21 câu Dạng 2: Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác

Ta có $3{\sin }^{2}2x+7cos2x-3=0\iff 3\left(1-co{s}^{2}2x\right)+7\cos 2x-3=0$

$\iff 3co{s}^{2}2x-7\cos 2x=0\iff \cos 2x\left(3\cos 2x-7\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}\cos 2x=0\\ 3\cos 2x-7=0\end{array}\right..$

Trường hợp 1: $\cos 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Trường hợp 2: $3\cos 2x-7=0\iff \cos 2x=\frac{7}{3}>1$ (loại).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án C

Phương trình $2{\sin }^{2}x+\sin x-3=0$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Đặt  $t=\sin x,\left|t\right|\le 1.$ Ta có $2{\sin }^{2}x+\sin x-3=0\iff 2t^2+t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{-3}{2}\end{array}\right.\iff t=1$  (do ).

Đáp án A

Phương trình ${\cos }^{2}x+2\cos x-3=0$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Đặt $t=\cos x,\left|t\right|\le 1.$  Ta có  ${\cos }^{2}x+2\cos x-3=0\iff t^2+2t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-3\end{array}\right.\iff t=1$(do $\left|t\right|\le 1$). 

Với $t=\mathrm{1,}$  ta có $\cos x=1\iff x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án A

Phương trình $2{\sin }^{2}x+5\sin x-3=0$  có nghĩa

Đặt $t=\sin x,\left|t\right|\le 1.$  Ta có $2{\sin }^{2}x+5\sin x-3=0\iff 2t^2+5t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=-3\end{array}\right.\iff t=\frac{1}{2}$  (do $\left|t\right|\le 1$ ).

Với $t=\frac{1}{2},$  ta có $\sin x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình là $x=\frac{\pi }{6}.$

Phương trình $3{\cos }^{2}x-2\cos x-4=0$   có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Đặt $t=\cos x,\left|t\right|\le 1.$

Ta có $3{\cos }^{2}x-2\cos x-4=0\iff 3t^2-2t-4=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1-\sqrt{13}}{3}\\ t=\frac{1+\sqrt{13}}{3}\end{array}\right.\iff t=\frac{1-\sqrt{13}}{3}$ (do $\left|t\right|\le 1$ ).

Với $t=\frac{1-\sqrt{13}}{3},$  ta có $\cos x=\frac{1-\sqrt{13}}{3}\iff \left[\begin{array}{l}x=\arccos \frac{1-\sqrt{13}}{3}+k2\pi \\ x=-\arccos \frac{1-\sqrt{13}}{3}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vì $x\in \left[\mathrm{0,3}\pi \right]$  nên phương trình chỉ có 3 nghiệm.

$x=\arccos \frac{1-\sqrt{13}}{3},x=\arccos \frac{1-\sqrt{13}}{3}+2\pi ,x=-\arccos \frac{1-\sqrt{13}}{3}+2\pi .$

Đáp án C

Phương trình $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Đặt $t=\sin x,\left|t\right|\le 1.$  Ta có $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0\iff 2t^2-3t+1=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=1\end{array}\right..$

Với $t=\frac{1}{2},$  ta có $\sin x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Với $t=\mathrm{1,}$   ta có $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vì $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right)$  nên $x=\frac{\pi }{6}.$

Đáp án B

Phương trình ${\tan }^{2}x+2\tan x+1=0$  có nghĩa $\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi .$

Đặt $\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi .$ . Ta có ${\tan }^{2}x+2\tan x+1=0\iff t^2+2t+1=0\iff t=-1.$

Với $t=-\mathrm{1,}$  ta có $\tan x=-1\iff \tan x=tan\frac{-\pi }{4}\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đápn án C

Phương trình $co{s}^{2}2x+cos2x-\frac{3}{4}=0$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Đặt $t=cos2x,\left|t\right|\le 1.$  Ta có $co{s}^{2}2x+cos2x-\frac{3}{4}=0\iff t^2+t-\frac{3}{4}=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=\frac{-3}{2}\end{array}\right.\iff t=\frac{1}{2}$  (do $\left|t\right|\le 1$ ).