Hệ số của $x^{5}$ bằng 32 nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là $32 x^{5} .$ ) Chọn C.

Câu 4

Tìm số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển ${(x - \frac{1}{x})}^{13}$

A. $- C_{13}^{4} x^{7}$

B. $- C_{13}^{3}$

C. $- C_{13}^{3} x^{7}$

D. $C_{13}^{3} x^{7} .$

Lời giải

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x - \frac{1}{x})}^{13} =_{k = 0}^{13} C_{13}^{k} . x^{13 ‐ k} . {(- \frac{1}{x})}^{k}$

Hệ số của $x^{7}$ ứng với $13 - 2 k = 7 \Leftrightarrow k = 3 \to$ số hạng cần tìm $- C_{13}^{3} x^{7}$ . Chọn C

Câu 5

Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển ${(x + \frac{1}{2 x})}^{9}$

A. - $\frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3}$

B. $\frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3}$

C. $- C_{9}^{3} x^{3}$

D. $C_{9}^{3} x^{3} .$

Lời giải

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x + \frac{1}{2 x})}^{9} =_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} . x^{9 ‐ k} . {(\frac{1}{2 x})}^{k}$

$=_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} . {(\frac{1}{2})}^{k} . x^{9 ‐ 2 k}$

Hệ số của $x^{3}$ ứng với $9 - 2 k = 3 \Leftrightarrow k = 3 \to$ số hạng cần tìm $\frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3}$ . Chọn B.

Câu 6

Tìm số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{40}$

A. $- C_{40}^{37} x^{31}$

B. $C_{40}^{37} x^{31}$

C. $C_{40}^{2} x^{31}$

D. $C_{40}^{4} x^{31} .$

Lời giải

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{40} =_{k = 0}^{40} C_{40}^{k} . x^{40 ‐ k} {(\frac{1}{x^{2}})}^{k}$

$=_{k = 0}^{40} C_{40}^{k} . x^{40 ‐ 3 k}$

Hệ số của $x^{31}$ ứng với $40 - 3 k = 31 \Leftrightarrow k = 3 \to$ số hạng cần tìm $C_{40}^{37} x^{31}$ . Chọn B.

Câu 7

Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$

A. $2^{4} C_{6}^{2}$

B. $2^{2} C_{6}^{2}$

C. $- 2^{4} C_{6}^{4}$

D. $- 2^{2} C_{6}^{4} .$

Lời giải

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

$(x^{2} + {\frac{2}{x}}^{6}) =_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} . {(x^{2})}^{6 - k} . {(\frac{2}{x})}^{k}$

$=_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} . {(2)}^{k} . x^{12 ‐ 3 k}$

Số hạng không chứa x ứng với $12 - 3 k = 0 \Leftrightarrow k = 4$

$\to$ số hạng cần tìm $C_{6}^{4} {.2}^{4} = 2^{4} C_{6}^{2}$ . Chọn A.

Câu 8

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(x y^{2} - \frac{1}{x y})}^{8}$

A. $70 y^{4}$

B. $60 y^{4}$

C. $50 y^{4}$

D. $40 y^{4} .$

Lời giải

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x y^{2} - \frac{1}{x y})}^{8} =_{k = 0}^{8} C_{8}^{k} . {(x y^{2})}^{8 ‐ k} . {(- \frac{1}{x y})}^{k}$

$=_{k = 0}^{8} C_{8}^{k} . {(- 1)}^{k} . x^{8 ‐ 2 k} . y^{16 ‐ 3 k}$

Số hạng không chứa x ứng với $8 - 2 k = 0 \Leftrightarrow k = 4$

$\to$ số hạng cần tìm $C_{8}^{4} y^{4} = 70 y^{4}$ . ChọnA.

Câu 9

Tìm số hạng chứa $x^{3} y$ trong khai triển ${(x y + \frac{1}{y})}^{5}$

A. $3 x^{3} y$

B. $5 x^{3} y$

C. $10 x^{3} y$

D. $4 x^{3} y .$

Lời giải

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x y + \frac{1}{y})}^{5} =_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . {(x y)}^{5 ‐ k} . {(\frac{1}{y})}^{k}$

$=_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . x^{5 ‐ k} . y^{5 ‐ 2 k}$

Hệ số của $x^{3} y$ ứng với $\{\begin{cases} 5 - k = 3 \\ 5 - 2 k = 1 \end{cases} \Leftrightarrow k = 2 \to$ số hạng cần tìm $C_{5}^{2} x^{3} y = 10 x^{3} y .$

Chọn C.

Câu 10

Tìm hệ số của $x^{6}$ trong khai triển ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1}$ với $x \neq 0$ , biết n là số nguyên

dương thỏa mãn $3 C_{n + 1}^{2} + n P_{2} = 4 A_{n}^{2} .$

A. $210 x^{6}$

B. $120 x^{6}$

C. 120

D. 210

Lời giải

Lời giải. Từ phương trình $3 C_{n + 1}^{2} + n P_{2} = 4 A_{n}^{2} \to n = 3.$

Với $n = 3$ , ta có ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1} = {(\frac{1}{x} + x^{3})}^{10} =$

$_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(\frac{1}{x})}^{10 ‐ k} . {(x^{3})}^{k} =_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . x^{4 k ‐ 10}$

Hệ số của $x^{6}$ ứng với $4 k - 10 = 6 \Leftrightarrow k = 4$

$\to$ hệ số cần tìm $C_{10}^{4} = 210$ . Chọn D.

Câu 11

Tìm hệ số của $x^{9}$ trong khai triển ${(1 - \sqrt{3} x)}^{2 n}$ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn $\frac{2}{C_{n}^{2}} + \frac{14}{3 C_{n}^{3}} = \frac{1}{n} .$

A. $- C_{18}^{9} {(\sqrt{3})}^{9}$

B. $- C_{18}^{9} {(\sqrt{3})}^{9} x^{9}$

C. $C_{18}^{9} {(\sqrt{3})}^{9} x^{9}$

D. $C_{18}^{9} {(\sqrt{3})}^{9}$

Lời giải

Lời giải. Từ phương trình $\frac{2}{C_{n}^{2}} + \frac{14}{3 C_{n}^{3}} = \frac{1}{n} \to n = 9.$

Với $n = 9$ , ta có ${(1 - \sqrt{3} x)}^{2 n} = {(1 - \sqrt{3} x)}^{18} =$

$_{k = 0}^{18} C_{18}^{k} . {(- \sqrt{3} x)}^{k} =_{k = 0}^{18} C_{18}^{k} . {(- \sqrt{3})}^{k} . x^{k}$

Hệ số của $x^{9}$ ứng với $k = 9 \to$ hệ số cần tìm $- C_{18}^{9} {(\sqrt{3})}^{9}$ . Chọn A.

Câu 12

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(2 x - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{2 n}$ với $x \neq 0$ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{3} + 2 n = A_{n + 1}^{2} .$

A. $- C_{16}^{12} {.2}^{4} {.3}^{12}$

B. $C_{16}^{0} 2^{16}$

C. $C_{16}^{12} {.2}^{4} {.3}^{12}$

D. $C_{16}^{16} {.2}^{0} .$

Lời giải

Lời giải. Từ phương trình $C_{n}^{3} + 2 n = A_{n + 1}^{2} \to n = 8.$

Với $n = 8$ , ta có

${(2 x - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{2 n} = {(2 x - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{16}$

$=_{k = 0}^{16} C_{16}^{k} . {(2 x)}^{16 ‐ k} . {(- \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{k}$

$=_{k = 0}^{16} C_{16}^{k} {.2}^{16 ‐ k} . {(- 3)}^{k} . x^{16 - \frac{4 k}{3}} .$

Số hạng không chứa x ứng với $16 - \frac{4 k}{3} = 0 \Leftrightarrow k = 12$

\to

số hạng cần tìm

C_{16}^{12} {.2}^{4} {.3}^{12}

. Chọn C.

Câu 13

Tìm hệ số của $x^{7}$ trong khai triển ${(3 x^{2} - \frac{2}{x})}^{n}$ với $x \neq 0$ , biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080.

A. 1080.

B. −810.

C. 810

D. 810.

Lời giải

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(3 x^{2} - \frac{2}{x})}^{n} =_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} . {(3 x^{2})}^{n ‐ k} . {(- \frac{2}{x})}^{k}$

$=_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} {.3}^{n ‐ k} {(- 2)}^{k} . x^{2 n ‐ 3 k}$

Số hạng thứ 3 ứng với $k = 2$ , kết hợp với giả thiết ta có

$C_{n}^{2} {.3}^{n ‐ 2} .4 = 1080 \Leftrightarrow n (n - 1) {.3}^{n} = {4.5.3}^{5} \Leftrightarrow n = 5.$

Hệ số của $x^{7}$ ứng với $2 n - 3 k = 7 \Leftrightarrow 10 - 3 k = 7 \Leftrightarrow k = 1$

$\to$ hệ số cần tìm $C_{5}^{1} 3^{4} (- 2) = - 810$ . Chọn B.

Câu 14

Tìm số tự nhiên n, biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong khai triển ${(x - \frac{1}{3})}^{n}$ bằng 4.

A. 8

B. 17

C. 9

D. 4

Lời giải

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x - \frac{1}{3})}^{n} = C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} (- \frac{1}{3}) x^{n ‐ 1}$

$+ C_{n}^{2} {(- \frac{1}{3})}^{2} x^{n ‐ 2} + \dots + C_{n}^{n} {(- \frac{1}{3})}^{n}$

$\to$ số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là $C_{n}^{2} {(- \frac{1}{3})}^{2} x^{n ‐ 2}$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow C_{n}^{2} {(- \frac{1}{3})}^{2} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{n!}{2! (n - 2)!} . \frac{1}{9} = 4 \to n = 9$

Do $n \in ℕ$ nên ta chọn $n = 9$ thỏa mãn. Chọn C.

Câu 15

Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ${(x^{3} + x y)}^{21} .$

A. $C_{21}^{10} x^{40} y^{10}$

B. $C_{21}^{10} x^{43} y^{10} .$

C. $C_{21}^{11} x^{41} y^{11}$

D. $C_{21}^{10} x^{43} y^{10}$ , $C_{21}^{11} x^{41} y^{11} .$

Lời giải

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x^{3} + x y)}^{21} =_{k = 0}^{21} C_{21}^{k} . {(x^{3})}^{21 - k} . {(x y)}^{k}$

$=_{k = 0}^{21} C_{21}^{k} . x^{63 ‐ 2 k} . y^{k}$

Suy ra khai triển ${(x^{3} + x y)}^{21}$ có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng

thứ 11 (ứng với k=10) và số hạng thứ 12 (ứng với k=11).

Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là $C_{21}^{10} x^{43} y^{10}$ ; $C_{21}^{11} x^{41} y^{11}$ . Chọn D.

Câu 16

Tính tổng Stất cả các hệ số trong khai triển ${(3 x - 4)}^{17}$

A. $S = 1$

B. $S = - 1$

C. $S = 0$

D. $S = 8192.$

Lời giải

Lời giải. Tính tổng các hệ số trong khai triển $\to$ cho $x = 1.$

Khi đó $S = {(3.1 - 4)}^{17} = - 1$ . Chọn B.

Câu 17

Khai triển đa thức $P (x) = {(2 x - 1)}^{1000}$ ta được

$P (x) = a_{1000} x^{1000} + a_{999} x^{999} + \dots + a_{1} x + a_{0} .$

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} = 2^{n} .$

B. $a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} = 2^{n} - 1.$

C. $a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} = 1$

D. $a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} = 0$

Lời giải

Lời giải. Ta có $P (x) = a_{1000} x^{1000} + a_{999} x^{999} + \dots + a_{1} x + a_{0} .$

Cho $x = 1$ ta được $P (1) =$ $a_{1000}$ $+ a_{999} + \dots + a_{1} + a_{0} .$

Mặt khác $P (x) = {(2 x - 1)}^{1000} \to P (1) = {(2.1 - 1)}^{1000} = 1.$

Từ đó suy ra $a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} + a_{0} = 1$

$\to a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} = 1 - a_{0} .$

Mà là số hạng không chứa x trong khai triển $P (x) = {(2 x - 1)}^{1000} P (x) = {(2 x - 1)}^{1000}$ nên

$a_{0} = C_{1000}^{1000} {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{1000} = C_{1000}^{1000} = 1.$

Vậy $a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} = 0$ . Chọn D.

Câu 18

Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $P (x) = x {(1 - 2 x)}^{5} + x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}$

A. 80

B. 3240

C. 3320

D. 259200

Lời giải

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

$x {(1 - 2 x)}^{5} = x ._{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . {(- 2 x)}^{5 - k}$

$=_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . {(- 2)}^{5 - k} . x^{6 - k}$

$\to$ số hạng chứa $x^{5}$ tương ứng với $6 - k = 5 \Leftrightarrow k = 1.$

Tương tự, ta có $x^{2} {(1 + 3 x)}^{10} = x^{2} ._{l = 0}^{10} C_{10}^{l} . {(3 x)}^{10 ‐ l}$

$=_{l = 0}^{10} C_{10}^{l} {.3}^{10 ‐ l} . x^{12 ‐ l}$

$\to$ số hạng chứa $x^{5}$ tương ứng với $12 - l = 5 \Leftrightarrow l = 7.$

Vậy hệ số của $x^{5}$ cần tìm $P (x)$ là $C_{5}^{1} . {(2)}^{4} + C_{10}^{7} {.3}^{3} = 3320$ . Chọn C.

Câu 19

Tìm hệ số chứa $x^{10}$ trong khai triển $f (x) = {(\frac{1}{4} x^{2} + x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{3 n}$ với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $A_{n}^{3} + C_{n}^{n - 2} = 14 n .$

A. $2^{5} C_{19} 10$

B. $2^{5} C_{19}^{10} x^{10}$

C. $2^{9} C_{19} 10$

D. $2^{9} C_{19}^{10} x^{10} .$

Lời giải

Lời giải. Từ phương trình $A_{n}^{3} + C_{n}^{n ‐ 2} = 14 n \to n = 5.$

Với $n = 5$ , ta có $f (x) = {(\frac{1}{4} x^{2} + x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{3 n}$

$= \frac{1}{16} {(x + 2)}^{4} {(x + 2)}^{15} = \frac{1}{16} {(x + 2)}^{19}$

Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có $f (x) = \frac{1}{16} {(x + 2)}^{19} = \frac{1}{16}_{k = 0}^{19} C_{19}^{k} {.2}^{k} . x^{19 ‐ k}$

Số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển tương ứng với $19 - k = 10 \Leftrightarrow k = 9.$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển là $\frac{1}{16} C_{19}^{10} 2^{9} = 2^{5} C_{19}^{10}$ . Chọn A.

Câu 20

Tìm hệ số của $x^{4}$ trong khai triển $P (x) = {(1 - x - 3 x^{3})}^{n}$ với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $C_{n}^{n ‐ 2} + 6 n + 5 = A_{n + 1}^{2} .$

A. 210

B. 840

C. 480

D. 270

Lời giải

Lời giải. Từ phương trình $C_{n}^{n ‐ 2} + 6 n + 5 = A_{n + 1}^{2} \to n = 10.$

Với $n = 10$ , khi đó $P (x) = {(1 - x - 3 x^{3})}^{n} = {(1 - x - 3 x^{3})}^{10} .$

Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

$P (x) = {(1 - x - 3 x^{3})}^{10} = {(1 - (x + 3 x^{3}))}^{10} =_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(- 1)}^{k} {(x + 3 x^{3})}^{k}$

$=_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(- 1)}^{k} x^{k} {(1 + 3 x^{2})}^{k} =_{k = 0}^{10} C_{10}^{k}_{l = 0}^{k} C_{k}^{l} {(- 1)}^{k} 3^{l} x^{k + 2 l}$

Số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển tương ứng với $\{\begin{cases} k + 2 l = 4 \\ 0 \leq k \leq 10 \Leftrightarrow (k; l) = \{(4; 0), (2; 1)\} \\ 0 \leq l \leq k \end{cases}$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển là $C_{10}^{4} C_{4}^{0} + C_{10}^{2} C_{2}^{1} 3 = 480$ . ChọnC.

Câu 21

Tìm hệ số của $x^{10}$ trong khai triển ${(1 + x + x^{2} + x^{3})}^{5}$

A. 5

B. 50

C. 101

D. 105

Lời giải

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(1 + x + x^{2} + x^{3})}^{5} = {(1 + x)}^{5} {(1 + x^{2})}^{5}$

$=_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} x^{k} ._{l = 0}^{5} C_{5}^{l} {(x^{2})}^{l} =_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} ._{l = 0}^{5} C_{5}^{l} . x^{k + 2 l}$

Số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển tương ứng với $k + 2 l = 10 \Leftrightarrow k = 10 - 2 l .$

Kết hợp với điều kiện ta có hệ $\{\begin{cases} k + 2 l = 10 \\ k, l \in ℕ \end{cases} \Leftrightarrow 0 \leq k \leq 5, 0 \leq l \leq 5$

$\Leftrightarrow (k; l) = \{(0; 5), (2; 4), (4; 3)\} .$

Vậy hệ số cần tìm là $C_{5}^{0} . C_{5}^{5} + C_{5}^{2} . C_{5}^{4} + C_{5}^{4} . C_{5}^{3} = 101$ . Chọn C.

Câu 22

Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $P (x) = (1 + x) + 2 {(1 + x)}^{2} + \dots + 8 {(1 + x)}^{8}$

A. 630

B. 635

C. 636

D. 637

Lời giải

Lời giải. Các biểu thức $(1 + x)$ , ${(1 + x)}^{2}, ...., {(1 + x)}^{4}$ không chứa số hạng chứa $x^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5} .$ trong khai triển 5 ${(1 + x)}^{5}$ là $5 C_{5}^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5} .$ trong khai triển 6 ${(1 + x)}^{6}$ là $6 C_{6}^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5} .$ trong khai triển 7 ${(1 + x)}^{7}$ là $7 C_{7}^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5} .$ trong khai triển 8 ${(1 + x)}^{8}$ là $8 C_{8}^{5} .$

Vậy hệ số của $x^{5} .$ trong khai triển $P (x)$ là $5 C_{5}^{5} + 6 C_{6}^{5} + 7 C_{7}^{5} + 8 C_{8}^{5} = 636$ . Chọn C.

Câu 23

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + . . + C_{2 n}^{n} = C_{2 n}^{n + 1} + C_{2 n}^{n + 2} + . . . + C_{2 n}^{2 n} .$

B. $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + \dots + c_{2 n}^{n - 2} = C_{2 n}^{n + 1} + C_{2 n}^{n + 2} + . . . + C_{2 n}^{2 n} .$

C. $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + \dots + c_{2 n}^{n - 1} = C_{2 n}^{n + 1} + C_{2 n}^{n + 2} + . . . + C_{2 n}^{2 n} .$

D. $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + \dots + c_{2 n}^{n + 1} = C_{2 n}^{n + 1} + C_{2 n}^{n + 2} + . . . + C_{2 n}^{2 n} .$

Lời giải

Lời giải. Áp dụng công thức $C_{n}^{k} = C_{n}^{n ‐ k}$ , ta có $\{\begin{cases} C_{2 n}^{0} = C_{2 n}^{2 n} \\ C_{2 n}^{1} = C_{2 n}^{2 n ‐ 1} \\ \dots \\ C_{2 n}^{n 1} = C_{2 n}^{n + 1} \end{cases}$

Cộng vế theo vế, ta được $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + \dots + C_{2 n}^{n ‐ 1} =$

$C_{2 n}^{n + 1} + C_{2 n}^{n + 2} + \dots + C_{2 n}^{2 n}$ . Chọn B.

Câu 24

Tính tổng $S = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} .$

A. $S = 2^{n} - 1$

B. $S = 2^{n}$

C. $S = 2^{n ‐ 1} S = 2^{n ‐ 1}$

D. $S = 2^{n} + 1.$

Lời giải

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${(1 + x)}^{n}$ , ta có

${(1 + x)}^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + ... + C_{n}^{n} x^{n} .$

Cho x=1, ta được $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n} = {(1 + 1)}^{n} = 2^{n}$ . Chọn B.

Câu 25

Tính tổng $S = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n} .$

A. $S = 2^{2 n}$

B. $S = 2^{2 n} - 1$

C. $S = 2^{n}$

D. $S = 2^{2 n} + 1.$

Lời giải

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${(1 + x)}^{2 n}$ , ta có

${(1 + x)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} x + C_{2 n}^{2} x^{2} + ... + C_{2 n}^{2 n} x^{2 n} .$

Cho x=1, ta được $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + ... + C_{2 n}^{2 n} =$

${(1 + 1)}^{2 n} = 2^{2 n}$ . Chọn A.

Câu 26

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} + \dots + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{20} - 1.$

A. $n = 8$

B. n=9

C. $n = 10$

D. $n = 11.$

Lời giải

Lời giải.

Ta có ${(1 + 1)}^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ . ( 11)

Lại có $C_{2 n + 1}^{0} = C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ ; $C_{2 n + 1}^{1} = C_{2 n + 1}^{2 n}$ ;

$C_{2 n + 1}^{2} = C_{2 n + 1}^{2 n ‐ 1}$ ; ...; $C_{2 n + 1}^{n} = C_{2 n + 1}^{n + 1}$ . (2)

Từ ( 1) và (2) , suy ra $C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + \dots + C_{2 n + 1}^{n} = \frac{2^{2 n + 1}}{2}$

$\Leftrightarrow C_{2 n + 1}^{1} + \dots + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{2 n} - 1 \Leftrightarrow 2^{20} - 1 = 2^{2 n} - 1 \Leftrightarrow n = 10.$

Vậy $n = 10$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.

Câu 27

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{3} + \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1} = 1024.$

A. $n = 5$

B. $n = 9$

C. $n = 10$

D. $n = 4$

Lời giải

Lời giải. Xét khai triển ${(x + 1)}^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} x^{2 n + 1} + C_{2 n + 1}^{1} x^{2 n} + \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1} .$

Cho x=1, ta được $2^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ . ( 11)

Cho $x = - 1$ , ta được $0 = - C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} - \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ . (2)

Cộng ( 1) và (2) vế theo vế, ta được

$2^{2 n + 1} = 2 (C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{3} + \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}) \Leftrightarrow 2^{2 n + 1} = 2.1024 \Leftrightarrow n = 5$ . Chọn A.

Câu 28

Tính tổng $S = C_{n}^{0} + 3 C_{n}^{1} + 3^{2} C_{n}^{3} + \dots + 3^{n} C_{n}^{n} .$

A. $S = 3^{n}$

B. $S = 2^{n}$

C. $S = {3.2}^{n}$

D. $S = 4^{n} .$

Lời giải

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${(1 + x)}^{n}$ , ta có

${(1 + x)}^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + ... + C_{n}^{n} x^{n} .$

Cho x=3, ta được $C_{n}^{0} + 3 C_{n}^{1} + 3^{2} C_{n}^{3} + \dots + 3^{n} C_{n}^{n} = {(1 + 3)}^{n} = 4^{n}$ . Chọn D.

Câu 29

Khai triển đa thức $P (x) = {(1 + 2 x)}^{12} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{12} x^{12}$ . Tìm hệ số $a_{k}$ $(0 \leq k \leq 12)$ lớn nhất trong khai triển trên.

A. $C_{12}^{8} 2^{8}$

B. $C_{12}^{9} 2^{9}$

C. $C_{12}^{10} 2^{10}$

D. $C_{12}^{10} 2^{10}$

Lời giải

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${(1 + 2 x)}^{12}$ , ta có

${(1 + 2 x)}^{12} =_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} {(2 x)}^{k} =_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} 2^{k} x^{k}$

Suy ra $a_{k} = C_{12}^{k} 2^{k} .$

Hệ số $a_{k}$ lớn nhất khi $\{\begin{cases} a_{k} \geq a_{k + 1} \\ a_{k} \geq a_{k ‐ 1} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2^{k} . c_{12}^{k} \geq 2^{k + 1} C_{12}^{k + 1} \\ 2^{k} c_{12}^{k} \geq 2^{k ‐ 1} C_{12}^{k ‐ 1} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{12 - k} \geq \frac{2}{k + 1} \\ \frac{2}{k} \geq \frac{1}{12 - k + 1} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{23}{3} \leq k \leq \frac{26}{3}$

$\frac{0 \leq k \leq 12}{k \in ℕ} \Rightarrow k = 8$

Vậy hệ số lớn nhất là $a_{8} = C_{12}^{8} {.2}^{8}$ . Chọn B.

Câu 30

Khai triển đa thức $P (x) = {(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{9} x^{9} + a_{10} x^{10}$ . Tìm hệ số $a_{k}$ lớn nhất trong khai triển trên.

A. $1 + \frac{2^{7}}{3^{10}} C_{10}^{7}$

B. $\frac{2^{7}}{3^{10}} C_{10}^{7}$

C. $\frac{2^{6}}{3^{10}} C_{10}^{6}$

D. $\frac{2^{8}}{3^{10}} C_{10}^{8} .$

Lời giải

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x)}^{10}$ , ta có

${(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x)}^{10} =_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(\frac{1}{3})}^{10 ‐ k} {(\frac{2}{3} x)}^{k}$

$=_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(\frac{1}{3})}^{10 ‐ k} {(\frac{2}{3})}^{k} x^{k} .$

Suy ra $a_{k} = C_{10}^{k} {(\frac{1}{3})}^{10 ‐ k} {(\frac{2}{3})}^{k}$

Giả sử $a_{k}$ là hệ số lớn nhất, khi đó $\{\begin{cases} a_{k} \geq a_{k + 1} \\ a_{k} \geq a_{k ‐ 1} \end{cases}$

$\{\begin{cases} C_{10}^{k} {(\frac{1}{3})}^{10 - k} {(\frac{2}{3})}^{k} \geq C_{10}^{k + 1} {(\frac{1}{3})}^{10 - (k + 1)} {(\frac{2}{3})}^{k + 1} \\ C_{10}^{k} {(\frac{1}{3})}^{10 - k} {(\frac{2}{3})}^{k} \geq C_{10}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{10 - (k - 1)} {(\frac{2}{3})}^{k - 1} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} k \geq \frac{19}{3} \\ k \leq \frac{22}{3} \end{cases}$ $\to_{k \in ℕ}^{0 \leq k \leq 10} k = 7$

Vậy hệ số lớn nhất là $a_{7} = \frac{2^{7}}{3^{10}} C_{10}^{7}$ . Chọn B.

4.6

442 Đánh giá

50%

40%

30 câu Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu- tơn có đáp án (Mới nhất)

🔥 Đề thi HOT:

10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)

Bài tập Hình học không gian lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P11)

10 Bài tập Biến cố hợp. Biến cố giao (có lời giải)

15 câu Trắc nghiệm Khoảng cách có đáp án (Nhận biết)

10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)

Bài tập Xác suất ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P1)

23 câu Trắc nghiệm Xác suất của biến cố có đáp án (Phần 2)

10 Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến thể tích (có lời giải)

Nội dung liên quan:

18 câu Trắc nghiệm Quy tắc đếm có đáp án

19 câu Trắc nghiệm Quy tắc đếm có đáp án (Phần 2)

15 câu Trắc nghiệm Quy tắc đếm có đáp án (Nhận biết)

15 câu Trắc nghiệm Quy tắc đếm có đáp án (Thông hiểu)

10 câu Trắc nghiệm Quy tắc đếm có đáp án (Vận dụng)

20 câu Trắc nghiệm Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp có đáp án

19 câu Trắc nghiệm Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp có đáp án (phần 2)

15 câu Trắc nghiệm Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp có đáp án (Nhận biết)

15 câu Trắc nghiệm Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp có đáp án (Thông hiểu)

10 câu Trắc nghiệm Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp có đáp án (Vận dụng)

Danh sách câu hỏi:

Tìm hệ số của x12 trong khai triển 2x−x210

Khai triển đa thức Px=5x−12007 ta được Px=a2007x2007+a2006x2006+…+a1x+a0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Đa thức Px=32x5−80x4+80x3−40x2+10x−1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển (x−1x)13

Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (x+12x)9

Tìm số hạng chứa x31 trong khai triển (x+1x2)40

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x2+2x)6

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (xy2−1xy)8

Tìm số hạng chứa x3y trong khai triển (xy+1y)5

Tìm hệ số của x6 trong khai triển 1x+x33n+1 với x≠0 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3Cn+12+nP2=4An2.

Tìm hệ số của x9trong khai triển 1−3x2n, biết n là số nguyên dương thỏa mãn 2Cn2+143Cn3=1n.

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (2x−3x3)2n với x≠0 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn3+2n=An+12.

Tìm hệ số của x7 trong khai triển (3x2−2x)n với x≠0 , biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080.

Tìm số tự nhiên n, biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong khai triển (x−13)n bằng 4.

Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển x3+xy21.

Tính tổng Stất cả các hệ số trong khai triển 3x−417

Khai triển đa thức Px=2x−11000 ta được Px=a1000x1000+a999x999+…+a1x+a0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Tìm hệ số của x5 trong khai triển Px=x1−2x5+x21+3x10

Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển fx=14x2+x+12x+23n với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức An3+Cnn−2=14n.

Tìm hệ số của x4 trong khai triển Px=1−x−3x3n với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức Cnn‐2+6n+5=An+12.

Tìm hệ số của x10 trong khai triển 1+x+x2+x35

Tìm hệ số của x5 trong khai triển Px=1+x+21+x2+…+81+x8

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Tính tổng S=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn.

Tính tổng S=C2n0+C2n1+C2n2+…+C2n2n.

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+11+C2n+12+…+C2n+1n=220−1.

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+11+C2n+13+…+C2n+12n+1=1024.

Tính tổng S=Cn0+3Cn1+32Cn3+…+3nCnn.

Khai triển đa thức Px=1+2x12=a0+a1x+…+a12x12 . Tìm hệ số ak 0≤k≤12 lớn nhất trong khai triển trên.

Khai triển đa thức Px=13+23x10=a0+a1x+…+a9x9+a10x10 . Tìm hệ số ak lớn nhất trong khai triển trên.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tìm hệ số của $x^{12}$ trong khai triển ${(2 x - x^{2})}^{10}$

Khai triển đa thức $P (x) = {(5 x - 1)}^{2007}$ ta được $P (x) = a_{2007} x^{2007} + a_{2006} x^{2006} + \dots + a_{1} x + a_{0} .$

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Đa thức $P (x) = 32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x - 1$ là khai triển của nhị thức

nào dưới đây?

Tìm số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển ${(x - \frac{1}{x})}^{13}$

Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển ${(x + \frac{1}{2 x})}^{9}$

Tìm số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{40}$

Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(x y^{2} - \frac{1}{x y})}^{8}$

Tìm số hạng chứa $x^{3} y$ trong khai triển ${(x y + \frac{1}{y})}^{5}$

Tìm hệ số của $x^{6}$ trong khai triển ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1}$ với $x \neq 0$ , biết n là số nguyên

dương thỏa mãn $3 C_{n + 1}^{2} + n P_{2} = 4 A_{n}^{2} .$

Tìm hệ số của $x^{9}$ trong khai triển ${(1 - \sqrt{3} x)}^{2 n}$ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn $\frac{2}{C_{n}^{2}} + \frac{14}{3 C_{n}^{3}} = \frac{1}{n} .$

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(2 x - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{2 n}$ với $x \neq 0$ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{3} + 2 n = A_{n + 1}^{2} .$

Tìm hệ số của $x^{7}$ trong khai triển ${(3 x^{2} - \frac{2}{x})}^{n}$ với $x \neq 0$ , biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080.

Tìm số tự nhiên n, biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong khai triển ${(x - \frac{1}{3})}^{n}$ bằng 4.

Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ${(x^{3} + x y)}^{21} .$

Tính tổng Stất cả các hệ số trong khai triển ${(3 x - 4)}^{17}$

Khai triển đa thức $P (x) = {(2 x - 1)}^{1000}$ ta được

$P (x) = a_{1000} x^{1000} + a_{999} x^{999} + \dots + a_{1} x + a_{0} .$

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $P (x) = x {(1 - 2 x)}^{5} + x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}$

Tìm hệ số chứa $x^{10}$ trong khai triển $f (x) = {(\frac{1}{4} x^{2} + x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{3 n}$ với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $A_{n}^{3} + C_{n}^{n - 2} = 14 n .$

Tìm hệ số của $x^{4}$ trong khai triển $P (x) = {(1 - x - 3 x^{3})}^{n}$ với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $C_{n}^{n ‐ 2} + 6 n + 5 = A_{n + 1}^{2} .$

Tìm hệ số của $x^{10}$ trong khai triển ${(1 + x + x^{2} + x^{3})}^{5}$

Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $P (x) = (1 + x) + 2 {(1 + x)}^{2} + \dots + 8 {(1 + x)}^{8}$

Tính tổng $S = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} .$

Tính tổng $S = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n} .$

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} + \dots + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{20} - 1.$

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{3} + \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1} = 1024.$

Tính tổng $S = C_{n}^{0} + 3 C_{n}^{1} + 3^{2} C_{n}^{3} + \dots + 3^{n} C_{n}^{n} .$

Khai triển đa thức $P (x) = {(1 + 2 x)}^{12} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{12} x^{12}$ . Tìm hệ số $a_{k}$ $(0 \leq k \leq 12)$ lớn nhất trong khai triển trên.

Khai triển đa thức $P (x) = {(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{9} x^{9} + a_{10} x^{10}$ . Tìm hệ số $a_{k}$ lớn nhất trong khai triển trên.