8 câu Dạng 1: Phép biến hình có đáp án

Hướng dẫn giải

Với mỗi điểm $M\left(x;y\right)$ , theo quy tắc trên thì luôn tồn tại điểm M’ sao cho $F\left(M\right)=M\text{'}\left(y;-x\right)$ .

Như vậy, với mọi điểm M thì luôn tồn tại ảnh là M’. (1)

Giả sử qua quy tắc trên, điểm $M\left(x;y\right)$  có hai ảnh là  $M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$và $M\text{'}\text{'}\left(x\text{'}\text{'};y\text{'}\text{'}\right)$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=y\\ y\text{'}=-x\end{array}\right.$và $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}\text{'}=y\\ y\text{'}\text{'}=-x\end{array}\right.$

Suy ra $x\text{'}=x\text{'}\text{'};y\text{'}=y\text{'}\text{'}\Rightarrow M\text{'}\equiv M\text{'}\text{'}\left(2\right)$

Từ (1) và (2), suy ra: quy tắc trên là một phép biến hình.

Suy ra  $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=y+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-x\text{'}\\ y=y\text{'}-1\end{array}\right.$

Lúc đó $M\left(-x\text{'};y\text{'}-1\right)\in \Delta$  nên $\left(-x\text{'}\right)-\left(y\text{'}-1\right)+1=0\iff -x\text{'}-y\text{'}+2=0\iff x\text{'}+y\text{'}-2=0$

Vậy $\Delta \text{'}:x\text{'}+y\text{'}-2=0$  là ảnh của đường thẳng $∆$  qua phép biến hình F.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=y+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-x\text{'}\\ y=y\text{'}-1\end{array}\right.$

Mà $M\in \left(C\right)$  nên ${\left(-x\text{'}\right)}^2-{\left(y\text{'}-1\right)}^2+2\left(x\text{'}\right)-4\left(y\text{'}-1\right)+1=0\iff {\left(x\text{'}\right)}^2+{\left(y\text{'}\right)}^2+2x\text{'}-6y\text{'}+6=0$

Vậy $\left(C\text{'}\right):x^2+y^2+2x-6y+6=0$  là ảnh của đường tròn $\left(C\right)$ .

Ta có $\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OM\text{'}}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{0}\iff M\text{'}\equiv M$. Quy tắc đặt này là phép đồng nhất. Do đó chọn A.

Các quy tắc còn lại không là phép biến hình.

+ Đáp án B, C do không nói góc vuông là góc lượng giác nên luôn tồn tại hai ảnh của M.

+ Yếu tố thẳng hàng hay không thẳng hàng đủ để thấy rõ ảnh của M không duy nhất.

Theo công thức, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x_M-1=1-1=0\\ y\text{'}=y_M+2=2+2=4\end{array}\right.\Rightarrow A\text{'}\left(0;4\right)$

Theo công thức $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x_M\\ y\text{'}=y_M+1\end{array}\right.$ , ta có: $P\left(1;-1\right),Q\left(-1;3\right)\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=\left(-2;4\right)\Rightarrow PQ=2\sqrt{5}$.