Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 2. Cấp số cộng và cấp số nhân (Đề số 2)

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Có 3 số \[4 - 2x;\,\;{x^2};\;4 + 2x\] \[\left( {x > 0} \right)\] theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

a) \[4 - 2x = \frac{{{x^2} + 4x + 2}}{2}\].

b) Giá trị của \[x\] bằng \[2\].

c) Công sai của cấp số cộng là \[2\].

d) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là \[{u_n} = 4n - 4\].

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = 18\) và \(4{S_n} = {S_{2n}}\) (trong đó \({S_n},{S_{2n}}\) theo thứ tự là tổng của \(n\) và \(2n\) số hạng đầu của cấp số cộng).

a) Số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(2\).

b) Công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(3\).

c) Số hạng \({u_{15}} = 58\).

d) Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng bằng \(350\).

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_2} =  - 6}\\{{u_2} + {u_3} = 12}\end{array}} \right.\).

a) Số hạng \({u_3} = 18\).

b) Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân, thì ba số \(q\,;\,{u_1}\,;\,7\) tạo thành một cấp số cộng.

c) Số \(13\,122\) là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.

d) Biết tổng \(S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{50}}\) bằng \(\frac{{a - {3^{50}}}}{2}\). Giá trị \(a\) là \(59\,049\).

Một cấp số nhân có 7 số hạng và có công bội \(q\) nguyên. Biết rằng ba số hạng đầu của cấp số nhân lần lượt là \(x - 6;\,\,2 - x;\,\,18\) (với \(x \in \mathbb{R}\)).

a) Ta có \(q = \frac{{18}}{{2 - x}}\).

b) \({\left( {2 - x} \right)^2} = 18\left( {x - 6} \right)\).

c) Có hai cấp số nhân thỏa mãn điều kiện đầu bài.

d) Tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân bằng \(1\,094\).

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một công ty muốn thưởng cho nhân viên xuất sắc trong \(6\) tháng bằng một khoản tiền thưởng tăng dần theo tháng. Tháng đầu tiên, mỗi nhân viên được thưởng \(1\) triệu đồng, mỗi tháng sau đó, số tiền thưởng tăng thêm đều đặn thêm \(500\) nghìn đồng so với tháng trước. Tính tổng số tiền thưởng mà mỗi nhân viên nhân được nhận sau \(6\) tháng (tính theo đơn vị triệu đồng)?  

Bác An mua một chiếc xe ô tô theo hình thức trả góp (lãi suất 0%) như sau: Tháng thứ nhất (sau khi mua xe một tháng) bác An trả 5 (triệu đồng); các tháng tiếp theo, mỗi tháng bác An trả nhiều hơn tháng trước đó 1 (triệu đồng). Biết rằng bác An trả hết nợ sau 2 năm. Hỏi giá chiếc xe bác An đã mua là bao nhiêu (tính theo đơn vị triệu đồng)?

Cho số thực \(a\) khác \(0\), xét dãy số gồm các số sau:

\({u_1} = \frac{a}{2} + \frac{2}{a}\,\,;\,\,{u_2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^2}\,\,;\,\,{u_3} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^3}\).

Tìm \(a\) sao cho \({u_1}\,;\,{u_2}\,;\,{u_3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu là \(\frac{1}{2}\), số hạng thứ tư là \(32\) và số hạng cuối là \(2048\) bằng \(\frac{P}{2}\). Giá trị của \(P\) bằng bao nhiêu?

Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 2\] và \[{u_1} - 12{u_2} - 6{u_3}\] đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng 2025 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.

Biết giá trị của tổng \[S = 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot {5^2} + ... + 2020 \cdot {5^{2019}}\] có dạng \[a + b \cdot {5^{2020}}\] với \[a,\,\,b \in \mathbb{Q}\]. Tính \[a + b\].