Ta có: $Δ y = f (3 + Δ x) - f (3) = \frac{2 (3 + Δ x) - 1}{3 + Δ x + 1} - \frac{5}{4} = \frac{5 + 2 Δ x}{4 + Δ x} - \frac{5}{4} = \frac{3 Δ x}{4 (4 + Δ x)};$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{3 Δ x}{Δ x .4 (4 + Δ x)} = \frac{3}{4 (4 + Δ x)} .$

Do đó $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{3 Δ x}{Δ x .4 (4 + Δ x)} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{3}{4 (4 + Δ x)} = \frac{3}{16} .$

Vậy $f^{'} (3) = \frac{3}{16} .$

Câu 3

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{2 x - 1}$ tại $x_{0} = 1.$

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số tại $x_{0} = 1.$

Ta có: $Δ y = f (1 + Δ x) - f (1) = \sqrt{2 (1 + Δ x) - 1} - 1 = \frac{2 Δ x}{\sqrt{2 Δ x + 1} + 1};$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 Δ x}{Δ x (\sqrt{2 Δ x + 1} + 1)} = \frac{2}{\sqrt{2 Δ x + 1} + 1};$

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{2}{\sqrt{2 Δ x + 1} + 1} = 1$ .

Vậy $f^{'} (1) = 1.$

Câu 4

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ tại $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Ta có: $Δ y = f (\frac{π}{3} + Δ x) - f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{3} + Δ x) - \sin \frac{π}{3} = 2 \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) \sin \frac{Δ x}{2};$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} .$

Do đó $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} .$

Vì $\lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} = 1$ nên $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $f^{'} (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} .$

Câu 5

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \{\begin{cases} {(x - 1)}^{2}, x \geq 0 \\ - x^{2}, x < 0 \end{cases}$ không có đạo hàm tại nhưng có đạo

hàm tại $x = 2$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} {(x - 1)}^{2} = 1; \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (- x^{2}) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 0^{-}} f (x) .$

Suy ra hàm số gián đoạn tại nên không có đạo hàm tại đó.

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{{(1 + Δ x)}^{2} - 1^{2}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 + Δ x) = 2.$

Vậy hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại $x = 2$ và $f^{'} (2) = 2.$

Câu 6

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \frac{2 x^{2} + |x + 1|}{x - 1}$ liên tục tại $x = - 1$ nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử