141 câu Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác có đáp án (Mới nhất)

Câu 1

Phương trình $2 sin x - 1 = 0$ có tập nghiệm là

A.

S = \{\frac{π}{6} + k 2 π; \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ\}

^{B. $S = \{\frac{π}{3} + k 2 π; - \frac{2 π}{3} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .}

C.

S = \{\frac{π}{6} + k 2 π; - \frac{π}{6} + k 2 π, k \in ℤ\}

.

D. $S = \{\frac{1}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

Lời giải

Ta có:

2 sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow sin x = sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} k \in ℤ

Chọn A

Câu 2

Phương trình $cot x + \sqrt{3} = 0$ có các nghiệm là

A. $x = \frac{π}{3} + k .2 π (k \in ℤ)$ .

B.

x = \frac{π}{6} + k . π (k \in ℤ)

.

C.

x = - \frac{π}{6} + k .2 π (k \in ℤ)

.

D.

x = - \frac{π}{6} + k . π (k \in ℤ)

.

Lời giải

Ta có: $cot x + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow cot x = - \sqrt{3} \Leftrightarrow cot x = cot (- \frac{π}{6}) \Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + k . π (k \in ℤ)$ .

Chọn D

Câu 3

Phương trình $sin x = cos x$ có số nghiệm thuộc đoạn $[- π; π]$ là

A. $3$ .

B. $5$

C. $2$

D. $4$

Lời giải

Ta có $sin x = cos x \Leftrightarrow tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π$ , ( $k \in ℤ$ ).

Theo đề $x \in [- π; π] \Leftrightarrow - π \leq \frac{π}{4} + k π \leq π \Leftrightarrow - \frac{5}{4} \leq k \leq \frac{3}{4}$ .

Mà $k \in ℤ \Rightarrow k \in \{- 1; 0\}$ .

Vậy có nghiệm thỏa yêu cầu bài toán

Chọn C

Câu 4

Số nghiệm trên đoạn $[0; 2 π]$ của phương trình $sin 2 x - 2 cos x = 0$ là

A.4

B.3

C.2

D.1

Lời giải

Ta có: $sin 2 x - 2 cos x = 0 \Leftrightarrow 2 sin x cos x - 2 cos x = 0 \Leftrightarrow 2 cos x (sin x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} cos x = 0 \\ sin x = 1 \end{array} \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$ .

Nghiệm trên đoạn $[0; 2 π]$ ứng với $0 \leq \frac{π}{2} + k π \leq 2 π \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}$ .

Vì $k \in ℤ$ nên chọn $k = 0$ , k=1 .

Vậy trên đoạn $[0; 2 π]$ phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Chọn C

Câu 5

Nghiệm của phương trình lượng giác: $2 {sin}^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$ thỏa điều kiện $0 \leq x < \frac{π}{2}$ là

A. $x = \frac{π}{6}$ .

B. $x = \frac{π}{2}$ .

C.

x = \frac{π}{3}

D. $x = \frac{5 π}{6}$

Lời giải

$2 {sin}^{2} x - 3 sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} sin x = 1 \\ sin x = \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}; k \in ℤ .$

Vì $0 \leq x < \frac{π}{2}$ nên chỉ có nghiệm $x = \frac{π}{6}$ .

Chọn A

Câu 6

Tập nghiệm S của phương trình ${cos}^{2} x - 3 cos x = 0$ là

A. $S = \{- \frac{π}{2}\}$ .

B. $S = \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$

C. $S = \{\frac{π}{2}\}$

D. $S = \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$

Lời giải

Chọn D

${cos}^{2} x - 3 cos x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} cos x = 0 \\ cos x = 3 (L) \end{array} \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$

Câu 7

Tập nghiệm của phương trình ${sin}^{2} x - 5 sin x + 4 = 0$ là

A. $S = \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ .

B. $S = \{k 2 π, k \in ℤ\}$

C. $S = \{k π, k \in ℤ\}$

D. $S = \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$

Lời giải

Ta có: ${sin}^{2} x - 5 sin x + 4 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} sin x = 1 \\ sin x = 4 (L) \end{array}$ .

$sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Chọn A

Câu 8

Tổng các nghiệm thuộc khoảng $(0; π)$ của phương trình $2 {cos}^{2} 5 x + 3 cos 5 x - 5 = 0$ là

A. $\frac{π}{5}$ .

B. $\frac{6 π}{5}$ .

C. $\frac{3 π}{5}$ .

D.

\frac{9 π}{5}

Lời giải

$2 {cos}^{2} 5 x + 3 cos 5 x - 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} cos 5 x = 1 \\ cos 5 x = - \frac{5}{2} (L) \end{array} \Leftrightarrow 5 x = k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{k 2 π}{5}; k \in ℤ$

Vì x thuộc khoảng $(0; π)$ nên có 2 nghiệm thỏa mãn là $x = \frac{2 π}{5}$ ; $x = \frac{4 π}{5}$

Vậy tổng các nghiệm bằng $\frac{6 π}{5}$ .

Chọn B

Câu 9

Nghiệm của phương trình $cos x + sin x = 1$ là

A. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = k π \end{array}$ .

B.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = k 2 π \end{array}

C.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = k 2 π \end{array}

D. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = k π \end{array}$

Lời giải

Ta có: $cos x + sin x = 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} cos (x - \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = k 2 π \end{array}, k \in ℤ$

Chọn C

Câu 10

Nghiệm của phương trình $sin x + \sqrt{3} cos x = \sqrt{2}$ là

A. $x = - \frac{π}{4} + k 2 π; x = \frac{3 π}{4} + k 2 π$ .

B. $x = - \frac{π}{12} + k 2 π; x = \frac{5 π}{12} + k 2 π$ .

C.

x = \frac{π}{3} + k 2 π; x = \frac{2 π}{3} + k 2 π

D. $x = - \frac{π}{4} + k 2 π; x = - \frac{5 π}{4} + k 2 π$

Lời giải

Ta có

sin x + \sqrt{3} cos x = \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow cos \frac{π}{3} sin x + sin \frac{π}{3} cos x = sin \frac{π}{4}

\Leftrightarrow sin (x + \frac{π}{3}) = sin \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{12} + k 2 π \\ x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{12} + k 2 π \end{array}

,

(k \in ℤ)

Chọn B

Câu 11

Tìm số nghiệm $x \in [- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2})$ của phương trình $\sqrt{3} sin x = cos (\frac{3 π}{2} - 2 x)$ ?

A.4

B.3

C.1

D.2

Lời giải

Ta có:

A. $\begin{array}{l} \sqrt{3} sin x = cos (\frac{3 π}{2} - 2 x) \Leftrightarrow \sqrt{3} sin x + sin 2 x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} sin x + 2 sin x cos x = 0 \\ \Leftrightarrow sin x (\sqrt{3} + 2 cos x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} sin x = 0 \\ cos x = cos (\frac{5 π}{6}) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x = - \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ . \end{array}$

+ Ta có:

B. $x = k π \in [- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}) \Leftrightarrow - \frac{3 π}{2} \leq k π < - \frac{π}{2} \Leftrightarrow - \frac{3}{2} \leq k < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = - 1 (d o k \in ℤ) .$

C. $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \in [- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}) \Leftrightarrow - \frac{3 π}{2} \leq \frac{5 π}{6} + k 2 π < - \frac{π}{2} \Leftrightarrow - \frac{14}{12} \leq k < - \frac{8}{12} \Leftrightarrow k = - 1 (d o k \in ℤ) .$

D. $x = - \frac{5 π}{6} + k 2 π \in [- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}) \Leftrightarrow - \frac{3 π}{2} \leq - \frac{5 π}{6} + k 2 π < - \frac{π}{2} \Leftrightarrow - \frac{4}{12} \leq k < \frac{2}{12} \Leftrightarrow k = 0 (d o k \in ℤ) .$

Vậy phương trình $\sqrt{3} sin x = cos (\frac{3 π}{2} - 2 x)$ có 3 nghiệm $x \in [- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2})$ .

Chọn B

Câu 12

Điều kiện để phương trình: $3 sinx + mcosx = 5$ vô nghiệm là

A. $[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$ .

B. $m > 4$ .

C.

m < - 4

D. $- 4 < m < 4$ .

Lời giải

Phương trình $3 sin x + m cos x = 5$ vô nghiệm khi và chỉ khi $3^{2} + m^{2} < 5^{2} \Leftrightarrow m^{2} < 16 \Leftrightarrow - 4 < m < 4.$

Chọn D

Câu 13

Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình $(m + 1) sinx - 3 cos x = m + 2$ có nghiệm là

A. $(3; + \infty)$ .

B. $(- \infty; 3)$ .

C. $[3; + \infty)$ .

D. $(- \infty; 3]$

Lời giải

Phương trình có nghiệm khi ${(m + 1)}^{2} + 3^{2} \geq {(m + 2)}^{2} \Leftrightarrow - 2 m \geq - 6 \Leftrightarrow m \leq 3$ .

Chọn D

Câu 14

Điều kiện của m để phương trình $m sin x - 3 cos x = 5$ có nghiệm là.

A. $m \geq \sqrt{34}$ .

B. $- 4 \leq m \leq 4$ .

C. $[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$

D. $m \geq 4$

Lời giải

Điều kiện có nghiệm của phương trình là: $m sin x - 3 cos x = 5$ là $m^{2} + 9 \geq 25 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$

Chọn C

Câu 15

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $2 s i n^{2} x + m s i n 2 x = 2 m$ vô nghiệm?

A. $[\begin{array}{l} m \leq 0 \\ m \geq \frac{4}{3} \end{array}$ .

B. $0 \leq m \leq \frac{4}{3}$ .

C. $0 < m < \frac{4}{3}$ .

D. $[\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array}$

Lời giải

Ta có: $2 s i n^{2} x + m s i n 2 x = 2 m \Leftrightarrow m s i n 2 x - c o s 2 x = 2 m - 1$

Điều kiện phương trình (1) vô nghiệm là: $m^{2} + 1 〈{(2 m - 1)}^{2} \Leftrightarrow 3 m^{2} - 4 m〉 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array}$ .

Vậy với $[\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array}$ thì phương trình trên vô nghiệm.

Chọn D

Câu 16

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[0; 10]$ để phương trình $(m + 1) sin x - cos x = 1 - m$ có nghiệm.

A.21.

B. 18.

C. 20.

D.11

Lời giải

Phương trình $(m + 1) sin x - cos x = 1 - m$ có nghiệm $\Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} + {(- 1)}^{2} \geq {(1 - m)}^{2} \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{4}$

Vì m nhận giá trị nguyên thuộc đoạn $[0; 10]$ nên có 11 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D

Câu 17

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:

A. $\sqrt{3} \sin x = 2$ .

B. $\frac{1}{4} \cos 4 x = \frac{1}{2}$

C. $2 \sin x + 3 \cos x = 1$

D. $\cot^{2} x - \cot x + 5 = 0$

Lời giải

Chọn C

Phương trình $2 \sin x + 3 \cos x = 1$ có $2^{2} + 3^{2} \geq 1^{2}$ . Vậy phương trình $2 \sin x + 3 \cos x = 1$ có nghiệm.

Câu 18

Tìm nghiệm của phương trình $2 \sin x - 3 = 0$ .

A. $x \in \emptyset$ .

B.

[\begin{array}{l} x = \arcsin (\frac{3}{2}) + k 2 π \\ x = π - \arcsin (\frac{3}{2}) + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)

C.

[\begin{array}{l} x = \arcsin (\frac{3}{2}) + k 2 π \\ x = - \arcsin (\frac{3}{2}) + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)

D. $x \in ℝ$

Lời giải

Chọn A

Ta có: $2 \sin x - 3 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{3}{2} > 1$ nên phương trình vô nghiệm.

Câu 19

Nghiệm của phương trình $\sin^{2} x - 4 \sin x + 3 = 0$ là

A.

x = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .

B.

x = π + k 2 π, k \in ℤ .

C. $x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

D. $x = k 2 π, k \in ℤ$

Lời giải

Chọn C

$\sin^{2} x - 4 \sin x + 3 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 1 \\ \sin x = 3 \end{array}$ .

Với $\sin x = 1$ $\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Với $\sin x = 3$ phương trình vô nghiệm.

Câu 20

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. $\tan x = 3$ .

B. $\sin x + 3 = 0$

C.

3 \sin x - 2 = 0

D. $2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0$ .

Lời giải

Chọn B

Ta có: $- 1 \leq \sin x \leq 1$ nên phương trình $\sin x + 3 = 0 \Leftrightarrow \sin x = - 3$ vô nghiệm.

Câu 21

Giải phương trình $3 \sin^{2} x - 2 \cos x + 2 = 0$ .

A.

x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ .

B. $x = k π, k \in ℤ$ .

C.

x = k 2 π, k \in ℤ .

D. $x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Lời giải

Chọn C

Ta có $3 \sin^{2} x - 2 \cos x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow 3 \cos^{2} x + 2 \cos x - 5 = 0$ $\Rightarrow \cos x = 1$ $\Leftrightarrow x = k 2 π, k \in ℤ$ .

Câu 22

Nghiệm của phương trình lượng giác $\sin^{2} x - 2 \sin x = 0$ có nghiệm là:

A.

x = k 2 π

B. $x = k π$ .

C. $x = \frac{π}{2} + k π$ .

D. $x = \frac{π}{2} + k 2 π$

Lời giải

Chọn B

Ta có $\sin^{2} x - 2 \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x (\sin x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \sin x = 2 \end{array} .$

Vì $- 1 \leq \sin x \leq 1$ nên chỉ có $\sin x = 0$ thỏa mãn. Vậy ta có $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π,$ $(k \in ℤ) .$

Câu 23

Nghiệm của phương trình $2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0$ thỏa điều kiện: $0 \leq x < \frac{π}{2}$ .

A. $x = \frac{π}{6}$ .

B. $x = \frac{π}{4}$ .

C. $x = \frac{π}{2}$ .

D. $x = - \frac{π}{2}$ .

Lời giải

Chọn A

$2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 1 \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Vì $0 \leq x < \frac{π}{2}$ nên nghiệm của phương trình là $x = \frac{π}{6}$ .

Câu 24

Nghiệm dương bé nhất của phương trình: $2 \sin^{2} x + 5 \sin x - 3 = 0$ là:

A.

x = \frac{π}{6}

B.

x = \frac{π}{2}

C.

x = \frac{3 π}{2}

D. $x = \frac{5 π}{6}$

Lời giải

Chọn A

$2 \sin^{2} x + 5 \sin x - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = - 3 \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{array}$ $\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}$ .

Câu 25

Phương trình $\cos 2 x + 4 \sin x + 5 = 0$ có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $(0; 10 π)$ ?

A.5

B.4

C.2

D.3

Lời giải

Chọn A

PT đã cho $\Leftrightarrow - 2 \sin^{2} x + 4 \sin x + 6 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = - 1 \\ \sin x = 3 (V N) \end{array}$ $\Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Theo đề: $x \in (0; 10 π)$ $\Rightarrow 0 < - \frac{π}{2} + k 2 π < 10 π$ $\Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{21}{4}$ .

Vì $k \in ℤ$ nên $k \in \{1; 2; 3; 4; 5\}$ . Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng $(0; 10 π)$ .

Câu 26

Phương trình lượng giác $\cos^{2} x + 2 \cos x - 3 = 0$ có nghiệm là:

A.

x = k 2 π .

B. $x = 0$ .

C. $x = \frac{π}{2} + k 2 π$ .

D. Vô nghiệm.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\cos^{2} x + 2 \cos x - 3 = 0.$ Đặt $\cos x = t$ với điều kiện $- 1 \leq t \leq 1,$ ta được phương trình bậc hai theo t là $t^{2} + 2 t - 3 = 0.$

Phương trình $(*)$ có hai nghiệm $t_{1} = 1$ và $t_{2} = - 3$ nhưng chỉ có $t_{1}$ thỏa mãn điều kiện. Vậy ta có $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π,$ $(k \in ℤ) .$

Câu 27

Cho phương trình: $\cos 2 x + \sin x - 1 = 0$ $()$ . Bằng cách đặt $t = \sin x$ $(- 1 \leq t \leq 1)$ thì phương trình $()$ trở thành phương trình nào sau đây?

A.

- 2 t^{2} + t = 0 .

B.

t^{2} + t - 2 = 0 .

C.

- 2 t^{2} + t - 2 = 0 .

D. $- t^{2} + t = 0$

Lời giải

Chọn A

$\cos 2 x + \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow 1 - 2 \sin^{2} x + \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow - 2 \sin^{2} x + \sin x = 0 \Rightarrow - 2 t^{2} + t = 0$ .

Câu 28

Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn $[0; 10 π]$ của phương trình $\sin^{2} 2 x + 3 \sin 2 x + 2 = 0$ .

A.

\frac{105 π}{2} .

B.

S . A B C D .

C. $\frac{297 π}{4}$ .

D. $\frac{299 π}{4}$

Lời giải

Chọn A

Ta có: $\sin^{2} 2 x + 3 \sin 2 x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin 2 x = - 1 \\ \sin 2 x = - 2 (l o a ï i) \end{array}$ $\Leftrightarrow \sin 2 x = - 1$ $\Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π$ , $k \in ℤ$ .

Theo đề bài: $0 \leq - \frac{π}{4} + k π \leq 10 π$ $\Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{41}{4}$ $\Rightarrow k = 1, 2, ..., 10$

Vậy tổng các nghiệm là: $S = \frac{3 π}{4} + (\frac{3 π}{4} + π) + ... + (\frac{3 π}{4} + 9 π)$ $= \frac{105 π}{2}$ .

Câu 29

Số nghiệm của phương trình $2 \sin^{2} 2 x + \cos 2 x + 1 = 0$ trong $[0; 2018 π]$ là

A.1009

B.1008

C.2018

D.2017

Lời giải

Chọn C

Ta có $2 \sin^{2} 2 x + \cos 2 x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow 2 (1 - \cos^{2} 2 x) + \cos 2 x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow 2 \cos^{2} 2 x - \cos 2 x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \cos 2 x = - 1 \\ \cos 2 x = \frac{3}{2} (k o t / m) \end{matrix}$ $\Rightarrow \cos 2 x = - 1$ $\Leftrightarrow 2 x = π + k 2 π (k \in Z)$ $\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π$

Để $x \in [0; 2018 π]$ $\Rightarrow 0 \leq \frac{π}{2} + k π \leq 2018 π, k \in Z$ $\Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq k \leq 2018 - \frac{1}{2}, k \in Z$ .

$\Rightarrow k \in [0; 2017], k \in Z$

Khi đó phương trình có 2018 nghiệm.

Vậy chọn đáp án C

Câu 30

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác $\cos^{2} x - \cos x = 0$ thỏa mãn điều kiện $0 < x < π$ .

A. $x = \frac{π}{2} .$

B.x=0

C. $x = π .$

D. $x = \frac{π}{4} .$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\cos^{2} x - \cos x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \cos x = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = k 2 π \end{array}$ .

Với $x = \frac{π}{2} + k π$ , do $0 < x < π$ nên ta được $x = \frac{π}{2}$ .

Với $x = k 2 π$ , do $0 < x < π$ nên không có x nào thỏa mãn.

Câu 31

Nghiệm của phương trình $3 \cos^{2} x = - 8 \cos x - 5$ là

A. $x = k π$ .

B. $x = π + k 2 π$ .

C. $x = k 2 π$ .

D. $x = \pm \frac{π}{2} + k 2 π$

Lời giải

Chọn B

$3 \cos^{2} x = - 8 \cos x - 5$ $\Leftrightarrow 3 \cos^{2} x + 8 \cos x + 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = - 1 \\ \cos x = - \frac{5}{3} < - 1 \end{array} \Leftrightarrow x = π + k 2 π (k \in ℤ)$ .

Câu 32

Giải phương trình $2 s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n 2 x = 3$

A.

x = - \frac{π}{3} + k π

B.

x = \frac{π}{3} + k π

C.

x = \frac{2 π}{3} + k π

D. $x = \frac{5 π}{3} + k π$

Lời giải

Chọn B

Ta có $2 s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n 2 x = 3$ $\Leftrightarrow 1 - c o s 2 x + \sqrt{3} s i n 2 x = 3$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} s i n 2 x - c o s 2 x = 2$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} s i n 2 x - \frac{1}{2} c o s 2 x = 1$

$\Leftrightarrow s i n (2 x - \frac{π}{6}) = 1$ $\Leftrightarrow 2 x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + k π$ .

Câu 33

Giải phương trình $\sin^{2} x + \sin^{2} x \tan^{2} x = 3$ .

A. $x = \pm \frac{π}{6} + k π$ .

B.

x = \pm \frac{π}{6} + k 2 π

C. $x = \pm \frac{π}{3} + k π$ .

D. $x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π$

Lời giải

Chọn C

ĐK: $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π$ .

$\sin^{2} x + \sin^{2} x \tan^{2} x = 3 \Leftrightarrow \frac{\sin^{4} x + \sin^{2} x \cos^{2} x}{\cos^{2} x} = 3 \Leftrightarrow \sin^{2} x (\sin^{2} x + \cos^{2} x) = 3 \cos^{2} x$

$\Leftrightarrow \tan^{2} x = 3 \Leftrightarrow \tan x = \pm \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{3} + k π$ (tm).

Câu 34

Giải phương trình $4 (\sin^{4} x + \cos^{4} x) = 5 \cos 2 x .$

A. $x = \pm \frac{π}{6} + k π$ .

B.

x = \pm \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}

C.

x = \pm \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}

D. $x = \pm \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}$

Lời giải

Chọn A

$4 (\sin^{4} x + \cos^{4} x) = 5 \cos 2 x \Leftrightarrow 4 (1 - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x) = 5 \cos 2 x$ $\Leftrightarrow 4 - 2 \sin^{2} 2 x = 5 \cos 2 x \Leftrightarrow 4 - 2 (1 - \cos^{2} 2 x) = 5 \cos 2 x \Leftrightarrow 2 \cos^{2} 2 x - 5 \cos 2 x + 2 = 0$

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos 2 x = \frac{1}{2} \\ \cos 2 x = 2 (l) \end{array} \Leftrightarrow \cos 2 x = \cos \frac{π}{3} \Leftrightarrow 2 x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k π

.

Câu 35

Giải phương trình $\cos \frac{4 x}{3} = \cos^{2} x$ .

A.

[\begin{array}{l} x = k 3 π \\ x = \pm \frac{π}{4} + k 3 π \\ x = \pm \frac{5 π}{4} + k 3 π \end{array} .

B. $[\begin{array}{l} x = k π \\ x = \pm \frac{π}{4} + k π \\ x = \pm \frac{5 π}{4} + k π \end{array}$ .

C.

[\begin{array}{l} x = k 3 π \\ x = \pm \frac{π}{4} + k 3 π \end{array}

D.

[\begin{array}{l} x = k 3 π \\ x = \pm \frac{5 π}{4} + k 3 π \end{array}

Lời giải

Chọn A

$\cos \frac{4 x}{3} = \cos^{2} x \Leftrightarrow \cos \frac{4 x}{3} = \frac{1 + \cos 2 x}{2} \Leftrightarrow 2 \cos 2. \frac{2 x}{3} = 1 + \cos 3. \frac{2 x}{3}$

$\Leftrightarrow 2 [2 \cos^{2} \frac{2 x}{3} - 1] = 1 + 4 \cos^{3} \frac{2 x}{3} - 3 \cos \frac{2 x}{3} \Leftrightarrow 4 \cos^{3} \frac{2 x}{3} - 4 \cos^{2} \frac{2 x}{3} - 3 \cos \frac{2 x}{3} + 3 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos \frac{2 x}{3} = 1 \\ \cos \frac{2 x}{3} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} [\begin{array}{l} \frac{2 x}{3} = k 2 π \\ \frac{2 x}{3} = \pm \frac{π}{6} + k 2 π \\ \frac{2 x}{3} = \pm \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} x = k 3 π \\ x = \pm \frac{π}{4} + k 3 π \\ x = \pm \frac{5 π}{4} + k 3 π \end{array}$ .

Câu 36

Nghiệm của phương trình: $\sin x + \cos x = 1$ là

A.

x = k 2 π

B.

[\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}

C.

x = \frac{π}{4} + k 2 π

D.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} .

Lời giải

Chọn B

$\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 1$

$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}$ .

Câu 37

Phương trình $2 \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin 2 x = 3$ có nghiệm là

A. $x = \frac{π}{3} + k π$ .

B.

x = \frac{2 π}{3} + k π .

C.

x = \frac{4 π}{3} + k π

D.

x = \frac{5 π}{3} + k π

Lời giải

Chọn A

Phương trình tương đương $\sqrt{3} \sin 2 x - \cos 2 x = 2$

$\Leftrightarrow \sin (2 x - \frac{π}{6}) = 1 \Leftrightarrow 2 x - \frac{π}{6} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + k π$

Câu 38

Điều kiện có nghiệm của pt $a . \sin 5 x + b . \cos 5 x = c$ là

A.

a^{2} + b^{2} \geq c^{2}

B. $a^{2} + b^{2} \leq c^{2}$ .

C. $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ .

D. $a^{2} + b^{2} < c^{2}$

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức điều kiện để phương trình bậc nhất với sin và cos có nghiệm

Câu 39

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:

A. $\sqrt{3} \sin x = 2$ .

B. $\frac{1}{4} \cos 4 x = \frac{1}{2}$

C.

2 \sin x + 3 \cos x = 1

D.

\cot^{2} x - \cot x + 5 = 0

Lời giải

Chọn C

Phương trình $2 \sin x + 3 \cos x = 1$ có $2^{2} + 3^{2} \geq 1^{2}$ . Vậy phương trình $2 \sin x + 3 \cos x = 1$ có nghiệm.

Câu 40

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $5 \sin x - 12 \cos x = m$ có nghiệm?

A.13

B. Vô số.

C. 26.

D.27 .

Lời giải

Chọn D

Phương trình $5 \sin x - 12 \cos x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $5^{2} + {(- 12)}^{2} \geq m^{2}$ $\Leftrightarrow$ $m^{2} \leq 169$ .

Suy ra có 27 số nguyên m để phương trình $5 \sin x - 12 \cos x = m$ có nghiệm.

Câu 41

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = s inx + \sin (x + \frac{π}{3})$ bằng a và b. Khi đó $S = a + b + a b$ có giá trị bằng

A.

\sqrt{3}

B.3

C.-3

D. $- \sqrt{3}$

Lời giải

Chọn C

Ta có $y = s inx + \frac{1}{2} s inx + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{3}{2} s inx + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s x$ .

Gọi $y_{0}$ là một giá trị của hàm số khi đó phương trình $y_{0} = \frac{3}{2} s inx + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s x$ có nghiệm khi và chỉ khi ${y_{0}}^{2} \leq \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} \Leftrightarrow - \sqrt{3} \leq y_{0} \leq \sqrt{3}$ .

Suy ra $S = a + b + a b = - 3$ Vậy $S = a + b + a b = - 3$

Câu 42

Cho phương trình $2 m \sin x \cos x + 4 \cos^{2} x = m + 5$ , với m là một phần tử của tập hợp $E = \{- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2\}$ . Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A.3 .

B.2.

C.6.

D.4.

Lời giải

Chọn A

Ta có $2 m \sin x \cos x + 4 \cos^{2} x = m + 5$ $\Leftrightarrow m \sin 2 x + 4 \frac{1 + \cos 2 x}{2} = m + 5$

$\Leftrightarrow m \sin 2 x + 2 \cos 2 x = m + 3$ .

Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi $m^{2} + 4 \geq {(m + 3)}^{2} \Leftrightarrow m \leq \frac{- 5}{9}$ .

Vậy có ba giá trị của $m \in E$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 43

Số nghiệm thuộc $[- \frac{3 π}{2}; - π]$ của phương trình $\sqrt{3} \sin x = \cos (\frac{3 π}{2} - 2 x)$ là:

A.3.

B.1.

C.2.

D.0.

Lời giải

Chọn C

Ta có $\sqrt{3} \sin x = \cos (\frac{3 π}{2} - 2 x)$ $\Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x = \sin (2 x - π)$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x = - \sin 2 x \Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x = - 2 \sin x \cos x$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{5 π}{6} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \pm \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}$ $(k \in ℤ) .$

Bài ra $x \in [- \frac{3 π}{2}; - π]$ nên $k π \in [- \frac{3 π}{2}; - π] \Rightarrow k = - 1 \Rightarrow x = - π$ .

$\frac{5 π}{6} + k 2 π \in [- \frac{3 π}{2}; - π] \Rightarrow k = - 1 \Rightarrow x = - \frac{7 π}{6}$ .

$- \frac{5 π}{6} + k 2 π \in [- \frac{3 π}{2}; - π] \Rightarrow k \in \emptyset \Rightarrow x \in \emptyset$ .

Do đó số nghiệm thuộc $[- \frac{3 π}{2}; - π]$ của phương trình đã cho là 2.

Câu 44

Nghiệm của phương trình $\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$ là:

A.

x = - \frac{π}{12} + k 2 π; x = \frac{5 π}{12} + k 2 π .

B.

x = - \frac{π}{4} + k 2 π; x = \frac{3 π}{4} + k 2 π .

C.

x = \frac{π}{3} + k 2 π; x = \frac{2 π}{3} + k 2 π .

D.

x = - \frac{π}{4} + k 2 π; x = - \frac{5 π}{4} + k 2 π .

Lời giải

Chọn A

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{π}{3} . \sin x + \sin \frac{π}{3} . \cos x = \sin \frac{π}{4}$

$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{12} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{12} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ .

Câu 45

Tìm giá trị nguyên lớn nhất của a để phương trình $a \sin^{2} x + 2 \sin 2 x + 3 a \cos^{2} x = 2$ có nghiệm

A.

a = 3

B.

a = 2

C.

a = 1

D.

a = - 1

Lời giải

Chọn B

$a \sin^{2} x + 2 \sin 2 x + 3 a \cos^{2} x = 2$ $\Leftrightarrow a \frac{1 - \cos 2 x}{2} + 2 \sin 2 x + 3 a \frac{1 + \cos 2 x}{2} = 2$

$\Leftrightarrow a - a \cos 2 x + 4 \sin 2 x + 3 a + 3 a \cos 2 x = 4$ $\Leftrightarrow 4 \sin 2 x + 2 a \cos 2 x = 4 - 4 a$ $(*)$

$(*)$ có nghiệm khi $4^{2} + 4 a^{2} \geq {(4 - 4 a)}^{2}$ $\Leftrightarrow 12 a^{2} - 32 a \leq 0$ $\Leftrightarrow 12 a^{2} - 32 a \leq 0$ $\Leftrightarrow 0 \leq a \leq \frac{8}{3}$ .

Do $a \in ℤ$ và là số lớn nhất nên $a = 2$ .

Câu 46

Nghiệm của phương trình $\cos x + \sin x = 1$ là

A. $x = k 2 π; x = \frac{π}{2} + k 2 π$ .

B.

x = k π; x = - \frac{π}{2} + k 2 π .

C. $x = \frac{π}{6} + k π; x = k 2 π$ .

D.

x = \frac{π}{4} + k π; x = k π

Lời giải

Chọn A

$\cos x + \sin x = 1$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ .

Câu 47

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $m \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{5}$ có nghiệm.

A. $[\begin{array}{l} m \geq 2 \\ m \leq - 2 \end{array}$ .

B. $[\begin{array}{l} m > 2 \\ m < - 2 \end{array}$ .

C.

- 2 \leq m \leq 2

D. $- 2 < m < 2$ .

Lời giải

Chọn A

Điều kiện có nghiệm của phương trình là: $m^{2} + 1^{2} \geq {\sqrt{5}}^{2} \Leftrightarrow m^{2} \geq 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq 2 \\ m \leq - 2 \end{array}$ .

Câu 48

Phương trình $(\sqrt{3} - 1) \sin x - (\sqrt{3} + 1) \cos x + \sqrt{3} - 1 = 0$ có các nghiệm là:.

A.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \end{array}

B.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = \frac{π}{3} + k 2 π \end{array}

C. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{9} + k 2 π \end{array}$ .

D. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{8} + k 2 π \\ x = \frac{π}{12} + k 2 π \end{array}$

Lời giải

Chọn B

Phương trình tương đương $(\sqrt{3} \sin x - \cos x) - (\sin x - \sqrt{3} \cos x) + \sqrt{3} - 1 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 \sin (x - \frac{π}{6}) - 2 \sin (x + \frac{π}{3}) = 1 - \sqrt{3} \Leftrightarrow 4 \cos (x + \frac{π}{12}) . \sin (- \frac{π}{3}) = 1 - \sqrt{3} \\ \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{12}) = \cos (\frac{5 π}{12}) \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} \end{array}$

Câu 49

Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình $m \cos x - (m + 2) \sin x + 2 m + 1 = 0$ có nghiệm.

A.0.

B.3.

C.Vô số.

D.1.

Lời giải

Chọn D

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

$m^{2} + {(m + 2)}^{2} \geq {(2 m + 1)}^{2}$ $\Leftrightarrow 2 m^{2} - 3 \leq 0$ $\Leftrightarrow - \frac{\sqrt{3}}{2} \leq m \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy có 1 giá trị nguyên.

Câu 50

Nghiệm của phương trình $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$ là

A. $x = - \frac{π}{6} + k π x$ .

B. $x = - \frac{π}{3} + k π$ .

C.

x = \frac{π}{3} + k π .

D. $x = \frac{π}{6} + k π$

Lời giải

Chọn A

$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} . \sin x + \frac{1}{2} . \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{6}) = 0$ $\Leftrightarrow x + \frac{π}{6} = k π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + k π (k \in Z)$ .

Câu 51

Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng $(0; π)$ của phương trình: $\sqrt{2} \cos 3 x = \sin x + \cos x$

A. $\frac{π}{2}$ .

B. $3 π$ .

C. $\frac{3 π}{2}$ .

D.

π

Lời giải

Chọn C

Ta có: $\sqrt{2} \cos 3 x = \sin x + \cos x$ $\Leftrightarrow \cos 3 x = \cos (x - \frac{π}{4})$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{8} + k π \\ x = \frac{π}{16} + k \frac{π}{2} \end{array} (k \in ℤ)$ .

Vì $x \in (0; π)$ nên nhận $x = \frac{7 π}{8}$ , $x = \frac{π}{16}$ , $x = \frac{9 π}{16}$ .

Câu 52

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 10; 10]$ để phương trình $\sin (x - \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos (x - \frac{π}{3}) = 2 m$ vô nghiệm.

A.21.

B.20.

C.18.

D.9.

Lời giải

Chọn C

Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow 1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2} < {(2 m)}^{2} \Leftrightarrow 4 m^{2} - 4 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 1 \end{array}$ .

$\to_{m \in [- 10; 10]}^{m \in ℤ} m \in \{- 10; - 9; - 8; ...; - 2; 2; ...; 8; 9; 10\} \overset{}{\to}$ có 18 giá trị.

Câu 53

Cho phương trình $m \sin x + 4 \cos x = 2 m - 5$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm?

A.4.

B.7.

C.6 .

D.5.

Lời giải

Chọn C

Điều kiện để phương trình $m \sin x + 4 \cos x = 2 m - 5$ $m^{2} + 16 \geq {(2 m - 5)}^{2} \Leftrightarrow 3 m^{2} - 20 m + 9 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{10 - \sqrt{73}}{3} \leq m \leq \frac{10 + \sqrt{73}}{3}$ có nghiệm là .

Vậy $m \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Câu 54

Phương trình: $3 \sin 3 x + \sqrt{3} \sin 9 x = 1 + 4 \sin^{3} 3 x$ có các nghiệm là:

A. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k \frac{2 π}{9} \\ x = \frac{7 π}{6} + k \frac{2 π}{9} \end{array}$ .

B. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{9} + k \frac{2 π}{9} \\ x = \frac{7 π}{9} + k \frac{2 π}{9} \end{array}$ .

C. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{12} + k \frac{2 π}{9} \\ x = \frac{7 π}{12} + k \frac{2 π}{9} \end{array}$ .

D.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{54} + k \frac{2 π}{9} \\ x = \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{9} \end{array} .

Lời giải

Chọn D

Ta có $3 \sin 3 x + \sqrt{3} \cos 9 x = 1 + 4 \sin^{3} 3 x \Leftrightarrow (3 \sin 3 x - 4 \sin^{3} 3 x) + \sqrt{3} \cos 9 x = 1$

$\Leftrightarrow \sin 9 x + \sqrt{3} \cos 9 x = 1 \Leftrightarrow \sin (9 x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 9 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + k 2 π \\ 9 x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{54} + \frac{k 2 π}{9} \\ x = \frac{π}{18} + \frac{k 2 π}{9} \end{array}$ .

Câu 55

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $\sin \frac{x}{2} + (m - 1) . \cos \frac{x}{2} = \sqrt{5}$ vô nghiệm?

A. $m > 3$ hoặc

m < - 1

.

B. $- 1 \leq m \leq 3$ .

C. $m \geq 3$ hoặc

m \leq - 1

.

D. $- 1 < m < 3$ .

Lời giải

Chọn D

Phương trình $\sin \frac{x}{2} + (m - 1) . \cos \frac{x}{2} = \sqrt{5}$ vô nghiệm khi

$a^{2} + b^{2} < c^{2}$ $\Leftrightarrow 1 + {(m - 1)}^{2} < 5 \Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 3$ .

Câu 56

Hàm số $y = \frac{2 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x - \cos 2 x + 3}$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A.1.

B.2.

C.3.

D.4.

Lời giải

Chọn B

Ta có $y = \frac{2 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x - \cos 2 x + 3} \Leftrightarrow (y - 2) \sin 2 x - (y + 1) \cos 2 x = - 3 y .$ .

Điều kiện để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {(y - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} \geq {(- 3 y)}^{2} \Leftrightarrow 7 y^{2} + 2 y - 5 \leq 0$ .

\Leftrightarrow - 1 \leq y \leq \frac{5}{7} \overset{y \in ℤ}{\to} y \in \{- 1; 0\}

nên có 2 giá trị nguyên

Câu 57

Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình $4 \sin x + (m - 4) \cos x - 2 m + 5 = 0$ có nghiệm là:

A.5.

B.6.

C.10.

D.3.

Lời giải

Chọn A

$4 \sin x + (m - 4) \cos x - 2 m + 5 = 0$ $\Leftrightarrow 4 \sin x + (m - 4) \cos x = 2 m - 5$ .

Phương trình có nghiệm khi $4^{2} + {(m - 4)}^{2} - {(2 m - 5)}^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow - 3 m^{2} + 12 m + 7 \geq 0$ $\Leftrightarrow \frac{6 - \sqrt{57}}{3} \leq m \leq \frac{6 + \sqrt{57}}{3}$

Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ .

Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là .

Câu 58

Tìm m để phương trình $m \sin x + 5 \cos x = m + 1$ có nghiệm

A. $m \leq 12$ .

B. $m \leq 6$

C. $m \leq 24$ .

D. $m \leq 3$

Lời giải

Chọn A

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow m^{2} + 25 \geq {(m + 1)}^{2} \Leftrightarrow 2 m \leq 24 \Leftrightarrow m \leq 12$ .

Câu 59

Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình $a \sin^{2} x + 2 \sin 2 x + 3 a \cos^{2} x = 2$ có nghiệm?

A.2.

B. $\frac{11}{3}$ .

C. 4.

D. $\frac{8}{3}$ .

Lời giải

Chọn D

Ta có: $a \sin^{2} x + 2 \sin 2 x + 3 a \cos^{2} x = 2$ $a \frac{1 - \cos 2 x}{2} + 2 \sin 2 x + 3 a \frac{1 + \cos 2 x}{2} = 2$

$\Leftrightarrow 4 \sin 2 x + 2 a \cos 2 x = 4 - 4 a (*)$ .

Phương trình có nghiệm $16 + 4 a^{2} \geq {(4 - 4 a)}^{2}$ $\Leftrightarrow 12 a^{2} - 32 a \leq 0$ $\Leftrightarrow 0 \leq a \leq \frac{8}{3}$ .

Câu 60

Để phương trình $m \sin 2 x + c os2 x = 2$ có nghiệm thì m thỏa mãn

A.

m \leq 1.

B.

[\begin{array}{l} m \geq \sqrt{3} \\ m \leq - \sqrt{3} \end{array} .

C. $[\begin{array}{l} m \geq \sqrt{2} \\ m \leq - \sqrt{2} \end{array} .$

D. $m \geq 1.$

Lời giải

Chọn B

$\begin{array}{l} m \sin 2 x + c os2 x = 2 \\ \Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{m^{2} + 1}} \sin 2 x + \frac{1}{\sqrt{m^{2} + 1}} \cos 2 x = \frac{2}{\sqrt{m^{2} + 1}} \\ \Leftrightarrow \sin (2 x + α) = \frac{2}{\sqrt{m^{2} + 1}} \end{array}$

có nghiệm khi $\frac{2}{\sqrt{m^{2} + 1}} \leq 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq \sqrt{3} \\ m \leq - \sqrt{3} \end{array} .$

Câu 61

Tìm $8 π$ để phương trình $2 \sin x + m \cos x = 1 - m$ có nghiệm $x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$

A.

- 1 \leq m \leq 3

B. $- \frac{3}{2} \leq m$ .

C. $1 \leq m \leq 3$ .

D. $m \leq \frac{3}{2}$ .

Lời giải

Chọn A

Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$ , do $x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ suy ra $t \in [- 1; 1]$ .

Phương trình trở thành tìm m để phương trình $\frac{4 t}{1 + t^{2}} + m . \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = 1 - m$ có nghiệm thuộc đoạn $[- 1; 1]$ .

Ta có $\frac{4 t}{1 + t^{2}} + m . \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = 1 - m$ .

Hoành độ đỉnh là $t_{0} = 2$ loại. Ta có $f (- 1) = 3$ và $f (1) = - 1$ .

Suy ra $- 1 \leq f (t) \leq 3$ . Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 62

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $2 s i n^{2} x + m s i n 2 x = 2 m$ vô nghiệm?

A. $[\begin{array}{l} m \leq 0 \\ m \geq \frac{4}{3} \end{array}$ .

B. $0 \leq m \leq \frac{4}{3}$ .

C.

0 < m < \frac{4}{3}

D. $[\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array}$

Lời giải

Chọn D

Ta có: $2 s i n^{2} x + m s i n 2 x = 2 m \Leftrightarrow m s i n 2 x - c o s 2 x = 2 m - 1$ $(1)$

Điều kiện phương trình $(1)$ vô nghiệm là: $m^{2} + 1 < {(2 m - 1)}^{2} \Leftrightarrow 3 m^{2} - 4 m > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array}$ .

Vậy với $[\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array}$ thì phương trình trên vô nghiệm.

Câu 63

Điều kiện để phương trình $m . \sin x - 3 \cos x = 5$ có nghiệm là:

A. $m \geq 4$ .

B. $- 4 \leq m \leq 4$ .

C. $m \geq \sqrt{34}$ .

D. $[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$ .

Lời giải

Chọn A

Điều kiện để phương trình $m . \sin x - 3 \cos x = 5$ có nghiệm là $3^{2} + m^{2} \geq 5^{2} \Leftrightarrow m^{2} \geq 16 \Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ m \geq 4 \end{array}$ .

Câu 64

Tìm m để phương trình $m = \frac{\cos x + 2 \sin x + 3}{2 \cos x - \sin x + 4}$ có nghiệm.

A.

- 2 \leq m \leq 0

B.

0 \leq m \leq 1

C.

\frac{2}{11} \leq m \leq 2

D. $- 2 \leq m \leq - 1$

Lời giải

Chọn C

Ta có $2 \cos x - s inx + 4 > 0, \forall x \in ℝ$ nên

$m = \frac{\cos x + 2 \sin x + 3}{2 \cos x - \sin x + 4} \Leftrightarrow \cos x + 2 \sin x + 3 = m (2 \cos x - \sin x + 4)$

$\Leftrightarrow (2 m - 1) cosx- (m + 2) s inx + 4 m - 3 = 0$ (1)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

${(2 m - 1)}^{2} + {(m + 2)}^{2} \geq {(4 m - 3)}^{2} \Leftrightarrow - 11 m^{2} + 24 m - 4 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2}{11} \leq m \leq 2$

Câu 65

Để phương trình: $\sin^{2} x + 2 (m + 1) \sin x - 3 m (m - 2) = 0$ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A.

[\begin{array}{l} - \frac{1}{2} \leq m < \frac{1}{2} \\ 1 \leq m \leq 2 \end{array}

B. $[\begin{array}{l} - \frac{1}{3} \leq m \leq \frac{1}{3} \\ 1 \leq m \leq 3 \end{array}$ .

C. $[\begin{array}{l} - 2 \leq m \leq - 1 \\ 0 \leq m \leq 1 \end{array}$ .

Chọn B

Đặt

Để phương trình có nghiệm thì

Lời giải

Chọn B

Đặt $t = \sin x$ $\Rightarrow t^{2} + 2 (m + 1) t - 3 m (m - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 3 m \\ t = m - 2 \end{array}$

Để phương trình có nghiệm thì $[\begin{array}{l} - 1 \leq - 3 m \leq 1 \\ - 1 \leq m - 2 \leq 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \frac{1}{3} \leq m \leq \frac{1}{3} \\ 1 \leq m \leq 3 \end{array}$

Câu 66

Cho phương trình: $\sin x \cos x - \sin x - \cos x + m = 0$ , trong đó m là tham số thựC. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

A. $- 2 \leq m \leq - \frac{1}{2} - \sqrt{2}$ .

B. $- \frac{1}{2} - \sqrt{2} \leq m \leq 1$

C. $1 \leq m \leq \frac{1}{2} + \sqrt{2}$ .

D. $- \frac{1}{2} + \sqrt{2} \leq m \leq 1$

Lời giải

Chọn D

Đặt $\sin x + \cos x = t (|t| \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$ . Khi đó ta có phương trình

$\frac{t^{2} - 1}{2} - t + m = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 2 t + 2 m - 1 = 0 (*)$

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình $(*)$ có nghiệm

$t \in [- \sqrt{2}; \sqrt{2}] \Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} = 2 - 2 m > 0 \\ - \sqrt{2} < \frac{s}{2} = 1 < \sqrt{2} \\ f (- \sqrt{2}) = 1 + 2 \sqrt{2} + 2 m \geq 0 \\ f (\sqrt{2}) = 1 - 2 \sqrt{2} + 2 m \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq 1 \\ m \geq - \frac{1}{2} + \sqrt{2} \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} + \sqrt{2} \leq m \leq 1.$

Câu 67

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2 \cos x - \sqrt{3} = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{5 π}{6} \in S .$

B. $\frac{11 π}{6} \in S .$

C. $\frac{13 π}{6} \notin S .$

D. $- \frac{13 π}{6} \notin S .$

Lời giải

Lời giải. Ta có $2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Nhận thấy với nghiệm $x = - \frac{π}{6} + k 2 π \overset{k = 1}{\to} x = \frac{11 π}{6} \in S .$ Chọn B

Câu 68

Hỏi $x = \frac{7 π}{3}$ là một nghiệm của phương trình nào sau đây?

A.

2 \sin x - \sqrt{3} = 0.

B.

2 \sin x + \sqrt{3} = 0.

C.

2 \cos x - \sqrt{3} = 0.

D.

2 \cos x + \sqrt{3} = 0.

Lời giải

Với $x = \frac{7 π}{3}$ , suy ra $\{\begin{cases} \sin x = \sin \frac{7 π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos x = \cos \frac{7 π}{3} = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 \sin x - \sqrt{3} = 0 \\ 2 \cos x - 1 = 0 \end{cases}$ . Chọn A

Cách 2. Thử $x = \frac{7 π}{3}$ lần lượt vào từng phương trình.

Câu 69

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $2 \sin (4 x - \frac{π}{3}) - 1 = 0.$

A.

x = \frac{π}{4} .

B.

x = \frac{7 π}{24} .

C.

x = \frac{π}{8} .

D.

x = \frac{π}{12} .

Lời giải

Ta có $2 \sin (4 x - \frac{π}{3}) - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin (4 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (4 x - \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{6}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + k 2 π \\ 4 x - \frac{π}{3} = π - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ 4 x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2} \\ x = \frac{7 π}{24} + \frac{k π}{2} \end{array} (k \in ℤ) .$

TH1. Với $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2} \overset{Cho > 0}{\to} \frac{π}{8} + \frac{k π}{2} > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{4} \to k_{\min} = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{8} .$

TH2. Với $x = \frac{7 π}{24} + \frac{k π}{2} \overset{Cho > 0}{\to} \frac{7 π}{24} + \frac{k π}{2} > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{7}{12} \to k_{\min} = 0 \Rightarrow x = \frac{7 π}{24} .$

So sánh hai nghiệm ta được $x = \frac{π}{8}$ là nghiệm dương nhỏ nhất. Chọn C

Câu 70

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?

A. 4.

B.3 .

C.2 .

D.1 .

Lời giải

$\tan (2 x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \tan (2 x - \frac{π}{3}) = - \sqrt{3} \Leftrightarrow \tan (2 x - \frac{π}{3}) = \tan (- \frac{π}{3})$

$\Leftrightarrow 2 x - \frac{π}{3} = - \frac{π}{3} + k π \Leftrightarrow 2 x = k π \Leftrightarrow x = \frac{k π}{2} (k \in ℤ) .$

Media VietJack

Quá dễ để nhận ra có 4 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D. Chọn A

Cách trắc nghiệm. Ta có $x = \frac{k π}{2} = k \frac{2 π}{4} \overset{}{\to}$ có 4 vị trí biểu diễn.

Câu 71

Hỏi trên đoạn $[0; 2018 π]$ , phương trình $\sqrt{3} \cot x - 3 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 6339

B. 6340

C. 2017

D. 2018

Lời giải

Ta có $\cot x = \sqrt{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{π}{6} \Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ) .$

Theo giả thiết, ta có $0 \leq \frac{π}{6} + k π \leq 2018 π \overset{xap xi}{\to} - \frac{1}{6} \leq k \leq 2017, 833$

$3 \overset{k \in ℤ}{\to} k \in \{0; 1; ...; 2017\}$ . Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D

Câu 72

Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình $2 \cos^{2} x = 1$ ?

A.

\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} .

B.

2 \sin x + \sqrt{2} = 0.

C.

\tan x = 1.

D.

\tan^{2} x = 1.

Lời giải

Ta có $2 \cos^{2} x = 1 \Leftrightarrow \cos^{2} x = \frac{1}{2}$ . Mà $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \overset{}{\to} \sin^{2} x = \frac{1}{2} .$

Do đó $\tan^{2} x = \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} = 1$ . Vậy $2 \cos^{2} x = 1 \Leftrightarrow \tan^{2} x = 1.$ Chọn D

Câu 73

Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình $\tan^{2} x = 3$ ?

A.

\cos x = - \frac{1}{2} .

B.

4 \cos^{2} x = 1.

C.

\cot x = \frac{1}{\sqrt{3}} .

D.

\cot x = - \frac{1}{\sqrt{3}} .

Lời giải

Ta có $\tan^{2} x = 3 \Leftrightarrow \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} = 3 \Leftrightarrow \sin^{2} x = 3 \cos^{2} x$

$\Leftrightarrow 1 - \cos^{2} x = 3 \cos^{2} x \Leftrightarrow 4 \cos^{2} x = 1.$ Vậy $\tan^{2} x = 3 \Leftrightarrow 4 \cos^{2} x = 1$ . Chọn B

Câu 74

Giải phương trình $4 \sin^{2} x = 3$ .

A.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{3} + k 2 π \end{array}, (k \in ℤ) .

B.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{array}, (k \in ℤ) .

C.

\{\begin{cases} x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{3} \\ k \neq 3 l \end{cases} (k, l \in ℤ) .

D.

\{\begin{cases} x = \frac{k π}{3} \\ k \neq 3 l \end{cases} (k, l \in ℤ) .

Lời giải

Ta có $4 \sin^{2} x = 3 \Leftrightarrow \sin^{2} x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

= Với $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{π}{3} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

= Với $\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin (- \frac{π}{3}) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{4 π}{3} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Nhận thấy chưa có đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác (hình vẽ).

Media VietJack

Nếu tính luôn hai điểm A, B thì có tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gộp được 6 điểm này thành một họ nghiệm, đó là $x = k \frac{π}{3}$ .

Suy ra nghiệm của phương trình $\{\begin{cases} x = k \frac{π}{3} \\ k \frac{π}{3} \neq l π \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{k π}{3} \\ k \neq 3 l \end{cases} (k, l \in ℤ) .$ Chọn D

Câu 75

Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình $3 \sin^{2} x = \cos^{2} x$ ?

A.

\sin x = \frac{1}{2} .

B.

\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} .

C.

\sin^{2} x = \frac{3}{4} .

D.

\cot^{2} x = 3.

Lời giải

Ta có $3 \sin^{2} x = \cos^{2} x$ . Chi hai vế phương trình cho $\sin^{2} x,$ ta được $\cot^{2} x = 3$ .

Chọn D

Câu 76

Với x thuộc (0;10), hỏi phương trình $\cos^{2} (6 π x) = \frac{3}{4}$ có bao nhiêu nghiệm?

A.8

B.10.

C.11.

D.12.

Lời giải

Phương trình $\cos^{2} (6 π x) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos (6 π x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} .$

= Với $\cos 6 π x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \cos 6 π x = \cos \frac{π}{6} \Leftrightarrow 6 π x = \pm \frac{π}{6} + k 2 π$ .

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{36} + \frac{k}{3} \in (0; 1) \\ x = - \frac{1}{36} + \frac{k}{3} \in (0; 1) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \frac{1}{12} < k < \frac{35}{12} \overset{k \in ℤ}{\to} k = \{0; 1; 2\} \\ \frac{1}{12} < k < \frac{37}{12} \overset{k \in ℤ}{\to} k = \{1; 2; 3\} \end{array} \to$ có 6 nghiệm.

= Với $\cos 6 π x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \cos 6 π x = \cos \frac{5 π}{6} \Leftrightarrow 6 π x = \pm \frac{5 π}{6} + k 2 π$ .

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{5}{36} + \frac{k}{3} \in (0; 1) \\ x = - \frac{5}{36} + \frac{k}{3} \in (0; 1) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \frac{5}{12} < k < \frac{31}{12} \overset{k \in ℤ}{\to} k = \{0; 1; 2\} \\ \frac{5}{12} < k < \frac{41}{12} \overset{k \in ℤ}{\to} k = \{1; 2; 3\} \end{array} \to$ có 6 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm. Chọn D

Câu 77

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{3} \cos x + m - 1 = 0$ có nghiệm?

A.1.

B.2.

C.3.

D. Vô số.

Lời giải

Ta có $\sqrt{3} \cos x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1 - m}{\sqrt{3}}$ .

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow - 1 \leq \frac{1 - m}{\sqrt{3}} \leq 1 \Leftrightarrow 1 - \sqrt{3} \leq m \leq 1 + \sqrt{3} \overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{0; 1; 2\} .$

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m. Chọn C

Câu 78

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 2108; 2018]$ để phương trình $m \cos x + 1 = 0$ có nghiệm?

A.2018.

B.2019.

C.4036.

D.4038.

Lời giải

Ta có $m \cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{m} .$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow - 1 \leq - \frac{1}{m} \leq 1 \Leftrightarrow m \geq 1 \to_{m \in [- 2018; 2018]}^{m \in ℤ} m \in \{1; 2; 3; ...; 2018\}$ .

Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của tham số m. Chọn A

Câu 79

Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình $(m - 2) \sin 2 x = m + 1$ nhận $x = \frac{π}{12}$ làm nghiệm.

A.

m \neq 2.

B.

m = \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} - 2} .

C.

m = - 4.

D. $m = - 1.$

Lời giải

Vì $x = \frac{π}{12}$ là một nghiệm của phương trình $(m - 2) \sin 2 x = m + 1$ nên ta có:

$(m - 2) . \sin \frac{2 π}{12} = m + 1 \Leftrightarrow \frac{m - 2}{2} = m + 1 \Leftrightarrow m - 2 = 2 m + 2 \Leftrightarrow m = - 4$ .

Vậy $m = - 4$ là giá trị cần tìm. Chọn C

Câu 80

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $(m + 1) \sin x + 2 - m = 0$ có nghiệm.

A.

m \leq - 1.

B.

m \geq \frac{1}{2} .

C.

- 1 < m \leq \frac{1}{2} .

D.

m > - 1.

Lời giải

$(m + 1) \sin x + 2 - m = 0 \Leftrightarrow (m + 1) \sin x = m - 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{m - 2}{m + 1} .$

Để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow - 1 \leq \frac{m - 2}{m + 1} \leq 1$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \leq 1 + \frac{m - 2}{m + 1} \\ \frac{m - 2}{m + 1} - 1 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 m - 1}{m + 1} \geq 0 \\ - \frac{3}{m + 1} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m \geq \frac{1}{2} \\ m < - 1 \end{array} \\ m > - 1 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm. Chọn B

Câu 81

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $(m - 2) \sin 2 x = m + 1$ vô nghiệm

A.

m \in [\frac{1}{2}; 2] .

B.

m \in (- \infty; \frac{1}{2}) \cup (2; + \infty) .

C.

m \in (\frac{1}{2}; 2) \cup (2; + \infty) .

D.

m \in (\frac{1}{2}; + \infty) .

Lời giải

TH1. Với $m = 2$ , phương trình $(m - 2) \sin 2 x = m + 1 \Leftrightarrow 0 = 3$ : vô lý.

Suy ra $m = 2$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

TH2. Với $m \neq 2$ , phương trình $(m - 2) \sin 2 x = m + 1 \Leftrightarrow \sin 2 x = \frac{m + 1}{m - 2} .$

Để phương trình (*) vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{m + 1}{m - 2} \notin [- 1; 1] \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{m + 1}{m - 2} > 1 \\ \frac{m + 1}{m - 2} < - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 2 \\ \frac{1}{2} < m < 2 \end{array} .$

Kết hợp hai trường hợp, ta được $m > \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm. Chọn D

Câu 82

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $\cos 2 x - \sin 2 x = 1$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

\frac{π}{4} \in S .

B.

\frac{π}{2} \in S .

C.

\frac{3 π}{4} \in S .

D.

\frac{5 π}{4} \in S .

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{2} \cos (2 x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \cos (2 x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \cos (2 x + \frac{π}{4}) = \cos \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ 2 x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = - \frac{π}{4} + k π \end{array}, k \in ℤ .$

Xét nghiệm $x = - \frac{π}{4} + k π$ , với $k = 1$ ta được $x = \frac{3 π}{4} .$ Chọn C

Câu 83

Số nghiệm của phương trình $\sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x = \sqrt{3}$ trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$ là?

A.1.

B.2.

C.3.

D.4.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (2 x + \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{3} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{3} + k 2 π \\ 2 x + \frac{π}{3} = π - \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{array}, k \in ℤ .$

= $0 < k π < \frac{π}{2} \Leftrightarrow 0 < k < \frac{1}{2} \overset{k \in ℤ}{\to}$ không có giá trị k thỏa mãn.

= $0 < \frac{π}{6} + k π < \frac{π}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3} \overset{k \in ℤ}{\to} k = 0 \to x = \frac{π}{6} .$ Chọn A

Câu 84

Tính tổng T các nghiệm của phương trình $\cos^{2} x - \sin 2 x = \sqrt{2} + \sin^{2} x$ trên khoảng $(0; 2 π) .$

A.

T = \frac{7 π}{8} .

B.

T = \frac{21 π}{8} .

C.

T = \frac{11 π}{4} .

D.

T = \frac{3 π}{4} .

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x - \sin 2 x = \sqrt{2} \Leftrightarrow \cos 2 x - \sin 2 x = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \cos (2 x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow 2 x + \frac{π}{4} = k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{8} + k π (k \in ℤ) .$

Do $0 < x < 2 π \overset{}{\to} 0 < - \frac{π}{8} + k π < 2 π \Leftrightarrow \frac{1}{8} < k < \frac{17}{8} \overset{k \in ℤ}{\to} [\begin{array}{l} k = 1 \to x = \frac{7 π}{8} \\ k = 2 \to x = \frac{15 π}{8} \end{array}$

$\overset{}{\to} T = \frac{7 π}{8} + \frac{15 π}{8} = \frac{11}{4} π .$ Chọn C

Câu 85

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất $x_{0}$ của $3 \sin 3 x - \sqrt{3} \cos 9 x = 1 + 4 \sin^{3} 3 x .$

A.

x_{0} = \frac{π}{2} .

B.

x_{0} = \frac{π}{18} .

C.

x_{0} = \frac{π}{24} .

D. $x_{0} = \frac{π}{54} .$

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow 3 \sin 3 x - 4 \sin^{3} 3 x - \sqrt{3} \cos 9 x = 1 \Leftrightarrow \sin 9 x - \sqrt{3} \cos 9 x = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 9 x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 9 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (9 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (9 x - \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 9 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + k 2 π \\ 9 x - \frac{π}{3} = π - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{18} + \frac{k 2 π}{9} \\ x = \frac{7 π}{54} + \frac{k 2 π}{9} \end{array}$

$\overset{Cho > 0}{\to} [\begin{array}{l} \frac{π}{18} + \frac{k 2 π}{9} > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{4} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = \frac{π}{18} \\ \frac{7 π}{54} + \frac{k 2 π}{9} > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{7}{12} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = \frac{7 π}{54} \end{array} .$

So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là $x = \frac{π}{18} .$ Chọn B

Cách trắc nghiệm. Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn.

Câu 86

Số nghiệm của phương trình $\sin 5 x + \sqrt{3} \cos 5 x = 2 \sin 7 x$ trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$ là?

A.2.

B.1.

C.3.

D.4.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 5 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5 x = \sin 7 x \Leftrightarrow \sin (5 x + \frac{π}{3}) = \sin 7 x$

$\Leftrightarrow \sin 7 x = \sin (5 x + \frac{π}{3}) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 7 x = 5 x + \frac{π}{3} + k 2 π \\ 7 x = π - (5 x + \frac{π}{3}) + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k π \\ x = \frac{π}{18} + \frac{k π}{6} \end{array} (k \in ℤ) .$

= $0 < \frac{π}{6} + k π < \frac{π}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3} \overset{k \in ℤ}{\to} k = 0 \to x = \frac{π}{6} .$

= $0 < \frac{π}{18} + k \frac{π}{6} < \frac{π}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{8}{3} \overset{k \in ℤ}{\to} [\begin{array}{l} k = 0 \to x = \frac{π}{18} \\ k = 1 \to x = \frac{2 π}{9} \\ k = 2 \to x = \frac{7 π}{18} \end{array} .$

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn. Chọn D

Câu 87

Giải phương trình $\sqrt{3} \cos (x + \frac{π}{2}) + \sin (x - \frac{π}{2}) = 2 \sin 2 x .$

A.

[\begin{array}{l} x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3} \end{array}, k \in ℤ .

B.

[\begin{array}{l} x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3} \end{array}, k \in ℤ .

C.

[\begin{array}{l} x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

D.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3} \\ x = - \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3} \end{array}, k \in ℤ .

Lời giải

Ta có $\cos (x + \frac{π}{2}) = - \sin x$ và $\sin (x - \frac{π}{2}) = - \cos x$ .

Do đó phương trình $\Leftrightarrow - \sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \sin 2 x \Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x + \cos x = - 2 \sin 2 x$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = - \sin 2 x \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{6}) = - \sin 2 x \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{6}) = \sin (- 2 x)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{6} = - 2 x + k 2 π \\ x + \frac{π}{6} = π + 2 x + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3} \\ x = - \frac{5 π}{6} - k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Xét nghiệm $x = - \frac{5 π}{6} - k 2 π \to_{k \in ℤ, k' \in ℤ}^{k = - 1 - k'} x = \frac{7 π}{6} + k' 2 π$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x = - \frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3}, x = \frac{7 π}{6} + k' 2 π (k, k' \in ℤ) .$ Chọn B

Câu 88

Gọi $x_{0}$ là nghiệm âm lớn nhất của $\sin 9 x + \sqrt{3} \cos 7 x = \sin 7 x + \sqrt{3} \cos 9 x$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $x_{0} \in (- \frac{π}{12}; 0) .$

B.

x_{0} \in [- \frac{π}{6}; - \frac{π}{12}] .

C.

x_{0} \in [- \frac{π}{3}; - \frac{π}{6}) .

D.

x_{0} \in [- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3}) .

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow \sin 9 x - \sqrt{3} \cos 9 x = \sin 7 x - \sqrt{3} \cos 7 x$

$\Leftrightarrow \sin (9 x - \frac{π}{3}) = \sin (7 x - \frac{π}{3}) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 9 x - \frac{π}{3} = 7 x - \frac{π}{3} + k 2 π \\ 9 x - \frac{π}{3} = π - (7 x - \frac{π}{3}) + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{5 π}{48} + \frac{k π}{8} \end{array}$

$\overset{Cho < 0}{\to} [\begin{array}{l} k π < 0 \Leftrightarrow k < 0 \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\max} = - 1 \to x = - π \\ \frac{5 π}{48} + \frac{k π}{8} < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{5}{6} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\max} = - 1 \to x = - \frac{π}{48} \end{array} .$ So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{π}{48} \in (- \frac{π}{12}; 0) .$ Chọn A

Câu 89

Biến đổi phương trình $\cos 3 x - \sin x = \sqrt{3} (\cos x - \sin 3 x)$ về dạng $\sin (a x + b) = \sin (c x + d)$ với b,d, thuộc khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ . Tính $b + d$ .

A.

b + d = \frac{π}{12} .

B.

b + d = \frac{π}{4} .

C.

b + d = - \frac{π}{3} .

D. $b + d = \frac{π}{2} .$

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{3} \sin 3 x + \cos 3 x = \sin x + \sqrt{3} \cos x$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3 x + \frac{1}{2} \cos 3 x = \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \Leftrightarrow \sin (3 x + \frac{π}{6}) = \sin (x + \frac{π}{3}) .$

Suy ra $b + d = \frac{π}{6} + \frac{π}{3} = \frac{π}{2} .$ Chọn D

Câu 90

Giải phương trình $\frac{\cos x - \sqrt{3} \sin x}{\sin x - \frac{1}{2}} = 0.$

A.

x = \frac{π}{6} + k π, k \in ℤ .

B.

x = \frac{π}{6} + k 2 π, k \in ℤ .

C.

x = \frac{7 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ .

D.

x = \frac{7 π}{6} + k π, k \in ℤ .

Lời giải

Điều kiện $\sin x - \frac{1}{2} \neq 0 \Leftrightarrow \sin x \neq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x \neq \sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \frac{π}{6} + k 2 π \\ x \neq \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{cases} (k \in ℤ) .$

Media VietJack

Điều kiện bài toán tương đương với bỏ đi vị trí hai điểm trên đường tròn lượng giác (Hình 1).

Phương trình $\Leftrightarrow \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0 \Leftrightarrow \cos x = \sqrt{3} \sin x$

$\Leftrightarrow \cot x = \sqrt{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{π}{6} \Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + l π (l \in ℤ) .$

Media VietJack

Biểu diễn nghiệm $x = \frac{π}{6} + l π$ trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2.

Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm $x = \frac{π}{6} + k 2 π$ . Do đó phương trình có nghiệm $x = \frac{7 π}{6} + 2 l π (l \in ℤ) .$ Chọn C

Câu 91

Hàm số $y = \frac{2 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x - \cos 2 x + 3}$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1.

B.2.

C. 3.

D.4.

Lời giải

Ta có $y = \frac{2 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x - \cos 2 x + 3} \Leftrightarrow (y - 2) \sin 2 x - (y + 1) \cos 2 x = - 3 y .$

Điều kiện để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {(y - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} \geq {(- 3 y)}^{2} \Leftrightarrow 7 y^{2} + 2 y - 5 \leq 0$

$\Leftrightarrow - 1 \leq y \leq \frac{5}{7} \overset{y \in ℤ}{\to} y \in \{- 1; 0\}$ nên có 2 giá trị nguyên. Chọn B

Câu 92

Gọi $x_{0}$ là nghiệm dương nhỏ nhất của $\cos 2 x + \sqrt{3} \sin 2 x + \sqrt{3} \sin x - \cos x = 2.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

x_{0} \in (0; \frac{π}{12}) .

B.

x_{0} \in [\frac{π}{12}; \frac{π}{6}] .

C.

x_{0} \in (\frac{π}{6}; \frac{π}{3}] .

D.

x_{0} \in (\frac{π}{3}; \frac{π}{2}] .

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x = 1$

$\Leftrightarrow \sin (\frac{π}{6} + 2 x) + \sin (x - \frac{π}{6}) = 1$ .

Đặt $t = x - \frac{π}{6} \overset{}{\to} x = t + \frac{π}{6} \to 2 x = 2 t + \frac{π}{3} \to 2 x + \frac{π}{6} = 2 t + \frac{π}{2} .$

Phương trình trở thành $\Leftrightarrow \sin (2 t + \frac{π}{2}) + \sin t = 1 \Leftrightarrow \cos 2 t + \sin t = 1$

$\Leftrightarrow 2 \sin^{2} t - \sin t = 0 \Leftrightarrow \sin t (2 \sin t - 1) = 0.$

= $\sin t = 0 \Leftrightarrow t = k π \overset{}{\to} x = \frac{π}{6} + k π > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{6} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = \frac{π}{6} .$

= $\sin t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{π}{6} + k 2 π \overset{}{\to} x = \frac{π}{3} + k 2 π > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{6} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = \frac{π}{3} . \\ t = \frac{5 π}{6} + k 2 π \overset{}{\to} x = π + k 2 π > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{2} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = π . \end{array}$

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x = \frac{π}{6} \in [\frac{π}{12}; \frac{π}{6}] .$ Chọn B

Câu 93

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình $\sin (x - \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos (x - \frac{π}{3}) = 2 m$ vô nghiệm.

A.21.

B.20.

C.18.

D.9.

Lời giải

Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow 1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2} < {(2 m)}^{2} \Leftrightarrow 4 m^{2} - 4 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 1 \end{array}$

$\to_{m \in [- 10; 10]}^{m \in ℤ} m \in \{- 10; - 9; - 8; ...; - 2; 2; ...; 8; 9; 10\} \overset{}{\to}$ có 18 giá trị. Chọn C

Câu 94

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $\cos x + \sin x = \sqrt{2} (m^{2} + 1)$ vô nghiệm.

A.

m \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty) .

B.

m \in [- 1; 1] .

C.

m \in (- \infty; + \infty)

D.

m \in (- \infty; 0) \cup (0; + \infty) .

Lời giải

Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow 1^{2} + 1^{2} < {[\sqrt{2} (m^{2} + 1)]}^{2}$

$\Leftrightarrow m^{4} + 2 m^{2} > 0 \Leftrightarrow m^{2} (m^{2} + 2) > 0 \Leftrightarrow m^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq 0.$ Chọn D

Câu 95

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình $(m + 1) \sin x - m \cos x = 1 - m$ có nghiệm.

A.21.

B.20.

C.18.

D.11.

Lời giải

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} + m^{2} \geq {(1 - m)}^{2} \Leftrightarrow m^{2} + 4 m \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq 0 \\ m \leq - 4 \end{array}$

$\to_{m \in [- 10; 10]}^{m \in ℤ} m \in \{- 10; - 9; - 8; ...; - 4; 0; 1; 2; ...; 8; 9; 10\} \overset{}{\to}$ có 18 giá trị. Chọn C

Câu 96

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 2018; 2018]$ để phương trình $(m + 1) \sin^{2} x - \sin 2 x + \cos 2 x = 0 (m + 1) \sin^{2} x - \sin 2 x + \cos 2 x = 0$ có nghiệm.

A.4037.

B.4036.

C.2019.

D.2020.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow (m + 1) \frac{1 - \cos 2 x}{2} - \sin 2 x + \cos 2 x = 0$

$\Leftrightarrow - 2 \sin 2 x + (1 - m) \cos 2 x = - m - 1.$

Phương trình có ng hiệm $\Leftrightarrow {(- 2)}^{2} + {(1 - m)}^{2} \geq {(- m - 1)}^{2} \Leftrightarrow 4 m \leq 4 \Leftrightarrow m \leq 1$

$\to_{m \in [- 2018; 2018]}^{m \in ℤ} m \in \{- 2018; - 2017; ...; 0; 1\} \overset{}{\to}$ có 2020 giá trị. Chọn D

Câu 97

Hỏi trên $[0; \frac{π}{2})$ , phương trình $2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 1.

B. 2

C. 3.

D.4.

Lời giải

Phương trình $2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = \frac{1}{2} \\ \sin x = 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = \sin \frac{π}{6} \\ \sin x = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Theo giả thiết $0 \leq x < \frac{π}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0 \leq \frac{π}{6} + k 2 π < \frac{π}{2} \\ 0 \leq \frac{5 π}{6} + k 2 π < \frac{π}{2} \\ 0 \leq \frac{π}{2} + k 2 π < \frac{π}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \frac{1}{12} < k < \frac{1}{6} \overset{k \in ℤ}{\to} k = 0 \to x = \frac{π}{6} \\ - \frac{5}{12} < k < - \frac{1}{12} \overset{k \in ℤ}{\to} k \in \emptyset \\ - \frac{1}{4} < k < 0 \overset{k \in ℤ}{\to} k \in \emptyset \end{array} .$

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên $[0; \frac{π}{2})$ . Chọn A

Câu 98

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình $2 \cos^{2} x + 5 \cos x + 3 = 0$ trên đường tròn lượng giác là?

A.1.

B. 2.

C. 3.

D.4.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow 2 \cos^{2} x + 5 \cos x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = - 1 \\ \cos x = - \frac{3}{2} (l o a ï i) \end{array}$

$\Leftrightarrow \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π (k \in ℤ) .$

Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác. Chọn A

Câu 99

Cho phương trình $\cot^{2} 3 x - 3 \cot 3 x + 2 = 0.$ Đặt $t = \cot 3 x$ , ta được phương trình nào sau đây

A.

t^{2} - 3 t + 2 = 0.

B.

3 t^{2} - 9 t + 2 = 0.

C.

t^{2} - 9 t + 2 = 0.

D.

t^{2} - 6 t + 2 = 0.

Lời giải

Chọn A

Câu 100

Số nghiệm của phương trình $4 \sin^{2} 2 x - 2 (1 + \sqrt{2}) \sin 2 x + \sqrt{2} = 0$ trên $(0; π)$ là?

A. 3.

B. 4

C. 2

D. 1.

Lời giải

Phương trình $4 \sin^{2} 2 x - 2 (1 + \sqrt{2}) \sin 2 x + \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin 2 x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin 2 x = \frac{1}{2} \end{array} .$

= $\sin 2 x = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ 2 x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{8} + k π \overset{(0; π)}{\to} x = \frac{π}{8} \\ x = \frac{3 π}{8} + k π \overset{(0; π)}{\to} x = \frac{3 π}{8} \end{array} .$

= $\sin 2 x = \frac{1}{2} = \sin \frac{π}{6} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ 2 x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{12} + k π \overset{(0; π)}{\to} x = \frac{π}{12} \\ x = \frac{5 π}{12} + k π \overset{(0; π)}{\to} x = \frac{5 π}{12} \end{array} .$

Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn. Chọn B

Câu 101

Số nghiệm của phương trình $\sin^{2} 2 x - \cos 2 x + 1 = 0$ trên đoạn $[- π; 4 π]$ là?

A. 2

B.4.

C. 6.

D.8.

Lời giải

Phương trình $\sin^{2} 2 x - \cos 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow - \cos^{2} 2 x - \cos 2 x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos 2 x = 1 \\ \cos 2 x = - 2 (l o a ï i) \end{array} \Leftrightarrow \cos 2 x = 1 \Leftrightarrow 2 x = k 2 π \Leftrightarrow x = k π, k \in ℤ .$

Do $x \in [- π; 4 π] \overset{}{\to} - π \leq k π \leq 4 π \Leftrightarrow - 1 \leq k \leq 4 \overset{k \in ℤ}{\to} k \in \{- 1; 0; 1; 2; 3; 4\} .$

Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn. Chọn C

Câu 102

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $2 \sin^{2} \frac{x}{4} - 3 \cos \frac{x}{4} = 0$ trên đoạn $[0; 8 π] .$

A.

T = 0.

B.

T = 8 π .

C.

T = 16 π .

D.

T = 4 π .

Lời giải

Phương trình $2 \sin^{2} \frac{x}{4} - 3 \cos \frac{x}{4} = 0 \Leftrightarrow 2 (1 - \cos^{2} \frac{x}{4}) - 3 \cos \frac{x}{4} = 0$

$\Leftrightarrow - 2 \cos^{2} \frac{x}{4} - 3 \cos \frac{x}{4} + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos \frac{x}{4} = \frac{1}{2} \\ \cos \frac{x}{4} = - 2 (l o a ï i) \end{array} \Leftrightarrow \cos \frac{x}{4} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{x}{4} = \cos \frac{π}{3}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{x}{4} = \frac{π}{3} + k 2 π \\ \frac{x}{4} = - \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{4 π}{3} + k 8 π \overset{x \in [0; 8 π]}{\to} x = \frac{4 π}{3} \\ x = - \frac{4 π}{3} + k 8 π \overset{x \in [0; 8 π]}{\to} x = \frac{20 π}{3} \end{array} \to T = \frac{4 π}{3} + \frac{20 π}{3} = 8 π .$

Chọn B

Câu 103

Số nghiệm của phương trình $\frac{1}{\sin^{2} x} - (\sqrt{3} - 1) \cot x - (\sqrt{3} + 1) = 0$ trên $(0; π)$ là?

A. 1

B.2

C.3.

D.4.

Lời giải

Điều kiện: $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k π (k \in ℤ) .$

Phương trình $\Leftrightarrow (1 + \cot^{2} x) - (\sqrt{3} - 1) \cot x - (\sqrt{3} + 1) = 0 \Leftrightarrow \cot^{2} x - (\sqrt{3} - 1) \cot x - \sqrt{3} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cot x = - 1 \\ \cot x = \sqrt{3} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cot x = \cot (- \frac{π}{4}) \\ \cot x = \cot \frac{π}{6} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{4} + k π \overset{x \in (0; π)}{\to} x = \frac{3 π}{4} (t h o û a m a õ n) \\ x = \frac{π}{6} + k π \overset{x \in (0; π)}{\to} x = \frac{π}{6} (t h o û a m a õ n) \end{array} .$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn. Chọn B

Câu 104

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $2 \cos 2 x + 2 \cos x - \sqrt{2} = 0$ trên đoạn $[0; 3 π]$ .

A.

T = \frac{17 π}{4} .

B.

T = 2 π .

C.

T = 4 π .

D.

T = 6 π .

Lời giải

Phương trình $2 \cos 2 x + 2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow 2 (2 \cos^{2} x - 1) + 2 \cos x - \sqrt{2} = 0$

$\Leftrightarrow 4 \cos^{2} x + 2 \cos x - 2 - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos x = - \frac{\sqrt{2} + 1}{2} (l o a ï i) \end{array} \Leftrightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \overset{x \in [0; 3 π]}{\to} x = \frac{π}{4}; x = \frac{9 π}{4} \\ x = - \frac{π}{4} + k 2 π \overset{x \in [0; 3 π]}{\to} x = \frac{7 π}{4} \end{array} \overset{}{\to} T = \frac{π}{4} + \frac{9 π}{4} + \frac{7 π}{4} = \frac{17 π}{4} .$ Chọn A

Câu 105

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình $\cos 2 x + 3 \sin x + 4 = 0$ trên đường tròn lượng giác là

A.1

B. 2.

C. 3.

D.4.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow (1 - 2 \sin^{2} x) + 3 \sin x + 4 = 0 \Leftrightarrow - 2 \sin^{2} x + 3 \sin x + 5 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = - 1 \\ \sin x = \frac{5}{2} (l o a ï i) \end{array} \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Suy ra có duy nhất 1 vị trí đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm. Chọn A

Câu 106

Cho phương trình $\cos x + \cos \frac{x}{2} + 1 = 0$ . Nếu đặt $t = \cos \frac{x}{2}$ , ta được phương trình nào sau đây

A.

2 t^{2} + t = 0.

B.

- 2 t^{2} + t + 1 = 0.

C.

2 t^{2} + t - 1 = 0.

D.

- 2 t^{2} + t = 0.

Lời giải

Ta có $\cos x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1.$

Do đó phương trình $\Leftrightarrow (2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1) + \cos \frac{x}{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 \cos^{2} \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 0.$

Đặt $t = \cos \frac{x}{2}$ , phương trình trở thành $2 t^{2} + t = 0.$ Chọn A

Câu 107

Số nghiệm của phương trình $\cos 2 (x + \frac{π}{3}) + 4 \cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{5}{2}$ thuộc $[0; 2 π]$ là?

A.1.

B.2.

C.3.

D.4.

Lời giải

Ta có $\cos 2 (x + \frac{π}{3}) = 1 - 2 \sin^{2} (x + \frac{π}{3}) = 1 - 2 \cos^{2} (\frac{π}{6} - x)$ .

Do đó phương trình $\Leftrightarrow - 2 \cos^{2} (\frac{π}{6} - x) + 4 \cos (\frac{π}{6} - x) - \frac{3}{2} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{1}{2} \\ \cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{3}{2} (l o a ï i) \end{array} \Leftrightarrow \cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{π}{6} - x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ$ .

Ta có ; $x = - \frac{π}{6} + k 2 π \overset{x \in [0; 2 π]}{\to} x = \frac{11 π}{6}$ $x = \frac{π}{2} + k 2 π \overset{x \in [0; 2 π]}{\to} x = \frac{π}{2}$ .

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn. Chọn B

Câu 108

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $\tan x + m \cot x = 8$ có nghiệm.

A.

m > 16.

B.

m < 16.

C.

m \geq 16.

D.

m \leq 16.

Lời giải

Phương trình $\tan x + m \cot x = 8 \Leftrightarrow \tan x + \frac{m}{\tan x} = 8 \Leftrightarrow \tan^{2} x - 8 \tan x + m = 0$ .

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $Δ^{'} = {(- 4)}^{2} - m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 16$ .

Chọn D

Câu 109

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $\cos 2 x - (2 m + 1) \cos x + m + 1 = 0$ có nghiệm trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ .

A.

- 1 \leq m \leq 0

B. .

- 1 \leq m < 0

C. $- 1 < m < 0$ .

D.

- 1 \leq m < \frac{1}{2}

Lời giải

Phương trình

\Leftrightarrow 2 \cos^{2} x - (2 m + 1) \cos x + m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = \frac{1}{2} \\ \cos x = m \end{array} .

Nhận thấy phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ không có nghiệm trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ (Hình vẽ). Do đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \cos x = m$ có nghiệm thuộc khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}) \Leftrightarrow - 1 \leq m < 0$ .

Chọn B

Câu 110

Biết rằng khi $m = m_{0}$ thì phương trình $2 \sin^{2} x - (5 m + 1) \sin x + 2 m^{2} + 2 m = 0$ có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(- \frac{π}{2}; 3 π)$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

m = - 3.

B.

m = \frac{1}{2}

C.

m_{0} \in (\frac{3}{5}; \frac{7}{10}] .

D. $m_{0} \in (- \frac{3}{5}; - \frac{2}{5}) .$

Lời giải

Đặt $t = \sin x (- 1 \leq t \leq 1)$ .

Phương trình trở thành $2 t^{2} - (5 m + 1) + 2 m^{2} + 2 m = 0.$ $(*)$

Media VietJack

Yêu cầu bài toán tương đương với:

= TH1: Phương trình (*) có một nghiệm $t_{1} = - 1$ (có một nghiệm x) và một nghiệm $0 < t_{2} < 1$ (có bốn nghiệm x) (Hình 1).

a Do $t_{1} = - 1 \overset{}{\to} t_{2} = - \frac{c}{a} = - m^{2} - m$ .

a Thay $t_{1} = - 1$ vào phương trình (*), ta được $[\begin{array}{l} m = - 3 \overset{}{\to} t_{2} = - 6 \notin (0; 1) (l o a ï i) \\ m = - \frac{1}{2} \overset{}{\to} t_{2} = \frac{1}{4} \in (0; 1) (t h o û a) \end{array} .$

= TH2: Phương trình (*) có một nghiệm $t_{1} = 1$ (có hai nghiệm x) và một nghiệm $- 1 < t_{2} \leq 0$ (có ba nghiệm x) (Hình 2).

a Do $t_{1} = 1 \overset{}{\to} t_{2} = \frac{c}{a} = m^{2} + m$ .

a Thay $t_{1} = 1$ vào phương trình (*) , ta được $[\begin{array}{l} m = 1 \overset{}{\to} t_{2} = 2 \notin (- 1; 0] (l o a ï i) \\ m = \frac{1}{2} \overset{}{\to} t_{2} = \frac{3}{4} \notin (- 1; 0] (l o a ï i) \end{array} .$

Vậy $m = - \frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do $m = - \frac{1}{2} \in (- \frac{3}{5}; - \frac{2}{5}) .$ Chọn D

Câu 111

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $2 \cos^{2} 3 x + (3 - 2 m) \cos 3 x + m - 2 = 0$ có đúng nghiệm thuộc khoảng $(- \frac{π}{6}; \frac{π}{3}) .$

A.

- 1 \leq m \leq 1.

B.

1 < m \leq 2.

C.

1 \leq m \leq 2.

D.

1 \leq m < 2.

Lời giải

Đặt $t = \cos x (- 1 \leq t \leq 1)$ . Phương trình trở thành $2 t^{2} + (3 - 2 m) t + m - 2 = 0.$

Ta có $Δ = {(2 m - 5)}^{2}$ . Suy ra phương trình có hai nghiệm $[\begin{array}{l} t_{1} = \frac{1}{2} \\ t_{2} = m - 2 \end{array} .$

Media VietJack

Ta thấy ứng với một nghiệm $t_{1} = \frac{1}{2}$ thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng $(- \frac{π}{6}; \frac{π}{3}) .$ Do đó yêu cầu bài toán $- 1 < t_{2} \leq 0 \Leftrightarrow - 1 < m - 2 \leq 0 \Leftrightarrow 1 < m \leq 2.$ Chọn B

Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đươn với phương trình $2 t^{2} + (3 - 2 m) t + m - 2 = 0$ có hai nghiệm $t_{1}, t_{2}$ thỏa mãn $- 1 < t_{2} \leq 0 < t_{1} < 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} P \leq 0 \\ a . f (1) > 0 \\ a . f (- 1) > 0 \end{cases} .$

Câu 112

Giải phương trình $\sin^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x = 0.$

A.

x = \frac{π}{3} + k 2 π (k \in ℤ) .

B.

x = \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ) .

C.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .

D.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k π \\ x = \frac{π}{4} + k π \end{array} (k \in ℤ) .

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow \tan^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \tan x + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = 1 \\ \tan x = \sqrt{3} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = \frac{π}{3} + k π \end{array} (k \in ℤ) .$ Chọn D

Câu 113

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2 \sin^{2} x + 3 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x = 2$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

\{\frac{π}{3}; π\} \subset S .

B. $\{\frac{π}{6}; \frac{π}{2}\} \subset S .$

C.

\{\frac{π}{4}; \frac{5 π}{12}\} \subset S .

D.

\{\frac{π}{2}; \frac{5 π}{6}\} \subset S .

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow 2 \sin^{2} x + 3 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x = 2 (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$

$\Leftrightarrow 3 \sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow 3 \cos x (\sqrt{3} \sin x - \cos x) = 0.$

= $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ) \overset{k = 0}{\to} x = \frac{π}{2} .$

= $\sqrt{3} \sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x = \cos x$

Vậy tập nghiệm của phương trình chứa các nghiệm $\frac{π}{6}$ và $\frac{π}{2}$ . Chọn B

Câu 114

Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình $\sin^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x = \sqrt{3}$ .

A.

\sin x = 0

B. $\sin (x + \frac{π}{2}) = 1$ .

C. $(\cos x - 1) (\tan x - \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}) = 0$ .

D. $(\tan x + 2 + \sqrt{3}) (\cos^{2} x - 1) = 0$

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow \sin^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x = \sqrt{3} (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$

$\Leftrightarrow (1 - \sqrt{3}) \sin^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \sin x \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin x [(1 - \sqrt{3}) \sin x - (\sqrt{3} + 1) \cos x] = 0.$

= $\sin x = 0 \Leftrightarrow \cos^{2} x = 1 \Leftrightarrow \cos^{2} x - 1 = 0.$

= $(1 - \sqrt{3}) \sin x - (\sqrt{3} + 1) \cos x = 0 \Leftrightarrow (1 - \sqrt{3}) \sin x = (\sqrt{3} + 1) \cos x$

$\Leftrightarrow \tan x = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \Leftrightarrow \tan x = - 2 - \sqrt{3} \Leftrightarrow \tan x + 2 + \sqrt{3} = 0.$

Vậy phương trình đã cho tương đương với $(\tan x + 2 + \sqrt{3}) (\cos^{2} x - 1) = 0$ . Chọn D

Câu 115

Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình $\sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 1$ ?

A. $\cos x (\cot^{2} x - 3) = 0$ .

B. $\sin (x + \frac{π}{2}) . [\tan (x + \frac{π}{4}) - 2 - \sqrt{3}] = 0$

C.

[\cos^{2} (x + \frac{π}{2}) - 1] . (\tan x - \sqrt{3}) = 0

D.

(\sin x - 1) (\cot x - \sqrt{3}) = 0

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x = \sin^{2} x + \cos^{2} x$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow \cos x (\sqrt{3} \sin x - \cos x) = 0.$

= $\cos x = 0 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{2}) = 0.$

= $\sqrt{3} \sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} .$

Ta có $\tan (x + \frac{π}{4}) = \frac{\tan x + \tan \frac{π}{4}}{1 - \tan x . \tan \frac{π}{4}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}} .1} = 2 + \sqrt{3} \Leftrightarrow \tan (x + \frac{π}{4}) - 2 - \sqrt{3} = 0.$

Vậy phương trình đã cho tương đương với $\sin (x + \frac{π}{2}) . [\tan (x + \frac{π}{4}) - 2 - \sqrt{3}] = 0$ .Chọn B

Câu 116

Cho phương trình $\cos^{2} x - 3 \sin x \cos x + 1 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $x = k π$ không là nghiệm của phương trình

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho

\cos^{2} x

thì ta được phương trình

\tan^{2} x - 3 \tan x + 2 = 0

.

C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho

\sin^{2} x

thì ta được phương trình

2 \cot^{2} x + 3 \cot x + 1 = 0

.

D. Phương trình đã cho tương đương với

\cos 2 x - 3 \sin 2 x + 3 = 0

.

Lời giải

Với $x = k π \overset{}{\to} \{\begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x = \pm 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos^{2} x = 1 \end{cases} .$ Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.

= Phương trình $\Leftrightarrow \cos^{2} x - 3 \sin x \cos x + \sin^{2} x + \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow \sin^{2} x - 3 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow \tan^{2} x - 3 \tan x + 2 = 0$ . Vậy B đúng.

= Phương trình $\Leftrightarrow \cos^{2} x - 3 \sin x \cos x + \sin^{2} x + \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow 2 \cos^{2} x - 3 \sin x \cos x + \sin^{2} x = 0 \Leftrightarrow 2 \cot^{2} x - 3 \cot x + 1 = 0$ . Vậy C sai. Chọn C

= Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1 + \cos 2 x}{2} - 3 \frac{\sin 2 x}{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2 x - 3 \sin 2 x + 3 = 0.$ Vậy D đúng.

Câu 117

Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình $\sin^{2} x - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^{2} x = 5$ trên đường tròn lượng giác là?

A. 4.

B. 3.

C.2 .

D. 1.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow \sin^{2} x - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^{2} x = 5 (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$

$\Leftrightarrow - 4 \sin^{2} x - 4 \sin x \cos x - \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow {(2 \sin x + \cos x)}^{2} = 0 \Leftrightarrow 2 \sin x + \cos x = 0$

$\Leftrightarrow \tan x = - \frac{1}{2} \overset{}{\to}$ có 2 vị trí biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng gác. Chọn C

Câu 118

Số nghiệm của phương trình $\cos^{2} x - 3 \sin x \cos x + 2 \sin^{2} x = 0$ trên $(- 2 π; 2 π)$ ?

A. 2.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow 1 - 3 \tan x + 2 \tan^{2} x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = 1 \\ \tan x = \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = \arctan \frac{1}{2} + k π \end{array} .$

Vì $x \in (- 2 π; 2 π) \overset{}{\to} - 2 π < \frac{π}{4} + k π < 2 π \to - \frac{9}{4} < k < \frac{7}{4} \overset{k \in ℤ}{\to} k \in \{- 2; - 1; 0; 1\}$ .

Vì $x \in (- 2 π; 2 π) \overset{}{\to} - 2 π < \arctan \frac{1}{2} + k π < 2 π$

$\to_{xapxi}^{CASIO} - 28, 565 < k < - 24, 565 \overset{k \in ℤ}{\to} k \in \{- 28; - 27; - 26; - 25\}$ .

Vậy có tất cả 8 nghiệm. Chọn D

Câu 119

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $4 \sin^{2} x + 3 \sqrt{3} \sin 2 x - 2 \cos^{2} x = 4$ là

A.

\frac{π}{12}

.

B. $\frac{π}{6}$ .

C.

\frac{π}{4}

D.

\frac{π}{3}

.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow 4 \sin^{2} x + 3 \sqrt{3} \sin 2 x - 2 \cos^{2} x = 4 (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$

$\Leftrightarrow 3 \sqrt{3} \sin 2 x - 6 \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow 6 \cos x (\sqrt{3} \sin x - \cos x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{array} \overset{Cho > 0}{\to} [\begin{array}{l} \frac{π}{2} + k π > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{2} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = \frac{π}{2} \\ \frac{π}{6} + k π > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{6} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\min} = 0 \to x = \frac{π}{6} \end{array} .$

So sánh hai nghiệm ta được $x = \frac{π}{6}$ là nghiệm dương nhỏ nhất. Chọn B

Câu 120

Cho phương trình $(\sqrt{2} - 1) \sin^{2} x + \sin 2 x + (\sqrt{2} + 1) \cos^{2} x - \sqrt{2} = 0$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $x = \frac{7 π}{8}$ là một nghiệm của phương trình

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho

\cos^{2} x

thì ta được phương trình

\tan^{2} x - 2 \tan x - 1 = 0

.

C. Nếu chia hai vế của phương trình cho

\sin^{2} x

thì ta được phương trình

\cot^{2} x + 2 \cot x - 1 = 0

.

D. Phương trình đã cho tương đương với

\cos 2 x - \sin 2 x = 1

.

Lời giải

Chọn D

Câu 121

Giải phương trình $2 \sin^{2} x + (1 - \sqrt{3}) \sin x \cos x + (1 - \sqrt{3}) \cos^{2} x = 1.$

A. $- \frac{π}{6}$ .

B. $- \frac{π}{4}$ .

C.

- \frac{2 π}{3}

D. $- \frac{π}{12}$

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow 2 \sin^{2} x + (1 - \sqrt{3}) \sin x \cos x + (1 - \sqrt{3}) \cos^{2} x = \sin^{2} x + \cos^{2} x$

$\Leftrightarrow \sin^{2} x + (1 - \sqrt{3}) \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow \tan^{2} x + (1 - \sqrt{3}) \tan x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = - 1 \\ \tan x = \sqrt{3} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{4} + k π \\ x = \frac{π}{3} + k π \end{array}$

$\overset{Cho < 0}{\to} [\begin{array}{l} - \frac{π}{4} + k π < 0 \Leftrightarrow k < \frac{1}{4} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\max} = 0 \to x = - \frac{π}{4} \\ \frac{π}{3} + k π < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{1}{3} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\max} = - 1 \to x = - \frac{2 π}{3} \end{array} .$

So sánh hai nghiệm ta được $x = - \frac{π}{4}$ là nghiệm âm lớn nhất. Chọn B

Câu 122

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 10; 10]$ để phương trình $11 \sin^{2} x + (m - 2) \sin 2 x + 3 \cos^{2} x = 2$ có nghiệm?

A.16

B.21

C. 15

D.6

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow 9 \sin^{2} x + (m - 2) \sin 2 x + \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow 9. \frac{1 - \cos 2 x}{2} + (m - 2) \sin 2 x + \frac{1 + \cos 2 x}{2} = 0 \Leftrightarrow (m - 2) \sin 2 x - 4 \cos 2 x = - 5.$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {(m - 2)}^{2} + 16 \geq 25 \Leftrightarrow {(m - 2)}^{2} \geq 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq 5 \\ m \leq - 1 \end{array}$

$\to_{m \in [- 10; 10]}^{m \in ℤ} m \in \{- 10; - 9; ...; - 1; 5; 6; ...; 10\} \overset{}{\to}$ có 16 giá trị nguyên. Chọn A

Câu 123

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình $\sin^{2} x - 2 (m - 1) \sin x \cos x - (m - 1) \cos^{2} x = m$ có nghiệm?

A.2

B.1

C. 0

D. Vô số.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow (1 - m) \sin^{2} x - 2 (m - 1) \sin x \cos x - (2 m - 1) \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow (1 - m) . \frac{1 - \cos 2 x}{2} - (m - 1) \sin 2 x - (2 m - 1) . \frac{1 + \cos 2 x}{2} = 0$

$\Leftrightarrow 2 (m - 1) \sin 2 x + m \cos 2 x = 2 - 3 m .$

Phương trình có nghiệm $4 {(m - 1)}^{2} + m^{2} \geq {(2 - 3 m)}^{2} \Leftrightarrow 4 m^{2} - 4 m \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 1$

$\to_{}^{m \in ℤ} m \in \{0; 1\} \overset{}{\to}$ có 2 giá trị nguyên. Chọn A

Câu 124

Tìm điều kiện để phương trình $a \sin^{2} x + a \sin x \cos x + b \cos^{2} x = 0$ với $a \neq 0$ có nghiệm.

A.

a \geq 4 b

.

B.

a \leq - 4 b

.

C.

\frac{4 b}{a} \leq 1

.

D.

|\frac{4 b}{a}| \leq 1

.

Lời giải

Phương trình $a \tan^{2} x + a \tan x + b = 0$ .

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow Δ = a^{2} - 4 a b \geq 0 \Leftrightarrow a (a - 4 b) \geq 0$

$\Leftrightarrow a (4 b - a) \leq 0 \Leftrightarrow \frac{4 b - a}{a} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{4 b}{a} \leq 1.$ Chọn C

Câu 125

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $2 \sin^{2} x + m \sin 2 x = 2 m$

A. $0 \leq m \leq \frac{4}{3}$ .

B. $m < 0$ ,

m > \frac{4}{3}

.

C.

0 < m < \frac{4}{3}

D. $m < - \frac{4}{3}$ ,

m > 0

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow 2. \frac{1 - \cos 2 x}{2} + m \sin 2 x = 2 m \Leftrightarrow m \sin 2 x - \cos 2 x = 2 m - 1.$

Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow m^{2} + 1 < {(2 m - 1)}^{2} \Leftrightarrow 3 m^{2} - 4 m > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < 0 \\ m > \frac{4}{3} \end{array} .$ Chọn B

Câu 126

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 3; 3]$ để phương trình $(m^{2} + 2) \cos^{2} x - 2 m \sin 2 x + 1 = 0$ có nghiệm.

A. 3.

B.7 .

C. 6.

D.4.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow (m^{2} + 2) . \frac{1 + \cos 2 x}{2} - 2 m \sin 2 x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4 m \sin 2 x - (m^{2} + 2) \cos 2 x = m^{2} + 4$ .

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow 16 m^{2} + {(m^{2} + 2)}^{2} \geq {(m^{2} + 4)}^{2} \Leftrightarrow 12 m^{2} \geq 12 \Leftrightarrow m^{2} \geq 1 \Leftrightarrow |m| \geq 1$

$\to_{m \in [- 3; 3]}^{m \in ℤ} m \in \{- 3; - 2; - 1; 1; 2; 3\} \overset{}{\to}$ có 6 giá trị nguyên. Chọn C

Câu 127

Giải phương trình $\sin x \cos x + 2 (\sin x + \cos x) = 2$ .

A.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = k π \end{array}, k \in ℤ .

B.

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

C.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

D.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + k π \\ x = k π \end{array}, k \in ℤ .

Lời giải

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ . Vì $\sin (x + \frac{π}{4}) \in [- 1; 1] \Rightarrow t \in [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .

Ta có $t^{2} = {(\sin x + \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$ .

Khi đó, phương trình đã cho trở thành $\frac{t^{2} - 1}{2} + 2 t = 2 \Leftrightarrow t^{2} + 4 t - 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 5 (l o a ï i) \end{array} .$

Với $t = 1$ , ta được $\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4}$ .

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ$ . Chọn B

Câu 128

Cho phương trình $3 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 2 \sin 2 x + 4 = 0$ . Đặt $t = \sin x + \cos x$ , ta được phương trình nào dưới đây?

A.

2 t^{2} + 3 \sqrt{2} t + 2 = 0.

B. $4 t^{2} + 3 \sqrt{2} t + 4 = 0.$

C.

2 t^{2} + 3 \sqrt{2} t - 2 = 0.

D.

4 t^{2} + 3 \sqrt{2} t - 4 = 0.

Lời giải

Đặt $t = \sin x + \cos x \overset{}{\to} s i n 2 x = t^{2} - 1.$

Phương trình đã cho trở thành $3 \sqrt{2} t + 2 (t^{2} - 1) + 4 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} + 3 \sqrt{2} t + 2 = 0.$ Chọn A

Câu 129

Cho phương trình $5 \sin 2 x + \sin x + \cos x + 6 = 0$ . Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho?

A.

\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} .

B.

\cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} .

C.

\tan x = 1.

D.

1 + \tan^{2} x = 0.

Lời giải

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ . Điều kiện $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} .$

Ta có $t^{2} = {(\sin x + \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x + 2. \sin x . \cos x \Rightarrow \sin 2 x = t^{2} - 1.$

Khi đó, phương trình đã cho trở thành $5 (t^{2} - 1) + t + 6 = 0 \Leftrightarrow 5 t^{2} + t + 1 = 0$ : vô nghiệm.

Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình $1 + \tan^{2} x = 0.$ Chọn D

Câu 130

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2 x$ là:

A.

- \frac{π}{2} .

B.

- π .

C.

- \frac{3 π}{2} .

D.

- 2 π .

Lời giải

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ . Điều kiện $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} .$

Ta có $t^{2} = {(\sin x + \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin 2 x = t^{2} - 1.$

Phương trình đã cho trở thành $t = 1 - \frac{t^{2} - 1}{2} \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 (l o a ï i) \end{array} .$

Với t=1, ta được $\sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ$ .

TH1. Với $x = k 2 π < 0 \Leftrightarrow k < 0 \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\max} = - 1 \to x = - 2 π .$

TH2. Với $x = \frac{π}{2} + k 2 π < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{1}{4} \overset{k \in ℤ}{\to} k_{\max} = - 1 \to x = - \frac{3 π}{2} .$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{3 π}{2}$ . Chọn C

Câu 131

Cho x thỏa mãn phương trình $\sin 2 x + \sin x - \cos x = 1$ . Tính $\sin (x - \frac{π}{4}) .$

A. $\sin (x - \frac{π}{4}) = 0$ hoặc

\sin (x - \frac{π}{4}) = 1

.

B. $\sin (x - \frac{π}{4}) = 0$ hoặc

\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

C.

\sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} .

D. $\sin (x - \frac{π}{4}) = 0$ hoặc

\sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}

.

Lời giải

Đặt $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ . Điều kiện $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} .$

Ta có $t^{2} = {(\sin x - \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x - 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin 2 x = 1 - t^{2} .$

Phương trình đã cho trở thành $1 - t^{2} + t = 1 \Leftrightarrow t^{2} - t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = 1 \end{array}$ .

Với t=1, ta được $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Với t=0, ta được $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = 0.$

Chọn B

Câu 132

Từ phương trình $5 \sin 2 x - 16 (\sin x - \cos x) + 16 = 0$ , ta tìm được $\sin (x + \frac{π}{4})$ có giá trị bằng:

A.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

B.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

C.1

D.

\pm \frac{\sqrt{2}}{2} .

Lời giải

Đặt $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ . Điều kiện $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} .$

Ta có $t^{2} = {(\sin x - \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x - 2. \sin x \cos x \Rightarrow \sin 2 x = 1 - t^{2} .$

Phương trình đã cho trở thành $5 (1 - t^{2}) - 16 t + 16 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - \frac{21}{5} (l o a ï i) \end{array} .$

Với $t = 1 \Rightarrow \sin x - \cos x = 1.$ (*)

Mặt khác ${(\sin x + \cos x)}^{2} + {(\sin x - \cos x)}^{2} = 2$ , kết hợp với (*) suy ra

${(\sin x + \cos x)}^{2} + 1 = 2 \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \pm 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Chọn D

Câu 133

Cho x thỏa mãn $6 (\sin x - \cos x) + \sin x \cos x + 6 = 0$ . Tính $\cos (x + \frac{π}{4}) .$

A.

\cos (x + \frac{π}{4}) = - 1.

B.

\cos (x + \frac{π}{4}) = 1.

C.

\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} .

D.

\cos (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} .

Lời giải

Đặt $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ . Điều kiện $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} .$

Ta có $t^{2} = {(\sin x - \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x - 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} .$

Phương trình đã cho trở thành $6 t + \frac{1 - t^{2}}{2} + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = 13 (l o a ï i) \end{array}$

$\Rightarrow \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \cos [\frac{π}{2} - (\frac{π}{4} - x)] = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} .$ Chọn C

Câu 134

Từ phương trình $(1 + \sqrt{3}) (\cos x + \sin x) - 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} - 1 = 0$ , nếu ta đặt $t = \cos x + \sin x$ thì giá trị của t nhận được là:

A. t=1 hoặc

t = \sqrt{2}

.

B. t=1 hoặc

t = \sqrt{3}

C. t=1.

D. $t = \sqrt{3}$ .

Lời giải

Đặt $t = \sin x - \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} .$

Phương trình trở thành $(1 + \sqrt{3}) t - (t^{2} - 1) - \sqrt{3} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} - (1 + \sqrt{3}) t + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = \sqrt{3} (l o a ï i) \end{array} \Leftrightarrow t = 1.$ Chọn C

Câu 135

Nếu $(1 + \sqrt{5}) (\sin x - \cos x) + \sin 2 x - 1 - \sqrt{5} = 0$ thì $\sin x$ bằng bao nhiêu?

A. $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

B.

\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}

hoặc

\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}

C. $\sin x = - 1$ hoặc

\sin x = 0

.

D.

\sin x = 0

hoặc

\sin x = 1

.

Lời giải

Đặt $t = \sin x - \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} .$

Phương trình trở thành $(1 + \sqrt{5}) t + 1 - t^{2} - 1 - \sqrt{5} = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} - (1 + \sqrt{5}) t + \sqrt{5} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = \sqrt{5} (l o a ï i) \end{array}$

$\Rightarrow \sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \sin x - 1$ .

Mặt khác $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \Rightarrow \sin^{2} x + {(\sin x - 1)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \sin x = 1 \end{array} .$ Chọn D

Câu 136

Nếu $(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2$ thì $\cos (x - \frac{π}{4})$ bằng bao nhiêu?

A.-1

B.1.

C.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

D.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

Lời giải

Ta có $(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2 \Leftrightarrow 1 + \sin x + \cos x + \sin x . \cos x = 2$

$\Leftrightarrow \sin x + \cos x + \sin x . \cos x = 1 \Leftrightarrow 2 (\sin x + \cos x) + 2. \sin x . \cos x = 2.$ (*)

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Khi đó (*) trở thành $2 t + t^{2} - 1 = 2 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 (l o a ï i) \end{array}$

$\Rightarrow \sin x + \cos x = 1$ .

Ta có $\cos (x - \frac{π}{4}) = \cos x \cos \frac{π}{4} + \sin x \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos x + \sin x) = \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Chọn C

Câu 137

Cho x thỏa mãn $2 \sin 2 x - 3 \sqrt{6} |\sin x + \cos x| + 8 = 0$ . Tính $\sin 2 x .$

A.

\sin 2 x = - \frac{1}{2} .

B.

\sin 2 x = - \frac{\sqrt{2}}{2} .

C.

\sin 2 x = \frac{1}{2} .

D.

\sin 2 x = \frac{\sqrt{2}}{2} .

Lời giải

Đặt $t = |\sin x + \cos x| = \sqrt{2} |\sin (x + \frac{π}{4})|$ . Vì $\sin (x + \frac{π}{4}) \in [- 1; 1] \Rightarrow t \in [0; \sqrt{2}]$ .

Ta có $t^{2} = {(\sin x + \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin 2 x = t^{2} - 1.$

Phương trình đã cho trở thành $2 (t^{2} - 1) - 3 \sqrt{6} t + 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{\sqrt{6}}{2} \\ t = \sqrt{6} (l o a ï i) \end{array}$

$\sin 2 x = t^{2} - 1 = \frac{1}{2} .$ Chọn C

Câu 138

Hỏi trên đoạn $[0; 2018 π]$ , phương trình $|\sin x - \cos x| + 4 \sin 2 x = 1$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 4037

B. 4036

C. 2018

D.2019

Lời giải

Đặt $t = |\sin x - \cos x| = \sqrt{2} |\sin (x - \frac{π}{4})|$ . Vì $\sin (x - \frac{π}{4}) \in [- 1; 1] \Rightarrow t \in [0; \sqrt{2}]$ .

Ta có $t^{2} = {(\sin x - \cos x)}^{2} = \sin^{2} x + \cos^{2} x - 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin 2 x = 1 - t^{2} .$

Phương trình đã cho trở thành $t + 4 (1 - t^{2}) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - \frac{3}{4} (l o a ï i) \end{array} .$

Với $t = 1$ , ta được $\sin 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = k π \Leftrightarrow x = \frac{k π}{2}, k \in ℤ$ .

Theo giả thiết $x \in [0; 2018 π] \overset{}{\to} 0 \leq \frac{k π}{2} \leq 2018 π \Leftrightarrow 0 \leq k \leq 4046$

$\overset{k \in ℤ}{\to} k \in \{0; 1; 2; 3; ...; 4036\} \overset{}{\to}$ có 4037 giá trị của k nê có 4037 nghiệm. Chọn A

Câu 139

Từ phương trình $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \tan x + \cot x$ , ta tìm được $\cos x$ có giá trị bằng:

A. 1

B.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

C.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

D.

- 1.

Lời giải

Điều kiện $\{\begin{cases} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0$ .

Ta có $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \tan x + \cot x \Leftrightarrow \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin x \cos x} \Leftrightarrow 2 \sin x \cos x . \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = 2.$

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Phương trình trở thành $\Leftrightarrow \sqrt{2} t (t^{2} - 1) = 2 \Leftrightarrow t^{3} - t - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \sin x + \cos x = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sin x = \sqrt{2} - \cos x .$

Mà $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \Rightarrow \cos^{2} x + {(\sqrt{2} - \cos x)}^{2} = 1 \Leftrightarrow 2 \cos^{2} x - 2 \sqrt{2} \cos x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {(\sqrt{2} \cos x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Chọn C

Câu 140

Từ phương trình $1 + \sin^{3} x + \cos^{3} x = \frac{3}{2} \sin 2 x$ , ta tìm được $\cos (x + \frac{π}{4})$ có giá trị bằng:

A.1

B.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

C.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

D.

\pm \frac{\sqrt{2}}{2} .

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow 1 + (\sin x + \cos x) (1 - \sin x \cos x) = \frac{3}{2} \sin 2 x$

$\Leftrightarrow 2 + (\sin x + \cos x) (2 - \sin 2 x) = 3 \sin 2 x .$

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Phương trình trở thành $2 + t (2 - t^{2} + 1) = 3 (t^{2} - 1)$

$\Leftrightarrow t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 1 \pm \sqrt{6} (l o a ï i) \end{array} .$

Với $t = - 1$ , ta được $\sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Mà $\sin^{2} (x + \frac{π}{4}) + \cos^{2} (x + \frac{π}{4}) = 1 \overset{}{\to} \cos^{2} (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{4}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Chọn D

Câu 141

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sin x \cos x - \sin x - \cos x + m = 0$ có nghiệm?

A.1

B.2

C.3

D.4.

Lời giải

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \overset{}{\to} \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Phương trình trở thành $\frac{t^{2} - 1}{2} - t + m = 0 \Leftrightarrow - 2 m = t^{2} - 2 t - 1 \Leftrightarrow {(t - 1)}^{2} = - 2 m + 2$ .

Do $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} \overset{}{\to} - \sqrt{2} - 1 \leq t - 1 \leq \sqrt{2} - 1 \overset{}{\to} 0 \leq {(t - 1)}^{2} \leq 3 + 2 \sqrt{2}$ .

Vậy để phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow 0 \leq - 2 m + 2 \leq 3 + 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow - \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2} \leq m \leq 1$

$\overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{- 1; 0; 1\} .$ Chọn C

141 câu Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác có đáp án (Mới nhất)

🔥 Đề thi HOT:

10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)

Bài tập Hình học không gian lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P11)

10 Bài tập Biến cố hợp. Biến cố giao (có lời giải)

15 câu Trắc nghiệm Khoảng cách có đáp án (Nhận biết)

10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)

Bài tập Xác suất ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P1)

23 câu Trắc nghiệm Xác suất của biến cố có đáp án (Phần 2)

10 Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến thể tích (có lời giải)

Nội dung liên quan:

29 câu Trắc nghiệm Hàm số lượng giác có đáp án

15 câu Trắc nghiệm Hàm số lượng giác có đáp án (Nhận biết)

15 câu Trắc nghiệm Hàm số lượng giác có đáp án (Thông hiểu)

10 câu Trắc nghiệm Hàm số lượng giác có đáp án (Vận dụng)

21 câu Trắc nghiệm Hàm số lượng giác có đáp án (Phần 2)

184 câu Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác có đáp án (Mới nhất)

27 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

15 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án (Nhận biết)

15 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án (Thông hiểu)

10 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án (Vận dụng)

Danh sách câu hỏi:

Phương trình 2sinx−1=0 có tập nghiệm là

Phương trình cotx+3=0 có các nghiệm là

Phương trình sinx=cosxcó số nghiệm thuộc đoạn −π;π là

Số nghiệm trên đoạn 0;2π của phương trình sin2x−2cosx=0 là

Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin2x−3sinx+1=0 thỏa điều kiện 0≤x<π2 là

Tập nghiệm S của phương trình cos2x−3cosx=0 là

Tập nghiệm của phương trình sin2x−5sinx+4=0 là

Tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;π của phương trình 2cos25x+3cos5x−5=0 là

Nghiệm của phương trình cosx+sinx=1 là

Nghiệm của phương trình sinx+3cosx=2 là

Tìm số nghiệm x∈−3π2;−π2 của phương trình 3sinx=cos3π2−2x ?

Điều kiện để phương trình: 3sinx+mcosx=5 vô nghiệm là

Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình m+1sinx−3cosx=m+2 có nghiệm là

Điều kiện của m để phương trình msinx−3cosx=5 có nghiệm là.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin2x+msin2x=2m vô nghiệm?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 0;10 để phương trình m+1sinx−cosx=1−mcó nghiệm.

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:

Tìm nghiệm của phương trình 2sinx−3=0 .

Nghiệm của phương trình sin2x−4sinx+3=0 là

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

Giải phương trình 3sin2x−2cosx+2=0 .

Nghiệm của phương trình lượng giác sin2x−2sinx=0 có nghiệm là:

Nghiệm của phương trình 2sin2x–3sinx+1=0 thỏa điều kiện: 0≤x<π2 .

Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin2x+5sinx−3=0 là:

Phương trình cos2x+4sinx+5=0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng 0;10π ?

Phương trình lượng giác cos2 x+2cosx−3=0 có nghiệm là:

Cho phương trình:cos2x+sinx−1=0* . Bằng cách đặt t=sinx−1≤t≤1 thì phương trình * trở thành phương trình nào sau đây?

Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;10π của phương trình sin22x+3sin2x+2=0 .

Số nghiệm của phương trình 2sin22x+cos2x+1=0 trong 0 ; 2018π là

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos2x−cosx=0 thỏa mãn điều kiện 0<x<π .

Nghiệm của phương trình 3cos2x=– 8cosx–5 là

Giải phương trình 2sin2x+3sin2x=3

Giải phương trình sin2x+sin2xtan2x=3 .

Giải phương trình 4sin4x+cos4x=5cos2x.

Giải phương trình cos4x3=cos2x .

Nghiệm của phương trình:sinx+cosx=1 là

Phương trình 2sin2x+3sin2x=3 có nghiệm là

Điều kiện có nghiệm của pt a.sin5x+b.cos5x=c là

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 5sinx−12cosx=m có nghiệm?

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=sinx+sin(x+π3) bằng a và b. Khi đó S=a+b+ab có giá trị bằng

Cho phương trình 2msinxcosx+4cos2x=m+5, với m là một phần tử của tập hợp E=−3; −2; − 1; 0; 1; 2 . Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm?

Số nghiệm thuộc −3π2;−π của phương trình 3sinx=cos3π2−2x là:

Nghiệm của phương trình sinx+3cosx= 2 là:

Tìm giá trị nguyên lớn nhất của a để phương trình asin2x+2sin2x+3acos2x=2 có nghiệm

Nghiệm của phương trình cosx+sinx=1 là

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình msinx2+cosx2=5 có nghiệm.

Phương trình 3−1sinx−3+1cosx+3−1=0 có các nghiệm là:.

Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình mcosx−m+2sinx+2m+1=0 có nghiệm.

Nghiệm của phương trình 3sinx+cosx=0 là

Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0;π của phương trình:2cos3x=sinx+cosx

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn −10;10 để phương trình sinx−π3−3cosx−π3=2m vô nghiệm.

Cho phương trình msinx+4cosx=2m−5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm?

Phương trình: 3sin3x+3sin9x=1+4sin33x có các nghiệm là:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình sinx2+m−1.cosx2=5 vô nghiệm?

Hàm số y=2sin2x+cos2xsin2x−cos2x+3 có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 4sinx+m−4cosx−2m+5=0 có nghiệm là:

Tìm m để phương trình msinx+5cosx=m+1 có nghiệm

Phương trình $2 sin x - 1 = 0$ có tập nghiệm là

Phương trình $cot x + \sqrt{3} = 0$ có các nghiệm là

Phương trình $sin x = cos x$ có số nghiệm thuộc đoạn $[- π; π]$ là

Số nghiệm trên đoạn $[0; 2 π]$ của phương trình $sin 2 x - 2 cos x = 0$ là

Nghiệm của phương trình lượng giác: $2 {sin}^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$ thỏa điều kiện $0 \leq x < \frac{π}{2}$ là

Tập nghiệm S của phương trình ${cos}^{2} x - 3 cos x = 0$ là

Tập nghiệm của phương trình ${sin}^{2} x - 5 sin x + 4 = 0$ là

Tổng các nghiệm thuộc khoảng $(0; π)$ của phương trình $2 {cos}^{2} 5 x + 3 cos 5 x - 5 = 0$ là

Nghiệm của phương trình $cos x + sin x = 1$ là

Nghiệm của phương trình $sin x + \sqrt{3} cos x = \sqrt{2}$ là

Tìm số nghiệm $x \in [- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2})$ của phương trình $\sqrt{3} sin x = cos (\frac{3 π}{2} - 2 x)$ ?

Điều kiện để phương trình: $3 sinx + mcosx = 5$ vô nghiệm là

Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình $(m + 1) sinx - 3 cos x = m + 2$ có nghiệm là

Điều kiện của m để phương trình $m sin x - 3 cos x = 5$ có nghiệm là.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $2 s i n^{2} x + m s i n 2 x = 2 m$ vô nghiệm?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[0; 10]$ để phương trình $(m + 1) sin x - cos x = 1 - m$ có nghiệm.

Tìm nghiệm của phương trình $2 \sin x - 3 = 0$ .

Nghiệm của phương trình $\sin^{2} x - 4 \sin x + 3 = 0$ là

Giải phương trình $3 \sin^{2} x - 2 \cos x + 2 = 0$ .

Nghiệm của phương trình lượng giác $\sin^{2} x - 2 \sin x = 0$ có nghiệm là:

Nghiệm của phương trình $2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0$ thỏa điều kiện: $0 \leq x < \frac{π}{2}$ .

Nghiệm dương bé nhất của phương trình: $2 \sin^{2} x + 5 \sin x - 3 = 0$ là:

Phương trình $\cos 2 x + 4 \sin x + 5 = 0$ có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $(0; 10 π)$ ?

Phương trình lượng giác $\cos^{2} x + 2 \cos x - 3 = 0$ có nghiệm là:

Cho phương trình: $\cos 2 x + \sin x - 1 = 0$ $()$ . Bằng cách đặt $t = \sin x$ $(- 1 \leq t \leq 1)$ thì phương trình $()$ trở thành phương trình nào sau đây?

Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn $[0; 10 π]$ của phương trình $\sin^{2} 2 x + 3 \sin 2 x + 2 = 0$ .

Số nghiệm của phương trình $2 \sin^{2} 2 x + \cos 2 x + 1 = 0$ trong $[0; 2018 π]$ là

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác $\cos^{2} x - \cos x = 0$ thỏa mãn điều kiện $0 < x < π$ .

Nghiệm của phương trình $3 \cos^{2} x = - 8 \cos x - 5$ là

Giải phương trình $2 s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n 2 x = 3$

Giải phương trình $\sin^{2} x + \sin^{2} x \tan^{2} x = 3$ .

Giải phương trình $4 (\sin^{4} x + \cos^{4} x) = 5 \cos 2 x .$

Giải phương trình $\cos \frac{4 x}{3} = \cos^{2} x$ .

Nghiệm của phương trình: $\sin x + \cos x = 1$ là

Phương trình $2 \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin 2 x = 3$ có nghiệm là

Điều kiện có nghiệm của pt $a . \sin 5 x + b . \cos 5 x = c$ là

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $5 \sin x - 12 \cos x = m$ có nghiệm?

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = s inx + \sin (x + \frac{π}{3})$ bằng a và b. Khi đó $S = a + b + a b$ có giá trị bằng

Cho phương trình $2 m \sin x \cos x + 4 \cos^{2} x = m + 5$ , với m là một phần tử của tập hợp $E = \{- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2\}$ . Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm?

Số nghiệm thuộc $[- \frac{3 π}{2}; - π]$ của phương trình $\sqrt{3} \sin x = \cos (\frac{3 π}{2} - 2 x)$ là:

Nghiệm của phương trình $\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$ là:

Tìm giá trị nguyên lớn nhất của a để phương trình $a \sin^{2} x + 2 \sin 2 x + 3 a \cos^{2} x = 2$ có nghiệm

Nghiệm của phương trình $\cos x + \sin x = 1$ là

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $m \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{5}$ có nghiệm.

Phương trình $(\sqrt{3} - 1) \sin x - (\sqrt{3} + 1) \cos x + \sqrt{3} - 1 = 0$ có các nghiệm là:.

Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình $m \cos x - (m + 2) \sin x + 2 m + 1 = 0$ có nghiệm.

Nghiệm của phương trình $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$ là

Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng $(0; π)$ của phương trình: $\sqrt{2} \cos 3 x = \sin x + \cos x$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 10; 10]$ để phương trình $\sin (x - \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos (x - \frac{π}{3}) = 2 m$ vô nghiệm.

Cho phương trình $m \sin x + 4 \cos x = 2 m - 5$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm?

Phương trình: $3 \sin 3 x + \sqrt{3} \sin 9 x = 1 + 4 \sin^{3} 3 x$ có các nghiệm là:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $\sin \frac{x}{2} + (m - 1) . \cos \frac{x}{2} = \sqrt{5}$ vô nghiệm?

Hàm số $y = \frac{2 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x - \cos 2 x + 3}$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình $4 \sin x + (m - 4) \cos x - 2 m + 5 = 0$ có nghiệm là:

Tìm m để phương trình $m \sin x + 5 \cos x = m + 1$ có nghiệm

Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình $a \sin^{2} x + 2 \sin 2 x + 3 a \cos^{2} x = 2$ có nghiệm?

Để phương trình $m \sin 2 x + c os2 x = 2$ có nghiệm thì m thỏa mãn

Tìm $8 π$ để phương trình $2 \sin x + m \cos x = 1 - m$ có nghiệm $x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $2 s i n^{2} x + m s i n 2 x = 2 m$ vô nghiệm?

Điều kiện để phương trình $m . \sin x - 3 \cos x = 5$ có nghiệm là:

Tìm m để phương trình $m = \frac{\cos x + 2 \sin x + 3}{2 \cos x - \sin x + 4}$ có nghiệm.

Để phương trình: $\sin^{2} x + 2 (m + 1) \sin x - 3 m (m - 2) = 0$ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

Cho phương trình: $\sin x \cos x - \sin x - \cos x + m = 0$ , trong đó m là tham số thựC. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2 \cos x - \sqrt{3} = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hỏi $x = \frac{7 π}{3}$ là một nghiệm của phương trình nào sau đây?

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $2 \sin (4 x - \frac{π}{3}) - 1 = 0.$

Hỏi trên đoạn $[0; 2018 π]$ , phương trình $\sqrt{3} \cot x - 3 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình $2 \cos^{2} x = 1$ ?

Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình $\tan^{2} x = 3$ ?

Giải phương trình $4 \sin^{2} x = 3$ .

Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình $3 \sin^{2} x = \cos^{2} x$ ?

Với x thuộc (0;10), hỏi phương trình $\cos^{2} (6 π x) = \frac{3}{4}$ có bao nhiêu nghiệm?

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{3} \cos x + m - 1 = 0$ có nghiệm?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 2108; 2018]$ để phương trình $m \cos x + 1 = 0$ có nghiệm?

Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình $(m - 2) \sin 2 x = m + 1$ nhận $x = \frac{π}{12}$ làm nghiệm.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $(m + 1) \sin x + 2 - m = 0$ có nghiệm.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $(m - 2) \sin 2 x = m + 1$ vô nghiệm

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $\cos 2 x - \sin 2 x = 1$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Số nghiệm của phương trình $\sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x = \sqrt{3}$ trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$ là?

Tính tổng T các nghiệm của phương trình $\cos^{2} x - \sin 2 x = \sqrt{2} + \sin^{2} x$ trên khoảng $(0; 2 π) .$