31 câu Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 Bài 4(Có đáp án): Cấp số nhân

Đáp án là C

Đáp án A

Kí hiệu u1,u2,u3,u4,u5 là các số hạng của cấp số nhân

Ta có :

$\left\{\begin{array}{l}{u}_2= 3\\ u_4 = 6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1.q= 3 \left(1\right)\\ u_1.q^3 = 6 \left(2\right)\end{array}\right.$

Lấy (2) chia (1)

Đáp án C

Theo giả thiết AB=AC, BC,AH,AB lập thành cấp số nhân nên ta có hệ:

Suy ra: 2cotC =sinB

Mà tam  giác ABC cân tại A nên $\hat{B}= \hat{C}$

Từ đó ta có kết quả sau: 2cotC = sinC ⇔ 2cosC =sin2C = 1-cos2C

⇔ cos2C + 2cosC -1 =0 ⇒cosC = -1 +√2 (0° < C < 90°)

Do C là góc nhọn nên :

Cho nên công bội của cấp số nhân là:

Đáp án C.

Ta có hệ phương trình:

$\iff \left\{\begin{array}{l}9x+\hspace{0.17em}7y= 10x + 4y\\ 2x^2- 3xy+\hspace{0.17em}\frac{10}{3}x- 5y= y^2- 2y +\hspace{0.17em}1\end{array}\right.$

Từ đó ta suy ra

Thế (1) vào (2) ta được: $2. {\left(3y\right)}^2- y^2- 3.3y.y+\hspace{0.17em}\frac{10}{3}.3y- 3y-1= 0$

$\iff$8y2+ 7y - 1=0⇒ y = -1 hoặc y=1/8

Do y < 0 , ta được y = -1, x = -3

Đáp án B

Chọn B

$\left\{\begin{array}{l}{u}_4-u_2=72\\ u_5-u_3=144\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1.q^3-u_1.q=72\\ u_1.q^4-u_1. q^2=144\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_1\left(q^3-q\right)=72\\ u_1\left(q^4-q^2\right)=144\end{array}\iff \right.\left\{\begin{array}{l}{u}_{1}q\left(q^2-1\right)=72 \left(1\right)\\ u_1{q}^2\left(q^2-1\right)=144 \left(2\right)\end{array}\right.\\ \end{array}$

Lấy (2) chia (1) ta được: q = 2

Thay vào (1) ta được: $u_1= 12$

Vậy $u_1=12$ .

Chọn B

Gọi 3 số cần tìm là $u_1=\frac{x}{q}; u_2= x; u_3= x.q$

Theo giả thiết ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+u_3=14\\ u_1{u}_2{u}_3=64\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{x}{q}\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}x +\hspace{0.17em}xq = 14\\ \frac{x}{q}. x.xq= 64\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x +\hspace{0.17em}xq +\hspace{0.17em}x{q}^2= 14q\\ x^3= 64\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4 +\hspace{0.17em}4q + 4q^2= 14q (*)\\ x = 4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Giải (*)

$\begin{array}{l}\\ \iff 4q^2-10q+4=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}q=2\\ q=\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}$

Theo đề là công bội nguyên dương do đó q = 2

Gọi ba số cần tìm là $u_1; u_2; u_7$ theo thứ tự là số hạng thứ 1, thứ 2  và thứ 7 của cấp số cộng, công sai d.

Suy ra: $$\begin{gathered} u_7- u_2= 5(u_2- u_1) (= 5d) \\ \Rightarrow u_7= 6u_2- 5u_1 \end{gathered}$$

Ba số này có tổng là 93 nên:

 $$\begin{gathered} u_1\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}{u}_2\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}{u}_7= 93\Rightarrow u_1+\hspace{0.17em}{u}_2+\hspace{0.17em}(\hspace{0.17em}6u_2- 5u_1) = 93 \\ \iff 7u_2- 4u_1= 93 \left(2\right) \end{gathered}$$

Ba số này là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân nên: 

$$\begin{gathered} u_1. u_7= u_2^2\Rightarrow u_1. (6u_2- 5u_1) = u_2^2 \\ \iff 6u_1{u}_2- 5u_1^2- u_2^2=0 \left(3\right) \end{gathered}$$

+ Nếu $u_1= 0\Rightarrow u_2= u_7= 0$( không thỏa mãn (3) ) nên số hạng đầu khác 0.

Chia cả 2 vế của (3) cho $u_1^2$ ta được:

$$\begin{gathered} \frac{6u_2}{u_1}- 5 - {\left(\frac{u_2}{u_1}\right)}^2= 0 \\ \Rightarrow \frac{u_2}{u_1}= 5; \frac{u_2}{u_1}= 1 \end{gathered}$$

+ Nếu $\frac{u_2}{u_1}= 5\Rightarrow q = 5; u_2= 5u_1$  Thay vào (2) 

$7.5u_1- 4u_1= 93 \Rightarrow u_1 = 3; u_2= 15; u_7= 75$

Tích ba số cần tìm là 3.15. 75 = 3375

+ Nếu $\frac{u_2}{u_1}= 1\Rightarrow q = 1; u_2= u_1$ thay vào (2) ta được

$7u_1- 4u_1= 93 \Rightarrow u_1 = 31; u_2= 31; u_7= 31$  ( loại vì 3 số này trùng nhau)

Đáp án A

Chọn C

Giả sử ba cạnh của tam giác ABC là a,b,c.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử 0 < a ≤b ≤c,

Nếu chúng tạo thành cấp số nhân thì theo tính chất của cấp số nhân ta có: b2=ac.

Theo định lý hàm côsin Ta có:

Mặt khác $a^2+c^2\ge 2ac\Rightarrow \cos B\ge 1-\frac{1}{2}= \frac{1}{2}$

Vậy góc $\widehat{B}\le 60°$,mà  $a\le b\Rightarrow \hat{A}\le 60°$, cho nên tam giác ABC có hai góc không quá 60°

Chọn A

Gọi u1,u2,u3,u4 là 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, với công bội q. gọi (vn) là cấp số cộng tương ứng với công sai là d. Theo giả thuyết Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+u_3=16\frac{4}{9}\\ u_1=v_1\\ u_2=v_4=v_1+3d\\ u_3=v_8=v_1+7d\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_{1}q+u_2{q}^2=16\frac{4}{9}\left(1\right)\\ u_{1}q=u_1+3d\left(2\right)\\ u_1{q}^2=u_1+7d\left(3\right)\end{array}\right.$

Khử d từ (2) và (3) ta thu được: 

$\left\{\begin{array}{l}7u_{1}q=7u_1+21d\\ 3u_1{q}^2=3u_1+21d\end{array}\right.$

Lấy vế trừ vế ta thu được 

$\begin{array}{l}7u_{1}q-3u_1{q}^2=4u_1\\ \iff u_1.\left(3q^2-7q+4\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}{u}_1=0\\ 3q^2-7q+4=0\end{array}\right.\end{array}$

Do $u_1\ne 0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}q=1\\ q=\frac{4}{3}\end{array}\right.$

Theo giả thiết, suy ra $q=\frac{4}{3}$

Thay $q=\frac{4}{3}$ vào (1) ta được $u_1=4$

Chọn B

Theo giả thuyết:

Chọn A

Ta có u2=u1+1=2, u3=u2+2=4, u4=u3+3=7, u5=u4+4=11

Chọn D

Ta có un+1=4n+1+n+1

Chọn B

nên có hai dãy bị chặn trên

Chọn D

Theo tính chất cấp số nhân, Ta có: ac=2/3 b2. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, Ta có: b=a.sinB, c=a.cosB. vậy Ta có

Giả sử 4 nghiệm phân biệt của phương trình là x1,x2,x3,x4.

Đặt x2= y ≥0, ta được phương trình y2-(3m+5)y+(m+1)2=0(1)

Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt 0 < y1 < y2.

Khi đó thì (1) có bốn nghiệm là:$x_1=- \sqrt{y_2}; x_2=- \sqrt{y_1}; x_3= \sqrt{y_1}; x_4= \sqrt{y_2}$ 

Theo đầu bài bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng, nên x3+x1=2x2 và x4+x2=2x3

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình (1). Ta có hệ:

$\left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(3m+5\right)}^2-4{\left(m+1\right)}^2>0\\ S=3m+5>0\\ P={\left(m+1\right)}^2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5m^2+22m+21>0\\ m>\frac{-5}{3}\\ m\ne -1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>-\frac{7}{5}\\ m<-3\end{array}\right.\\ m>\frac{-5}{3}\\ m\ne -1\end{array}\right.$

$\Rightarrow m>-\frac{7}{5}$ và $m\ne -1$

Thay  $9y_1=y_2$vào định lí Viet $\left\{\begin{array}{l}{y}_1+y_2=3m+5\\ y_1.y_2={\left(m+1\right)}^2\end{array}\right.$

Thay (*) vào hệ trên ta được : $\left\{\begin{array}{l}{y}_1+9y_1=3m+5\\ y_1.9y_1={\left(m+1\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{y}_1= \frac{3m + 5}{10} \left(1\right)\hspace{0.17em}\\ 3y_1= \left|m +\hspace{0.17em}1\right| \left(2\right)\end{array}\right.$

Thay (1) vào (2) ta được:

 $$\begin{gathered} 3.\frac{3m + 5}{10}= \left|m+\hspace{0.17em}1\right|\Rightarrow 9m \hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}15 = 10.\left|m+\hspace{0.17em}1\right| \\ \Rightarrow 81m^2+\hspace{0.17em}270m +\hspace{0.17em}225 = 100m^2+\hspace{0.17em}200m +100\hspace{0.17em} \end{gathered}$$

 $\iff 19m^2-70m-125=0$$\iff \left[\begin{array}{l}m=5\\ m=-\frac{25}{19}\end{array}\right.$           

Chọn B

Ta có

$\begin{array}{l}S=\left(4+2+\frac{1}{4}\right)+\left(16+2+\frac{1}{16}\right)+\mathrm{...}+\left(2^{2n}+2+\frac{1}{2^{2n}}\right)\\ =\left(4+16+\mathrm{...}+2^{2n}\right)+2n+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^{2n}}\right)\end{array}$

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

$\begin{array}{l}S=4.\frac{4^n-1}{4-1}+2n+\frac{1}{4}.\frac{\frac{1}{4^n}-1}{\frac{1}{4}-1}=4.\frac{4^n-1}{3}+2n+\frac{4^n-1}{{3.4}^n}\\ = 2n +\hspace{0.17em}\frac{4.(4^n-1).4^n+\hspace{0.17em}( 4^n-1)}{3.4^n}= 2n +\hspace{0.17em}\frac{(4^n-1).4^{n+1}+\hspace{0.17em}( 4^n-1)}{3.4^n}\\ =2n+\frac{\left(4^n-1\right)\left(4^{n+1}+1\right)}{{3.4}^n}\end{array}$

Chọn C

Từ giả thiết ta có: 

$\left\{\begin{array}{l}\left(5x-y\right)+\left(x+2y\right)=2\left(2x+3y\right)\\ {\left(y+1\right)}^2.{\left(x-1\right)}^2={\left(xy+1\right)}^2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}6x +\hspace{0.17em}y = 4x +\hspace{0.17em}6y\\ {(xy +\hspace{0.17em}x - y -1)}^2 = (xy +\hspace{0.17em}1{)}^2\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}2x=5y\\ {\left(xy+x-y-1\right)}^2={\left(xy+1\right)}^2\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x=5y\\ \left[\begin{array}{l}xy+x-y-1=xy+1\\ xy+x-y-1=-xy-1\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x=5y\\ \left[\begin{array}{l}x-y=2\\ 2xy+x-y=0\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}$

Như vậy có 2 trường hợp xảy ra: 

$\left\{\begin{array}{l}2x =5y\\ x - y = 2\end{array}\right.$hoặc$\left\{\begin{array}{l}2x =5y\\ 2xy+\hspace{0.17em}x - y = 0 \end{array}\right.$

Suy ra,  có 1 trường hợp  $x-y=2$ .

Chọn đáp án B.

Chọn B

Lúc 1h , đồng hồ đánh chuông 1 lần

     2h, đồng hồ đánh chuông 2 lần

....12 h đồng hồ đánh chương 12 lần.

Số tiếng chuông đồng hồ bằng S=1+2+3+4+…+12 = $\frac{12. (1+\hspace{0.17em}12)}{2}$=78 tiếng

( đây là tổng của 1 cấp số cộng có $u_1 = 1$, công sai d = 1) 

Chọn D

Gọi công bội của cấp số nhân đã cho là q.

Ta có

$$\begin{gathered} A= {(a-c)}^2+{(b-c)}^2+{(b-d)}^2-{(a-d)}^2 \\ = {(a - a{q}^2)}^2+\hspace{0.17em}{(aq- a{q}^2)}^2 +\hspace{0.17em}{(aq- a{q}^3)}^2- {(a- a{q}^3)}^2 \\ = a^2- 2a^2{q}^2+\hspace{0.17em}{a}^2{q}^4+\hspace{0.17em}{a}^2{q}^2- 2a^2{q}^3+\hspace{0.17em}{a}^2{q}^4 \\ +\hspace{0.17em}{a}^2{q}^2- 2a^2{q}^4+ a^2{q}^6- a^2\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}2a^2{q}^3- a^2{q}^6 \\ = 0 \end{gathered}$$

Chọn B

Ta giải hệ: 

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1\left(q^2+q+1\right)=21\\ \frac{1}{u_1}\left(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}\right)=\frac{7}{12}\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{q^2+q+1}{21}=\frac{1}{u_1}\\ \frac{1}{u_1}\left(\frac{q^2+q+1}{q^2}\right)=\frac{7}{12}\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{q^2+q+1}{21}=\frac{1}{u_1}\\ \frac{q^2+q+1}{21}.\frac{q^2+q+1}{q^2}=\frac{7}{12}\left(*\right)\end{array}\right.\end{array}$

Giải (*)

$\begin{array}{l}\frac{{(q^2+q+1)}^2}{q^2}=\frac{49}{4}\\ \iff \frac{q^2+q+1}{q}=\pm \frac{7}{2}\end{array}$

TH1:

$$\begin{gathered} \frac{q^2+q+1}{q}=\frac{7}{2}\iff 2\hspace{0.17em}{q}^2+\hspace{0.17em}2q+\hspace{0.17em}2 = 7q \\ \iff 2q^2- 5q +\hspace{0.17em} 2= 0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}q=2\\ q=\frac{1}{2}\left(loai\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

TH2;

$$\begin{gathered} \frac{q^2+q+1}{q}=-\frac{7}{2}\iff 2q^2+\hspace{0.17em}2q + 2 = -7q \\ \iff 2q^2+\hspace{0.17em}9q+\hspace{0.17em}2 = 0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}q=\frac{-9+\sqrt{65}}{4}\\ q=\frac{-9-\sqrt{65}}{4}\end{array}\right.\left(loai\right) \end{gathered}$$

Vậy q=2

= 19680

Chọn A

Chọn C

Diện tích bề mặt của tầng 1 là $\frac{12288}{2}=6144\left(m^2\right)$

Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới .

  Do đó, dãy số diện tích bề mặt mỗi tầng lập thành cấp số nhân với $u_1= 6144$, công bội $q = \frac{1}{2}$

Diện tích mặt trên cùng là: $6144.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=6\left(m^2\right)$

Chọn  A

Ta  có: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_7 + u_{15}= 60\\ u_4^2 +\hspace{0.17em}{u}_{11}^2= 981\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+\hspace{0.17em}6d +\hspace{0.17em}{u}_1+\hspace{0.17em}14d = 60\\ {(u_1+\hspace{0.17em}3d)}^2+\hspace{0.17em}{(u_1+\hspace{0.17em}10d)}^2= 981\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2u_1+\hspace{0.17em}20d = 60\\ u_1^2 +\hspace{0.17em}6u_{1}d +\hspace{0.17em}9d^2+\hspace{0.17em}{u}_1^2\hspace{0.17em}+ 20u_{1}d\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}100d^2= 981\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+\hspace{0.17em}10d = 30 \left(1\right)\hspace{0.17em}\\ 2u_1^2+\hspace{0.17em}26u_{1}d+\hspace{0.17em}109d^2= 981 \left(2\right)\hspace{0.17em}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Từ (1);$u_1= 30- 10d$ thay vào(2) ta được:

$$\begin{gathered} 2. {(30-10 d)}^2+\hspace{0.17em}26. (30-10 d). d +\hspace{0.17em}109d^2= 981 \\ \iff 1800 - 1200d +\hspace{0.17em}200d^2+\hspace{0.17em}780d- 260d^2\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}109d^2- 981= 0 \\ \iff 49d^2- 420d +\hspace{0.17em}819 = 0 \\ \iff d = \frac{39}{7}; d = 3 \end{gathered}$$

Chọn D

Ta giải hệ

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_1{q}^4=51\\ u_{1}q+u_1{q}^5=102\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_1{q}^4=51\left(1\right)\\ q(u_1+u_1{q}^4)=102\left(2\right)\end{array}\right.$

Lấy (2) chia (1) ta tìm được q=2

Thay vào (1), suy ra $u_1=3$

$S=3.\frac{2^5-1}{2-1}=93$

Chọn D

Vì $u_{n +1}= u_n+ 10\iff u_{n +1}- u_n= 10$

Suy ra,dãy (un) là cấp số cộng có công sai d=10

Do đó,  u10 = u1+9d =  1 + 9.10 = 91

Chọn C

Giá của các mét khoan lập thành cấp số nhân với $u_1= 6000$, công bội $q =1 +\hspace{0.17em}7\%= 1,07$

Suy ra, giá khi khoan 20 mét là: 

Chọn A

Gọi d là công sai. Ba số phải tìm là: (x-d); x; (x+d). Ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}3x = 9\\ 3x^2+\hspace{0.17em}2d^2= 125\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x = 3\\ 3.3^2+\hspace{0.17em}2d^2= 125\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x = 3\\ d^2= 49\Rightarrow d = \pm 7\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vì công sai dương nên d = 7

vậy 3 số cần tìm là : - 4;  3; 10

Chọn A

Trong bốn dãy số chỉ có yn=n/(n+1) < 1 nên có 1 dãy bị chặn trên

Vì công bội bằng 1/4 lần số hạng thứ nhất nên:

       $q = \frac{1}{4}{u}_1\Rightarrow u_2= q.u_1 = \frac{1}{4}{u}_1^2$

Vì tổng của hai số hạng đầu bằng 24 nên: 

$$\begin{gathered} u_1 +\hspace{0.17em}{u}_2= 24 \iff u_1 +\hspace{0.17em}\frac{1}{4}{u}_1^2- 24 = 0 \\ \iff u_1 = 8 ; u_1= -12 < 0 \left(loại\right) \end{gathered}$$

Khi đó, q = 2.

Vậy cấp số nhân cần tìm là : 8; 16; 32; 64

Tích các số hạng đó là:  8. 16. 32. 64 = 262 144

Chọn D

Chọn A

Ta có u2=u1+1=2, u3=u2+2=4, u4=u3+3=7, u5=u4+4=11