109 câu Trắc nghiệm Toán 11 Dạng 2: Tính đạo hàm bằng công thức có đáp án (Mới nhất)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: \[\left( {\sin x} \right)' = \cos x\].

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: \[\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\].

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: \[\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\].

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: \[\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\].

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\(y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có .

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bảng công thức đạo hàm của hàm số hợp :

Chọn B.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\[y' = 2.4.\sin 4x.\cos 4x = 4\sin 8x\].

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(y' = - 2.2x.\sin {x^2} = - 4x\sin {x^2}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y' = - 2.\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\)

Theo giả thiết \(y' = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2}{\rm{       }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(y' = - \frac{3}{{{{\sin }^2}3x}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}} = - \frac{3}{{{{\sin }^2}3x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}2x}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: \[y' = 4\sin x\cos x + 2\sin 2x + 1 = 4\sin 2x + 1\].

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: \[y' = - \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\sin }^2}{x^2}}} = - \frac{x}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\]

Hướng dẫn giải:

Chọn C (vì \[x = - \frac{\pi }{3} - 2k\pi ,k \in Z \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + 2l\pi ,l \in \mathbb{Z}\])

Ta có: \[y' = - \frac{1}{2}\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right)\]\[ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2}\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} - \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \]

\[ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} - 2k\pi ,k \in Z\]

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Sử dụng công thức đạo hàm hợp: \[\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\] và đạo hàm của hàm số lượng giác.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: \(y' = {\left( {\tan 7x} \right)^\prime } = \frac{7}{{{{\cos }^2}7x}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

\[f'\left( x \right) = 4\cos 2x - 2\sin 2x\].

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\[y' = - 2\cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = - 2\sin \left( {2x} \right)\].

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\[f'\left( x \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{\cos 3x}}{{\sqrt {\sin 3x} }} \cdot \]

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: \(y' = - \frac{1}{2}.\left( { - 2x} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} - {x^2}} \right) = x.\cos \left( {\frac{\pi }{3} - {x^2}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\(y' = - \sin \left( {\tan x} \right) \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).

Hướng dẫn giải:

\(y' = 4x\cos ({x^2} + 2)\)

Chọn D

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(y' = \left( {{{\sin }^2}x} \right)'.\cos x + {\sin ^2}x.\left( {\cos x} \right)' = 2{\cos ^2}x\sin x - {\sin ^3}x\)

\( & = \sin x\left( {2{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = \sin x\left( {3{{\cos }^2}x - 1} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\(y' = \frac{{\left( {\sin x} \right)'.x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} .x'}}{{{x^2}}} = \frac{{x.\cos x - \sin x}}{{{x^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

\(y' = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\)

Chọn D

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(y' = \left( {{x^2}} \right)'.\cos x + {x^2}.\left( {\cos x} \right)' = 2x.\cos x - {x^2}.\sin x\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: \[y = \left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 1 + \sin x + \cos x + \sin x.\cos x = 1 + \sin x + \cos x + \frac{1}{2}\sin 2x\].

Suy ra: \[y' = \cos x - \sin x + \cos 2x\].

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: \(y' = \frac{{\cos x(1 + \cos x) + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x(1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x)}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} = \frac{{1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x + \cos x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có:\(y' = \frac{{{{\left( {\cos 2x} \right)}^\prime }\left( {3x + 1} \right) - {{\left( {3x + 1} \right)}^\prime }.cos2x}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 2\sin 2x\left( {3x + 1} \right) - 3\cos 2x}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x - x\cos x} \right)}^\prime }\left( {\cos x + x\sin x} \right) - {{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^\prime }\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x - x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x\sin x\left( {\cos x + x\sin x} \right) - x\cos x\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x - x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{x}{{\cos x + x\sin x}}} \right)^2}\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: \(y' = {\left( {{{\cot }^2}\frac{x}{4}} \right)^\prime } = 2\cot \frac{x}{4}{\left( {\cot \frac{x}{4}} \right)^\prime } = \frac{1}{2}\cot \frac{x}{4}\left( {1 + {{\cot }^2}\frac{x}{4}} \right)\)

Mà: \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cot \frac{x}{4}\left( {1 + {{\cot }^2}\frac{x}{4}} \right) \Leftrightarrow \cot \frac{x}{4} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = 2\pi + k4\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\(y' = 2.\left( {\sqrt x } \right)'.\cos \sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }}.\cos \sqrt x \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\[y' = 2\left( {\sqrt {\sin x} } \right)' - 2\left( {\sqrt {\cos x} } \right)' = 2.\cos x.\frac{1}{{2\sqrt {\sin x} }} + 2\sin x\frac{1}{{2\sqrt {\cos x} }}\].

\[ = \frac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }} + \frac{{\sin x}}{{\sqrt {\cos x} }}\]

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(y' = \left( {\tan \frac{x}{2}} \right)'.2\tan \frac{x}{2} = \frac{1}{2}\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}2\tan \frac{x}{2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}.\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{x}{2}}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Bước đầu tiên áp dung công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = \sin \left( {2x + 1} \right)\)

Vậy \(y' = {\left( {{{\sin }^3}\left( {2x + 1} \right)} \right)^/} = 3{\sin ^2}\left( {2x + 1} \right).{\left( {\sin \left( {2x + 1} \right)} \right)^/}.\)

Tính \({\left( {\sin \left( {2x + 1} \right)} \right)^/}\): Áp dụng \({\left( {\sin u} \right)^/}\), với \(u = \left( {2x + 1} \right)\)

Ta được: \({\left( {\sin \left( {2x + 1} \right)} \right)^/} = \cos \left( {2x + 1} \right).{\left( {2x + 1} \right)^/} = 2\cos \left( {2x + 1} \right).\)

\( \Rightarrow y' = 3.{\sin ^2}\left( {2x + 1} \right).2\cos \left( {2x + 1} \right) = 6{\sin ^2}\left( {2x + 1} \right)\cos \left( {2x + 1} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Áp dụng công thức \({\left( {\sin u} \right)^/}\) với \(u = \sqrt {2 + {x^2}} \)

\(y' = \cos \sqrt {2 + {x^2}} .{\left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right)^/} = \cos \sqrt {2 + {x^2}} .\frac{{{{\left( {2 + {x^2}} \right)}^/}}}{{2\sqrt {2 + {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}.\cos \sqrt {2 + {x^2}} .\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Áp dụng \({\left( {\sqrt u } \right)^/}\), với \(u = \sin x + 2x\)

\(y' = \frac{{{{\left( {\sin x + 2x} \right)}^/}}}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }} = \frac{{\cos x + 2}}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Bước đầu tiên áp dụng \({\left( {u + v} \right)^/}\)

\(y' = {\left( {2{{\sin }^2}4x} \right)^/} - 3{\left( {{{\cos }^3}5x} \right)^/}\)

Tính \({\left( {{{\sin }^2}4x} \right)^/}\): Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\), với \(u = \sin 4x,\) ta được:

\({\left( {{{\sin }^2}4x} \right)^/} = 2\sin 4x.{\left( {\sin 4x} \right)^/} = 2\sin 4x.\cos 4x{\left( {4x} \right)^/} = 4\sin 8x.\)

Tương tự: \({\left( {{{\cos }^3}5x} \right)^/} = 3{\cos ^2}5x.{\left( {\cos 5x} \right)^/} = 3{\cos ^2}5x.\left( { - \sin 5x} \right).{\left( {5x} \right)^/}\)

         \( = - 15{\cos ^2}5x.\sin 5x = \frac{{ - 15}}{2}cos5x.\sin 10x.\)

Kết luận: \(y' = 8\sin 8x + \frac{{45}}{2}cos5x.\sin 10x\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\), với \(u = 2 + {\sin ^2}2x.\)

\(y' = 3{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^2}{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^/} = 3{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^2}{\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^/}.\)

Tính \({\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^/},\) áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},\) với \(u = \sin 2x.\)

\({\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^/} = 2.\sin 2x{\left( {\sin 2x} \right)^/} = 2.\sin 2x.\cos 2x{\left( {2x} \right)^/} = 2\sin 4x.\)

\( \Rightarrow y' = 6\sin 4x{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^2}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có \(y' = \frac{{ - \sin x}}{{2\sqrt {\cos x} }}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},\) với \(u = \sin x + \cos x\)

\(y' = 3{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}.{\left( {\sin x + \cos x} \right)^/} = 3{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\left( {\cos x - \sin x} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(y = {\sin ^3}2x.{\cos ^3}2x = {\left( {\sin 2x.\cos 2x} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{2}\sin 4x} \right)^3} = \frac{1}{8}.{\sin ^3}4x\). Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},u = \sin 4x.\)

\(y' = \frac{1}{8}.3{\sin ^2}4x{\left( {\sin 4x} \right)^/} = \frac{1}{8}.3{\sin ^2}4x.\cos 4x.{\left( {4x} \right)^/} = \frac{3}{2}{\sin ^2}4x.\cos 4x.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\( = {\left[ {\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)} \right]^5} = {\left( {\cos 2x} \right)^5}.\)Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\), với \(u = \cos 2x\)

\(y' = 5.{\cos ^4}2x.{\left( {\cos 2x} \right)^/} = 5.{\cos ^4}2x.\left( { - \sin 2x} \right).{\left( {2x} \right)^/} = - 10{\cos ^4}2x.\sin 2x.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\(y' = \left( {\cot 2x} \right)'\frac{1}{{2\sqrt {\cot 2x} }} = - 2.\frac{1}{{{{\sin }^2}2x}}.\frac{1}{{2\sqrt {\cot 2x} }} = \frac{{ - \left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right)}}{{\sqrt {\cot 2x} }}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt[3]{{\cos 2.\frac{\pi }{2}}} = - 1\).

\[y = \sqrt[3]{{\cos 2x}} \Rightarrow {y^3} = \cos 2x \Rightarrow y'3{y^2} = - 2\sin 2x \Rightarrow y' = \frac{{ - 2\sin 2x}}{{3{{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)}^2}}}\].

\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).

\(3.{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)^2}.\frac{{ - 2\sin 2x}}{{3{{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)}^2}}} + 2\sin 2x = - 2\sin 2x + 2\sin 2x = 0\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \[y' = \frac{{{{\left( {\cos 2x} \right)}^\prime }}}{{3\sqrt[3]{{{{\cos }^2}2x}}}} = - \frac{{2\sin 2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\cos }^2}2x}}}}\]\( \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có

\(y' = 2\sin 2x.\cos 2x.\cos x + {\sin ^2}2x.\left( { - \sin x} \right) - \frac{1}{{x\sqrt x }} = \sin 4x.\cos x - {\sin ^2}2x.\sin x - \frac{1}{{x\sqrt x }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có \(y' = 2\tan x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2\cot x.\left( { - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right) = \frac{{2\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{2\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: \(y' = f'\left( x \right) - 2.\cos x.\left( { - \sin x} \right) = f'\left( x \right) + 2.\cos x.\sin x = f'\left( x \right) + \sin 2x\)

\( \Rightarrow y' = 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + \sin 2x = 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1 - \sin 2x \Leftrightarrow f\left( x \right) = x + \frac{1}{2}\cos 2x\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y' = - 2.\frac{{ - {{\left( {\tan \left( {1 - 2x} \right)} \right)}^\prime }}}{{{{\tan }^2}\left( {1 - 2x} \right)}} = 2 \cdot \frac{{ - 2 \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\tan }^2}\left( {1 - 2x} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{{{\sin }^2}\left( {1 - 2x} \right)}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {x.\tan x} \right)}^\prime }}}{{2.\sqrt {x.\tan x} }} = \frac{{x'.\tan x + x.{{\left( {\tan x} \right)}^\prime }}}{{2.\sqrt {x.\tan x} }} = \frac{{\tan x + x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{2.\sqrt {x.\tan x} }} = \frac{{\tan x + x.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}}{{2.\sqrt {x.\tan x} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: \[y = {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + \frac{\pi }{2}x - \frac{\pi }{4} = \frac{{1 - \cos \left( {\pi - 4x} \right)}}{2} + \frac{\pi }{2}x - \frac{\pi }{4}\]

Suy ra: \[y' = - 2\sin \left( {\pi - 4x} \right) + \frac{\pi }{2} \cdot \]

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: \[y' = \frac{{{{\left[ {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} \right]}^\prime }}}{{2\sqrt {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} }} = \frac{{1 + {{\tan }^2}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{2\sqrt {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} }} \cdot {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^\prime } = \frac{{1 + {{\tan }^2}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{2\sqrt {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} }} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\].

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\(y' = 2\cot \left( {\cos x} \right).{\left( {\cot \left( {\cos x} \right)} \right)^\prime } + \frac{{{{\left( {\sin x{\rm{ - }}\frac{\pi }{2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {s{\rm{in}}x - \frac{\pi }{2}} }} = 2\cot \left( {\cos x} \right)\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}}.\sin x + \frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x - \frac{\pi }{2}} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:\(y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime }{\rm{tan}}x{\rm{ + }}{\left( {{\rm{tan}}x} \right)^\prime }.{x^2} + {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } \Rightarrow y' = 2x\tan x + \frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:\(y' = {\left( {\cos 2x} \right)^\prime }.{\sin ^2}\frac{x}{2} + {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)^\prime }.c{\rm{os2}}x{\rm{ = - 2sin2}}x{\rm{.}}{\sin ^2}\frac{x}{2} + \frac{1}{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x.cos2x.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}}} \right)^\prime } = \frac{{{{\sin }^2}x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime } - \left( {{{\sin }^2}x} \right)\cos x}}{{2{{\sin }^4}x}} = \frac{{ - {{\sin }^3}x - 2\sin x\cos x\cos x}}{{2{{\sin }^4}x}}\)

\( = - \frac{{{{\sin }^2}x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}{{{{\sin }^3}x}} = - \frac{{1 + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}{{{{\sin }^3}x}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: \(y' = \frac{{(3x + 2\tan x)'}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }} = \frac{{3 + 2(1 + {{\tan }^2}x)}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }} = \frac{{5 + 2{{\tan }^2}x}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y' = 2\sin (3x + 1).{\left[ {\sin (3x + 1)} \right]^'} = 2\sin (3x + 1).3\cos (3x + 1)\)\( = 3\sin (6x + 2)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(y' = \frac{{3\tan x(1 + {{\tan }^2}x) - (1 + {{\cot }^2}2x)}}{{\sqrt {3{{\tan }^2}x + \cot 2x} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(y' = \frac{{3{x^2} - 8{{\cos }^3}(2x - \frac{\pi }{4})\sin (2x - \frac{\pi }{4})}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + {{\cos }^4}(2x - \frac{\pi }{3})} \right)}^3}}}}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(y' = - 3\sin (2{\sin ^3}x){\sin ^2}x\cos x\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Bước đầu tiên ta áp dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = \frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}\)

\(y' = 3{\left( {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{\sin }}{{1 + \cos x}}} \right)^/}\)

Tính :\({\left( {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^/} = \frac{{{{\left( {\sin x} \right)}^/}\left( {1 + \cos x} \right) - {{\left( {1 + \cos x} \right)}^/}.\sin x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} = \frac{{\cos x\left( {1 + \cos x} \right) + {{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\)

        \( = \frac{{\cos x + {{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} = \frac{1}{{1 + \cos x}}\).

Vậy \(y' = 3{\left( {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}.\frac{1}{{1 + \cos x}} = \frac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^3}}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Áp dụng \({\left( {\sin u} \right)^/},\) với \(u = {\cos ^2}x{\tan ^2}x\)

\(y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right).{\left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)^/}.\)

Tính \({\left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)^/},\) bước đầu sử dụng \({\left( {u.v} \right)^/},\) sau đó sử dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}.\)

\({\left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)^/} = {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^/}.{\tan ^2}x + {\left( {{{\tan }^2}x} \right)^/}.{\cos ^2}x\)

\( = 2\cos x{\left( {\cos x} \right)^/}{\tan ^2}x + 2\tan x{\left( {\tan x} \right)^/}{\cos ^2}x\)

\( = - 2\sin x\cos x{\tan ^2}x + 2\tan x\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\cos ^2}x = - \sin 2x{\tan ^2}x + 2\tan x.\)

Vậy \(y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)\left( { - \sin 2x{{\tan }^2}x + 2\tan x} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},\) với \(u = \cos \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)\)

\(y' = 2.\cos \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).{\left[ {\cos \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)} \right]^/} = - 2.\cos \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).\sin \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).{\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)^/}\)

\(y' = - \sin \left( {2\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).{\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)^/}.\)

Tính \({\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)^/} = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^/}.\left( {\sqrt x - 1} \right) - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^/}.\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}.\)

Vậy \(y' = \frac{1}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}.\sin \left( {2.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(y' = \frac{{{{\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)}^/}.\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right) - {{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)}^/}.\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)}}{{{{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)}^2}}}\)

\(y' = \frac{{\left( {2\cos 2x - 2\sin 2x} \right)\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right) - \left( {4\cos 2x + 2\sin 2x} \right)\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)}}{{{{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)}^2}}}\)

\(y' = \frac{{ - 6{{\cos }^2}2x - 6{{\sin }^2}2x}}{{{{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)}^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Đầu tiên áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},\) với \(u = \sin \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right)\)

\(y' = 2\sin \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).{\left[ {\sin \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right)} \right]^/}\)

Sau đó áp dụng \({\left( {\sin u} \right)^/},\) với \(u = \cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)\)

\(y' = 2\sin \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\cos \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).{\left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right)^/}\)

Áp dụng \({\left( {\cos u} \right)^/},\) với \(u = {\tan ^4}3x.\)

\(y' = - \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).{\left( {{{\tan }^4}3x} \right)^/}.\)

Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},\) với \(u = \tan 3x\)

\(y' = - \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).4{\tan ^3}3x.{\left( {\tan 3x} \right)^/}.\)

\(y' = - \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).4{\tan ^3}3x.\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right).{\left( {3x} \right)^/}.\)

\(y' = - \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).4{\tan ^3}3x.\left( {1 + {{\tan }^3}3x} \right).3\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

\(y = - \frac{1}{3}\cot x(1 + {\cot ^2}x) + \frac{4}{3}\cot x = - \frac{1}{3}{\cot ^3}x + \cot x\)

Suy ra \(y' = {\cot ^2}x(1 + {\cot ^2}x) - 1 - {\cot ^2}x = {\cot ^4}x - 1\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y' = 12{\sin ^2}2x\cos 2x + 6\tan 3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) + \cos 4x - 4x\sin 4x\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: \({\left( {\frac{{\sin 2x}}{x}} \right)^'} = \frac{{2x\cos 2x - \sin 2x}}{{{x^2}}}\), \({\left( {\frac{x}{{\cos 3x}}} \right)^'} = \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\)

Nên \(y' = \frac{{2x\cos 2x - \sin 2x}}{{{x^2}}} - \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: \({\left( {\frac{{\sin 2x}}{x}} \right)^'} = \frac{{2x\cos 2x - \sin 2x}}{{{x^2}}}\), \({\left( {\frac{x}{{\cos 3x}}} \right)^'} = \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\)

Nên \(y' = \frac{{2x\cos 2x - \sin 2x}}{{{x^2}}} - \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y' = \sin 2x + 2x\cos 2x + \frac{{3{x^2} + 2x}}{{2\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: \(y' = \frac{{2\sin 2x + 3{x^2}}}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}x + {x^3} + 1} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \({\left( {x\tan 2x} \right)^'} = \tan 2x + 2x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)\)

\({\left( {\frac{{x + 1}}{{\cot x}}} \right)^'} = {\left[ {(x + 1)\tan x} \right]^'} = \tan x + (x + 1)({\tan ^2} + 1)\)

Nên \(y' = \tan 2x + 2x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) + \tan x + (x + 1)({\tan ^2} + 1)\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y' = \frac{{3{{\sin }^2}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{{\sqrt {{{\sin }^3}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + 1} }}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin x = \sin 0 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sin ( - x) = \sin 0 = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)\)

\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \({x_0} = 0\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(x \ne 0 \Rightarrow f'(x) = 3{x^2}\sin \frac{1}{x} - x\cos \frac{1}{x}\)

Với \(x = 0 \Rightarrow f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = 0\)

Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2}\sin \frac{1}{x} - x\cos \frac{1}{x}{\rm{   khi }}x \ne 0\\0{\rm{     khi   }}x = 0\end{array} \right.\).