Ta có: $Δ y = f (3 + Δ x) - f (3) = \frac{2 (3 + Δ x) - 1}{3 + Δ x + 1} - \frac{5}{4} = \frac{5 + 2 Δ x}{4 + Δ x} - \frac{5}{4} = \frac{3 Δ x}{4 (4 + Δ x)};$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{3 Δ x}{Δ x .4 (4 + Δ x)} = \frac{3}{4 (4 + Δ x)} .$

Do đó $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{3 Δ x}{Δ x .4 (4 + Δ x)} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{3}{4 (4 + Δ x)} = \frac{3}{16} .$

Vậy $f^{'} (3) = \frac{3}{16} .$

Câu 3/32

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{2 x - 1}$ tại $x_{0} = 1.$

Lời giải

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số tại $x_{0} = 1.$

Ta có: $Δ y = f (1 + Δ x) - f (1) = \sqrt{2 (1 + Δ x) - 1} - 1 = \frac{2 Δ x}{\sqrt{2 Δ x + 1} + 1};$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 Δ x}{Δ x (\sqrt{2 Δ x + 1} + 1)} = \frac{2}{\sqrt{2 Δ x + 1} + 1};$

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{2}{\sqrt{2 Δ x + 1} + 1} = 1$ .

Vậy $f^{'} (1) = 1.$

Câu 4/32

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ tại $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Lời giải

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Ta có: $Δ y = f (\frac{π}{3} + Δ x) - f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{3} + Δ x) - \sin \frac{π}{3} = 2 \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) \sin \frac{Δ x}{2};$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} .$

Do đó $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} .$

Vì $\lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} = 1$ nên $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $f^{'} (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} .$

Câu 5/32

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \{\begin{cases} {(x - 1)}^{2}, x \geq 0 \\ - x^{2}, x < 0 \end{cases}$ không có đạo hàm tại nhưng có đạo

hàm tại $x = 2$ .

Lời giải

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} {(x - 1)}^{2} = 1; \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (- x^{2}) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 0^{-}} f (x) .$

Suy ra hàm số gián đoạn tại nên không có đạo hàm tại đó.

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{{(1 + Δ x)}^{2} - 1^{2}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 + Δ x) = 2.$

Vậy hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại $x = 2$ và $f^{'} (2) = 2.$

Câu 6/32

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1}$ liên tục tại $x = - 1$ nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Lời giải

Vì $f (x)$ là hàm số sơ cấp xác định tại $x = - 1$ nên nó liên tục tại đó.

Ta có: $f^{'} [{(- 1)}^{+}] = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x + 1} = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{2 x}{x - 1} = 1;$

$f^{'} [{(- 1)}^{-}] = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x + 1} = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} 2 = 2.$

Do đó $f^{'} [{(- 1)}^{+}] \neq f^{'} [{(- 1)}^{-}]$ nên $f (x)$ không có đạo hàm tại $x = - 1$ .

Câu 7/32

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ như hình vẽ.

Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} .$

a, Hàm số có liên tục không?

b, Hàm số có đạo hàm không?

Lời giải

a, Hàm số gián đoạn tại các điểm $x_{1}, x_{3}$ vì đồ thị bị đứt tại các điểm đó. Hàm số liên tục tại $x_{2}, x_{4}$ vì đồ thị là đường liền nét khi đi qua các điểm đó.

b, Tại các điểm $x_{1}, x_{3}$ hàm số không có đạo hàm do hàm số gián đoạn tại các điểm $x_{1}, x_{3} .$

Hàm số không có đạo hàm tại $x_{2}$ vì đồ thị bị gãy (không có tiếp tuyến tại đó).

Hàm số có đạo hàm tại $x_{4}$ và vì tại $f^{'} (x_{4}) = 0$ đồ thị hàm số có tiếp tuyến và tiếp tuyến song song với trục hoành (hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0).

Câu 8/32

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = x^{2}$ trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

Lời giải

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số .

Ta có: $Δ y = f (x + Δ x) - f (x) = {(x + Δ x)}^{2} - x^{2}$

$= 2 Δ x . x + {(Δ x)}^{2} .$

Tỉ số $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 Δ x . x + {(Δ x)}^{2}}{Δ x} = 2 x + Δ x .$

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 x + Δ x) = 2 x .$

Vậy $f^{'} (x) = 2 x .$

Câu 9/32

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$ trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(- 1; + \infty)$ ?

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/32

Tính đạo hàm của hàm số y= cosx trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 11/32

Tìm để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} khi x \neq 1 \\ 2 m khi x = 1 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 1$ .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 12/32

Tìm a, b để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 3 x khi x \geq 2 \\ a x + b khi x < 2 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 2$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 13/32

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \{\begin{cases} c o s x, x \geq 0 \\ - \sin x, x < 0 \end{cases}$ không có đạo hàm tại $x = 0$ .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 14/32

Tìm để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} khi x > 1 \\ a x + b khi x \leq 1 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 1$ .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 15/32

Số gia của hàm số $f (x) = x^{3}$ tại điểm $x_{0} = 1$ ứng với $Δ x = 1$ là

A. 0.

B. 1.

C. 7.

D. 9.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 16/32

Biểu thức $Δ y$ và $\frac{Δ y}{Δ x}$ của hàm số $y = x^{2} - 1$ tính theo $x$ và $Δ x$ là

Δ y = 0, \frac{Δ y}{Δ x} = 0.

Δ y = {(Δ x)}^{2} + 2 x . Δ x, \frac{Δ y}{Δ x} = Δ x + 2 x .

Δ y = 2 x . Δ x + {(Δ x)}^{2} - 2, \frac{Δ y}{Δ x} = 2 x + Δ x .

Δ y = {(Δ x)}^{2}, \frac{Δ y}{Δ x} = Δ x .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 17/32

Đạo hàm của hàm số $y = 2 x + 1$ tại điểm $x_{0} = - 1$ là

A. -1.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 18/32

Đạo hàm của hàm số $y = x^{2} - x$ tại điểm $x_{0}$ là

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [{(Δ x)}^{2} - Δ x] .

B. $f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [{(Δ x)}^{2} - Δ x - {x_{0}}^{2} + x_{0}] .$

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [2 x_{0} Δ x + {(Δ x)}^{2} - Δ x] .

D. .

f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} [Δ x + 2 x_{0} - 1]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 19/32

Đạo hàm của hàm số $y = x^{2} + x$ tại điểm $x_{0} = 1$ là

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 20/32

Cho hàm số $y = \frac{1}{x} .$ Giá trị của $y^{'} (2)$ bằng

- \frac{1}{4} .

- \frac{1}{x^{2}} .

\frac{1}{2} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 24/32 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Toán

Toán

Toán

Toán

Ôn vào 6

32 câu Dạng 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm

🔥 Học sinh cũng đã học

Bài tập Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Vận dụng các quy tắc tính đạo hàm để giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Sử dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số và đạo hàm của hàm số hợp lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Các bài toán thực tiễn vận dụng công thức nhân xác suất lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố bất kì bằng cách sử dụng công thức cộng xác suất và phương pháp tổ hợp lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Biến cố độc lập lớp 11 (có lời giải)

Danh sách câu hỏi:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=2x2+3 tại x0=2 .

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=2x−1x+1 tại x0=3 .

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=2x−1tại x0=1.

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=sinx tại x0=π3.

Chứng minh rằng hàm số fx=x−12,x≥0−x2,x<0 không có đạo hàm tại nhưng có đạo hàm tại x=2 .

Chứng minh rằng hàm số fx=2x2+x+1x−1 liên tục tại x=−1 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Cho đồ thị hàm số y=fx xác định trên khoảng a;b như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm x1,x2,x3,x4. a, Hàm số có liên tục không? b, Hàm số có đạo hàm không?

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=x2 trên khoảng −∞;+∞ ?

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=xx−1 trên các khoảng −∞;1 và −1;+∞ ?

Tính đạo hàm của hàm số y= cosx trên khoảng −∞;+∞?

Tìm để hàm số fx=x2−1x−1 khi x≠12m khi x=1 có đạo hàm tại x=1 .

Tìm a, b để hàm số fx=x2−3x khi x≥2ax+b khi x<2 có đạo hàm tại x=2

Chứng minh rằng hàm số fx=cosx, x≥0 −sinx, x<0 không có đạo hàm tại x=0 .

Tìm để hàm số fx=x33 khi x>1ax+b khi x≤1 có đạo hàm tại x=1 .

Số gia của hàm số fx=x3 tại điểm x0=1 ứng với Δx=1 là

Biểu thức Δy và ΔyΔx của hàm số y=x2−1 tính theo x và Δx là

Đạo hàm của hàm số y=2x+1 tại điểm x0=−1 là

Đạo hàm của hàm số y=x2−x tại điểm x0 là

Đạo hàm của hàm số y=x2+x tại điểm x0=1 là

Cho hàm số y=1x. Giá trị của y'2 bằng

Xem tiếp với tài khoản VIP

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = 2 x^{2} + 3$ tại $x_{0} = 2$ .

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ tại $x_{0} = 3$ .

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{2 x - 1}$ tại $x_{0} = 1.$

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ tại $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \{\begin{cases} {(x - 1)}^{2}, x \geq 0 \\ - x^{2}, x < 0 \end{cases}$ không có đạo hàm tại nhưng có đạo

hàm tại $x = 2$ .

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1}$ liên tục tại $x = - 1$ nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ như hình vẽ.

Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} .$

a, Hàm số có liên tục không?

b, Hàm số có đạo hàm không?

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = x^{2}$ trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$ trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(- 1; + \infty)$ ?

Tính đạo hàm của hàm số y= cosx trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

Tìm để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} khi x \neq 1 \\ 2 m khi x = 1 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 1$ .

Tìm a, b để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 3 x khi x \geq 2 \\ a x + b khi x < 2 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 2$

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \{\begin{cases} c o s x, x \geq 0 \\ - \sin x, x < 0 \end{cases}$ không có đạo hàm tại $x = 0$ .

Tìm để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} khi x > 1 \\ a x + b khi x \leq 1 \end{cases}$ có đạo hàm tại $x = 1$ .

Số gia của hàm số $f (x) = x^{3}$ tại điểm $x_{0} = 1$ ứng với $Δ x = 1$ là

Biểu thức $Δ y$ và $\frac{Δ y}{Δ x}$ của hàm số $y = x^{2} - 1$ tính theo $x$ và $Δ x$ là

Đạo hàm của hàm số $y = 2 x + 1$ tại điểm $x_{0} = - 1$ là

Đạo hàm của hàm số $y = x^{2} - x$ tại điểm $x_{0}$ là

Đạo hàm của hàm số $y = x^{2} + x$ tại điểm $x_{0} = 1$ là

Cho hàm số $y = \frac{1}{x} .$ Giá trị của $y^{'} (2)$ bằng