48 câu Chủ đề 1: Vectơ trong không gian

Câu 1

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C} = 2 \vec{M N}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng vectơ AC (ảnh 1)

Ta có $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C}$

$\Leftrightarrow \vec{A C} - \vec{A D} = \vec{B C} - \vec{B D}$

$\Leftrightarrow \vec{D C} = \vec{D C}$ (đẳng thức này đúng).

Do M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD

nên $\{\begin{cases} \vec{A M} + \vec{B M} = 0 \\ \vec{N C} + \vec{N D} = 0 \end{cases}$

Do đó $\vec{A D} + \vec{B C} = (\vec{A M} + \vec{M N} + \vec{N B}) + (\vec{B M} + \vec{M N} + \vec{N D})$

$= (\vec{A M} + \vec{B M}) + (\vec{N B} + \vec{N D}) + 2 \vec{M N} = 2 \vec{M N}$

Vậy $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C} = 2 \vec{M N}$

Câu 2

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Sử dụng các đỉnh của hình hộp làm điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

a) Hãy kể tên các vectơ bằng nhau lần lượt bằng các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}, \vec{A A^{'}}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Sử dụng các đỉnh của hình hộp làm điểm đầu và điểm cuối của (ảnh 1)

+) $\vec{A B} = \vec{D C} = \vec{A^{'} B^{'}} = \vec{D^{'} C^{'}}$

+) $\vec{A C} = \vec{A^{'} C^{'}}$

+) $\vec{A D} = \vec{B C} = \vec{A^{'} D^{'}} = \vec{B^{'} C^{'}}$

+) $\vec{A A^{'}} = \vec{B B^{'}} = \vec{C C^{'}} = \vec{D D^{'}}$

Câu 3

Hãy kể tên các vectơ luôn có độ dài bằng nhau và bằng độ dài của vectơ $\vec{B C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Từ tính chất của hình bình hành, ta suy ra các vectơ luôn có độ dài bằng độ dài của vectơ $\vec{B C}$ là $\vec{B C}, \vec{C B}, \vec{A D}, \vec{D A}, \vec{A^{'} D^{'}}, \vec{D^{'} A^{'}}, \vec{B^{'} C^{'}}, \vec{C^{'} B^{'}}$

Câu 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Chứng minh $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. a) Chứng minh vectơ SA + vectơ SC (ảnh 1)

a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì O là trung điểm của mỗi đường chéo AC và BD.

Do đó $\vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O}$ và $\vec{S B} + \vec{S D} = 2 \vec{S O}$

Vậy $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$

Câu 5

b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì ${\vec{S A}}^{2} + {\vec{S C}}^{2} = {\vec{S B}}^{2} + {\vec{S D}}^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có ${\vec{S A}}^{2} = {(\vec{S O} + \vec{O A})}^{2} = {\vec{S O}}^{2} + {\vec{O A}}^{2} + 2 \vec{S O} . \vec{O A}$ ,

${\vec{S C}}^{2} = {(\vec{S O} + \vec{O C})}^{2} = {\vec{S O}}^{2} + {\vec{O C}}^{2} + 2 \vec{S O} . \vec{O C}$

Suy ra ${\vec{S A}}^{2} + {\vec{S C}}^{2} = 2 {\vec{S O}}^{2} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{O C}}^{2} + 2 \vec{S O} (\vec{O A} + \vec{O C})$

$= 2 ({\vec{S O}}^{2} + {\vec{O A}}^{2})$ (vì $\vec{O A}$ và $\vec{O C}$ là hai vectơ đối nhau nên $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ )

$= 2 (S O^{2} + O A^{2})$

Tương tự ${\vec{S B}}^{2} + {\vec{S D}}^{2} = 2 (S O^{2} + O B^{2})$

Mà ABCD là hình chữ nhật nên OA = OB

Suy ra ${\vec{S A}}^{2} + {\vec{S C}}^{2} = {\vec{S B}}^{2} + {\vec{S D}}^{2}$

Câu 6

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho $A M = 2 M D, B C = 3 N C$ . Chứng minh ba vectơ $\vec{A B}, \vec{C D}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

48 câu Chủ đề 1: Vectơ trong không gian

🔥 Đề thi HOT:

10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)

Bài tập Xác suất ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P1)

Bài tập Hình học không gian lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P11)

Bài tập Lượng giác lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)

12 câu Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án

10 Bài tập Biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác (có lời giải)

10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)

33 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 29: Công thức cộng xác suất có đáp án

Nội dung liên quan:

72 câu Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Các công thức lượng giác cơ bản có đáp án

30 câu Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

43 câu Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án

75 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Quy tắc đếm - Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp có đáp án

36 câu Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Nhị thức Niu-tơn có đáp án

30 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Xác suất có đáp án

91 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án

70 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

87 câu Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số có đáp án

170 Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 2: Giới hạn hàm số có đáp án

Danh sách câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AC→+BD→=AD→+BC→=2MN→

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Sử dụng các đỉnh của hình hộp làm điểm đầu và điểm cuối của vectơ. a) Hãy kể tên các vectơ bằng nhau lần lượt bằng các vectơ AB→,AC→,AD→,AA'→

Hãy kể tên các vectơ luôn có độ dài bằng nhau và bằng độ dài của vectơ BC→ .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. a) Chứng minh SA→+SC→=SB→+SD→

b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì SA→2+SC→2=SB→2+SD→2

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho AM=2MD,BC=3NC . Chứng minh ba vectơ AB→,CD→,MN→ đồng phẳng.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA'→=a→,AB→=b→,AC→=c→ . Hãy phân tích các vectơ B'C→,BC'→ qua các vectơ a→,b→,c→.

Cho hình chóp S.ABC. Lấy điểm M và N sao cho MS→=−2MA→ và NC→=−2NB→. Chứng minh rằng ba vectơAB→,MN→,SC→ đồng phẳng.

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A', B', C' lần lượt thuộc các tia SA, Sb, SC sao cho SA=a.SA',SB=b.SB',SC=c.SC' , trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A'B'C' đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a+b+c=3 .

Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho MA→=−2MB→,ND→=−2NC→ ; các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD,MN,BC sao cho IA→=k.ID→,JM→=k.JN→,KB→=k.KC→ . Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BDA',CB'D' . Chứng minh các điểm A,G,G',C' thẳng hàng.

Cho bốn vectơ a→,b→,c→,d→ bất kỳ. Khẳng định nào sau đây sai?

Cho tam giác ABC có diện tích S. Giá trị nào của k thích hợp thỏa mãn S=12AB→2.AC→2−2kAB→.AC→2 ?

Cho tứ diện ABCD. Hãy chọn khẳng định đúng?

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.

Cho a→=3,b→=5 , góc giữa a→ và b→ bằng 1200. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

Cho tứ diện ABCD, O là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Khẳng định nào sau đây sai?

Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Giá trị AB→.C'A'→ bằng

Khẳng định nào sau đây đúng?

Khẳng định nào sau đây sai?

Cho tứ diện SABC. Đặt SA→=a→,SB→=b→,SC→=c→ . Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên cạnh BC sao cho NC=3NB . Phân tích vectơ MN→ theo ba vectơ a→,b→ và c→ ta được

Cho tứ diện ABCD. Đặt AB→=a→,AC→=b→,AD→=c→. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh CD sao cho ND=2NC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Biểu diễn vectơ AO→ theo ba vectơ a→, b→ và c→ ta có

Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P=MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng?

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt a→=AA'→,b→=AB→,c→=AC→ Xét hai mệnh đề (I) B'C→=−a→−b→+c→ (II) BC'→=a→−b→−c→ Mệnh đề nào đúng?

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt a→=AA'→,b→=AB→,c→=AC→ . Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'. Vectơ AG→ bằng

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết MA'→=k.MC→,NC'→=l.ND→ . Khi MN song song với BD' thì khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông. Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị MS→.CB→ bằng

Cho hình chóp S.ABC có SA→=a→,SB→=b→,SC→=c→ và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC. Các điểm P, Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho PQ//CM . Biểu diễn vectơ PQ→ theo ba vectơ a→,b→,c→ được kết quả

Khẳng định nào sau đây sai?

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC. Giá trị AG2 bằng

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề (I). Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→+SB→+SC→+SD→=4SO→ . (II). Nếu SA→+SB→+SC→+SD→=4SO→ thì ABCD là hình bình hành. Mệnh đề nào đúng?

Cho tứ diện S.ABC có SA=SB=SC=AB=AC=a,BC=a2 . Tích vô hướng giữa SC→.AB→ bằng

Cho hình chóp S.ABCD. Xét hai mệnh đề (I) Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→+SC→=SB→+SD→ . (II) Nếu SA→+SC→=SB→+SD→ thì ABCD là hình bình hành. Mệnh đề nào đúng?

Cho ba vectơ a→,b→,c→ không đồng phẳng. xét các vectơ x→=2a→+b→,y→=a→−b→−c→,z→=−3b→−2c→ . Chọn khẳng định đúng?

Cho ba vectơ a→,b→,c→ không đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây sai?

Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Giá trị của AB→.EG→ bằng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB', A'C'. Điểm M thuộc cạnh B'C' sao cho MB'→=kMC'→. Tìm k để bốn điểm A,I,M,K đồng phẳng.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số SMSO sao cho biểu thức P=MS2+MA2+MB2+MC2+MD2 nhỏ nhất bằng

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho AB=2a,CD=2b,EF=2c. Với M là một điểm tùy ý, tổng MA2+MB2 bằng

Cho hình chóp S.ABC có M, N là các điểm thỏa mãn MS→=−2MA→;NB→=kNC→. Tìm k để ba vectơ AB→,MN→,SC→ đồng phẳng.

Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho BC=4BM,AC=3AP,BD=2BN . Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại điểm Q. Tính tỉ số AQAD .

Trong không gian xét m→,n→,p→,q→ là các vectơ có độ dài bằng 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức S=m→−n→2+m→−p→2+m→−q→2+n→−p→2+n→−q→2+p→−q→2 là

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{B C} = 2 \vec{M N}$

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Sử dụng các đỉnh của hình hộp làm điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

a) Hãy kể tên các vectơ bằng nhau lần lượt bằng các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}, \vec{A A^{'}}$

Hãy kể tên các vectơ luôn có độ dài bằng nhau và bằng độ dài của vectơ $\vec{B C}$ .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Chứng minh $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$

b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì ${\vec{S A}}^{2} + {\vec{S C}}^{2} = {\vec{S B}}^{2} + {\vec{S D}}^{2}$

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho $A M = 2 M D, B C = 3 N C$ . Chứng minh ba vectơ $\vec{A B}, \vec{C D}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $\vec{A A^{'}} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}$ . Hãy phân tích các vectơ $\vec{B^{'} C}, \vec{B C^{'}}$ qua các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ .

Cho hình chóp S.ABC. Lấy điểm M và N sao cho $\vec{M S} = - 2 \vec{M A}$ và $\vec{N C} = - 2 \vec{N B}$ . Chứng minh rằng ba vectơ $\vec{A B}, \vec{M N}, \vec{S C}$ đồng phẳng.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác $B D A^{'}, C B^{'} D^{'}$ . Chứng minh các điểm $A, G, G^{'}, C^{'}$ thẳng hàng.

Cho bốn vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ bất kỳ. Khẳng định nào sau đây sai?

Cho tam giác ABC có diện tích S. Giá trị nào của k thích hợp thỏa mãn $S = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - 2 k {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}$ ?

Cho $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 5$ , góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng 120⁰. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Giá trị $\vec{A B} . \vec{C^{'} A^{'}}$ bằng

Cho tứ diện SABC. Đặt $\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c}$ . Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên cạnh BC sao cho $N C = 3 N B$ . Phân tích vectơ $\vec{M N}$ theo ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và $\vec{c}$ ta được

Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức $P = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt $\vec{a} = \vec{A A^{'}}, \vec{b} = \vec{A B}, \vec{c} = \vec{A C}$

Xét hai mệnh đề

(I) $\vec{B^{'} C} = - \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ (II) $\vec{B C^{'}} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$

Mệnh đề nào đúng?

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt $\vec{a} = \vec{A A^{'}}, \vec{b} = \vec{A B}, \vec{c} = \vec{A C}$ . Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'. Vectơ $\vec{A G}$ bằng

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết $\vec{M A^{'}} = k . \vec{M C}, \vec{N C^{'}} = l . \vec{N D}$ . Khi MN song song với BD' thì khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông. Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị $\vec{M S} . \vec{C B}$ bằng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC. Giá trị $A G^{2}$ bằng

Cho tứ diện S.ABC có $S A = S B = S C = A B = A C = a, B C = a \sqrt{2}$ . Tích vô hướng giữa $\vec{S C} . \vec{A B}$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD. Xét hai mệnh đề

(I) Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

(II) Nếu $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ thì ABCD là hình bình hành.

Mệnh đề nào đúng?

Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng. xét các vectơ $\vec{x} = 2 \vec{a} + \vec{b}, \vec{y} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}, \vec{z} = - 3 \vec{b} - 2 \vec{c}$ . Chọn khẳng định đúng?

Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây sai?

Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng?

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Giá trị của $\vec{A B} . \vec{E G}$ bằng

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB', A'C'. Điểm M thuộc cạnh B'C' sao cho $\vec{M B^{'}} = k \vec{M C^{'}}$ . Tìm k để bốn điểm $A, I, M, K$ đồng phẳng.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số $\frac{S M}{S O}$ sao cho biểu thức $P = M S^{2} + M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}$ nhỏ nhất bằng

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho $A B = 2 a, C D = 2 b, E F = 2 c$ . Với M là một điểm tùy ý, tổng $M A^{2} + M B^{2}$ bằng

Cho hình chóp S.ABC có M, N là các điểm thỏa mãn $\vec{M S} = - 2 \vec{M A}; \vec{N B} = k \vec{N C}$ . Tìm k để ba vectơ $\vec{A B}, \vec{M N}, \vec{S C}$ đồng phẳng.

Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho $B C = 4 B M, A C = 3 A P, B D = 2 B N$ . Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại điểm Q. Tính tỉ số $\frac{A Q}{A D}$ .