20 câu Dạng 3: Phương trình lượng giác đẳng cấp

Đáp án D

Phương trình ${\cos }^{2}x-3\sin x\cos x-2{\sin }^{2}x=1$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$  phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x\ne 0.$  Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$  ta được ${\cos }^{2}x-3\sin x\cos x-2{\sin }^{2}x=1\iff 1-3\tan x-2{\tan }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$

$\iff {\tan }^{2}x+\tan x=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \tan x=0\iff x=k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án A

Phương trình $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$  có nghĩa khi $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Chia cả 2 vế của phương trình cho $\cos x$  ta được

$\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}\iff \sqrt{3}\tan x+1=1+{\tan }^{2}x$

$\iff {\tan }^{2}x-\sqrt{3}\tan x=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ \tan x=0\iff x=k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án D

Phương trình $3co{s}^{2}4x+5{\sin }^{2}4x=2-2\sqrt{3}\sin 4x.\cos 4x$  có nghĩa

Với $\cos 4x=0\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$  phương trình vô nghiệm.

Với  $\cos 4x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}4x$  ta được

$3co{s}^{2}4x+5{\sin }^{2}4x=2-2\sqrt{3}\sin 4x.\cos 4x\iff 3+5{\tan }^{2}4x=2\left(1+{\tan }^{2}4x\right)-2\sqrt{3}\tan 4x$

$\iff 3{\tan }^{2}4x+2\sqrt{3}\tan 4x+1=0\iff \tan 4x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\iff 4x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{24}+k\frac{\pi }{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án B

Phương trình ${\sin }^{2}x+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0$  có nghĩa  $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có ${\sin }^{2}x+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0\iff {\sin }^{2}x+\left(1-\sqrt{3}\right)\sin x\cos x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0.$

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$  phương trình vô nghiệm.

Với  $\cos x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được

${\sin }^{2}x+\left(1-\sqrt{3}\right)\sin x\cos x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0\iff {\tan }^{2}x+\left(1-\sqrt{3}\right)\tan x-\sqrt{3}=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=-1\\ \tan x=\sqrt{3}\end{array}\right..$

Vậy giá trị nguyên của $\tan x$  là   $-1.$

Đáp án C

Phương trình $2{\sin }^{2}x-\sin 2x+{\cos }^{2}x=1$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $2{\sin }^{2}x-\sin 2x+{\cos }^{2}x=1\iff 2{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1.$

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$  phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x\ne 0.$  Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$  ta được

$2{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1\iff 2{\tan }^{2}x-2\tan x+1=1+{\tan }^{2}x$

$\iff {\tan }^{2}x-2\tan x=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=0\iff x=k\pi \\ \tan x=2\iff x=\arctan 2+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án C

Phương trình $-{\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+1=2$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$  phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x\ne 0.$  Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$  ta được

$-{\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+1=2\iff -{\tan }^{2}x+2\sqrt{3}\tan x=1+{\tan }^{2}x$

$\iff 2{\tan }^{2}x-2\sqrt{3}\tan x+1=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\iff x=\arctan \frac{1+\sqrt{3}}{2}+k\pi \\ \tan x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\iff x=\arctan \frac{-1-\sqrt{3}}{2}+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án D

Phương trình ${\sin }^{3}x-\sqrt{3}{\cos }^{3}x=\sin x.{\cos }^{2}x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x.\cos x$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$  phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x\ne 0.$  Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{3}x$  ta được

${\sin }^{3}x-\sqrt{3}{\cos }^{3}x=\sin x.{\cos }^{2}x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x.\cos x\iff {\tan }^{3}x-\sqrt{3}=\tan x-\sqrt{3}{\tan }^{2}x$

$\iff {\tan }^{3}x+\sqrt{3}{\tan }^{2}x-\tan x-\sqrt{3}=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=1\\ \tan x=-1\\ \tan x=-\sqrt{3}\end{array}\right..$

Đáp án B

Phương trình $2{\sin }^{2}x-5\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=-2$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $2{\sin }^{2}x-5\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=-2\iff 4{\sin }^{2}x-5.2\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x=-4$

$\iff 5\sin 2x+2{\cos }^{2}x-4{\sin }^{2}x-4=0\iff 5\sin 2x+3\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)-\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)-4=0$

$\iff 5\sin 2x+3cos2x=5.$