 2}}\).

Để \(x \in \mathbb{Z}\) và \(y \in \mathbb{Z}\) thì suy ra \(\frac{1}{{x + 2}} \in \mathbb{Z}\) suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\x + 2 = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\).

Với \(x = - 1 \Rightarrow y = - 3\).

Với \(x = - 3 \Rightarrow y = - 3\).

Vậy có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị \(\left( C \right)\), số phần tử của \(S\) là \(2\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.