12 câu Trắc nghiệm Nhị thức Niu tơn có đáp án (Phần 2)

Trong khai triển ${\left(a+2\right)}^{n+6},\left(n\in \mathbb{N}\right)$ có tất cả n+6 +1 = n +7 số hạng.

Do đó $n+7=17\iff n=10$.

Chọn đáp án C

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$\begin{array}{l}{\left(2x-x^2\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(2x\right)}^{10-k}.{\left(-x^2\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(2\right)}^{10-k}.{(-1)}^k.x^{10-k+2k}\\ =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(2\right)}^{10-k}.{(-1)}^k.x^{10+k}.\end{array}$

Hệ số của $x^{12}$ ứng với $10+k=12\iff k=2$ 

Hệ số cần tìm $C_{10}^2{2}^8.$

Chọn đáp án B

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

${\left(x+\frac{1}{2x}\right)}^9=\sum _{k=0}^9{C}_9^k.x^{9-k}.{\left(\frac{1}{2x}\right)}^k=\sum _{k=0}^9{C}_9^k.{\left(\frac{1}{2}\right)}^k.x^{9-2k}.$

Hệ số của $x^3$ ứng với $9-2k=3\iff k=3$ 

Vậy số hạng cần tìm $\frac{1}{8}{C}_9^3{x}^3.$ 

Chọn đáp án B.

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$$\begin{gathered} {\left(x^3+xy\right)}^{21}=\sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k.{\left(x^3\right)}^{21-k}.{\left(xy\right)}^k \\ =\sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k.x^{63-3k}.x^k.y^k=\sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k.x^{63-2k}.y^k. \end{gathered}$$

Suy ra khai triển ${\left(x^3+xy\right)}^{21}$ có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với k= 10) và số hạng thứ 12 (ứng với k =11).

Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là $C_{21}^{10}{x}^{43}{y}^{10}; C_{21}^{11}{x}^{41}{y}^{11}$.

Chọn đáp án D.

* Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$$\begin{gathered} x{\left(1-2x\right)}^5=x.\sum _{k=0}^5{C}_5^k.1^{5- k}{\left(-2x\right)}^k \\ =\sum _{k=0}^5{C}_5^k.{\left(-2\right)}^k.x^{k+\hspace{0.17em}1}. \end{gathered}$$

Suy ra, số hạng chứa $x^5$ tương ứng với $k+ 1=5\iff k=4$.

* Tương tự, ta có $x^2{\left(1+3x\right)}^{10}=x^2.\sum _{l=0}^{10}{C}_{10}^l.1^{10- l}.{\left(3x\right)}^l=\sum _{l=0}^{10}{C}_{10}^l{.3}^l.x^{l+\hspace{0.17em}2}$.

Suy ra, số hạng chứa $x^5$ tương ứng với $l+\hspace{0.17em}2=5\iff l=3$.

Vậy hệ số của $x^5$ cần tìm P(x)  là $C_5^4.{\left(-2\right)}^4+C_{10}^3{.3}^3=3320$.

Chọn đáp án C.

Ta có $2^{2n+1}={\left(1+1\right)}^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}$.         (1)

Lại có $C_{2n+1}^0=C_{2n+1}^{2n+1}; C_{2n+1}^1=C_{2n+1}^{2n}; C_{2n+1}^2=C_{2n+1}^{2n-1};...; C_{2n+1}^n=C_{2n+1}^{n+1}$.  (2)

Từ (1) và (2), suy ra $C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=\frac{2^{2n+1}}{2}$    

$\iff C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=\frac{2^{2n+1}}{2}-C_{2n+1}^0$

$$\begin{gathered} \iff C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=2^{2n}-1 \\ \iff 2^{20}-1=2^{2n}-1\iff n=10 \end{gathered}$$.

Vậy n =10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C.